現(xiàn)代控制理論課件

1、控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的狀態(tài)空間方法1基礎(chǔ)部分（涉及第二、三、七章）自動(dòng)控制原理（現(xiàn)代控制理論）1 經(jīng)典控制理論的特點(diǎn)圖形方法為主，物理概念強(qiáng)，直觀簡(jiǎn)便，實(shí)用性強(qiáng)控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，設(shè)定和調(diào)整參數(shù)少，且調(diào)整方針明確以簡(jiǎn)單的控制結(jié)構(gòu)獲取相對(duì)滿意的性能 主要缺點(diǎn)：需反復(fù)“試湊”，控制結(jié)構(gòu)及性能一般不是最優(yōu)僅適用于單變量（SISO）線性定常系統(tǒng)，一般不能用于多變量系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)只考慮系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系,不涉及系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)2 現(xiàn)代控制理論（狀態(tài)空間方法）的特點(diǎn)統(tǒng)一表達(dá)和處理單、多變量系統(tǒng)，可以分析時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)；核心是狀態(tài)變量的能控性、能觀性；通常尋求最優(yōu)控制性能；重要成果有極點(diǎn)配置、狀態(tài)

2、觀測(cè)器、最佳調(diào)節(jié)器、最優(yōu)控制等。 主要缺點(diǎn)：對(duì)模型精度要求高，對(duì)模型誤差及未知擾動(dòng)的魯棒性較差；狀態(tài)反饋難以直接實(shí)現(xiàn)，而采用狀態(tài)觀測(cè)器使控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜、 性能變差。3狀態(tài)空間方法的主要內(nèi)容線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述 數(shù)學(xué)模型（2章）線性變換與對(duì)角規(guī)范型 模型的結(jié)構(gòu)化簡(jiǎn)（3、7章）狀態(tài)空間描述下的運(yùn)動(dòng)分析 分析的基礎(chǔ)（3章）李雅普諾夫穩(wěn)定性理論 穩(wěn)定性分析（自學(xué)）狀態(tài)可控性和可觀性 核心內(nèi)容（7章）狀態(tài)空間描述下系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析 可控或可觀狀態(tài)變量的劃分（自學(xué)）狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制、狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì) 理論應(yīng)用 （8章）主要講SISO線性定常系統(tǒng)4狀態(tài)變量：完全描述系統(tǒng)行為的最小一組變量稱為狀態(tài)向量構(gòu)

3、成n維狀態(tài)空間x1x3x23維狀態(tài)空間x(t0 )x(t1 )x(t )隨時(shí)間變化產(chǎn)生狀態(tài)軌跡一、線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述5例: R-L-C串聯(lián)網(wǎng)絡(luò) （輸入u，輸出uc）1. 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)方程輸出方程6由R-L-C網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出微分方程求狀態(tài)變量的選擇是否唯一？狀態(tài)方程輸出方程該方法具有一般性,可用于輸入輸出高階微分方程不唯一!7同一系統(tǒng)不同狀態(tài)變量之間的關(guān)系？前例R-L-C網(wǎng)絡(luò)的兩種狀態(tài)變量為即同一系統(tǒng)不同狀態(tài)變量之間存在線性變換關(guān)系（化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)）8線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式A、B、C、D 為常數(shù)陣 定常系統(tǒng)A、B、C、D 含時(shí)變參數(shù) 時(shí)變系統(tǒng)系統(tǒng)u(t)y(t)9線性系統(tǒng)狀

4、態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖BCAD狀態(tài)空間描述的示意圖狀態(tài)方程輸出方程102. 兩種模型的相互轉(zhuǎn)化由狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)（陣）由微分方程或傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型應(yīng)用MATLAB進(jìn)行模型之間的相互轉(zhuǎn)化（自學(xué)）11系統(tǒng)u(t)y(t)G(s)注意！由狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)（陣）12由同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)空間表達(dá)式導(dǎo)出的傳遞函數(shù)（陣）必然相同例: R-L-C串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)（輸入u，輸出y=uc）13轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)：尋找在外部特性上等價(jià)的狀態(tài)空間表達(dá)式，使其滿足輸入輸出微分方程或傳遞函數(shù) G(s) = C(sI-A)-1B+D并稱該狀態(tài)空間表達(dá)式為該傳遞函數(shù)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。方法：直接分解法、極點(diǎn)分解法、結(jié)構(gòu)圖分

5、解法這種轉(zhuǎn)換不唯一!系統(tǒng)u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)A,B,C,D（自學(xué)）由微分方程或傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型14例: 求3階微分方程的狀態(tài)空間表達(dá)式系統(tǒng)u(t)y(t)反映一般規(guī)律!15一般規(guī)律（輸入端不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）16即輸入端含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)如何建立狀態(tài)空間表達(dá)式？可互換17基于傳遞函數(shù)的直接分解法： 設(shè) G(s) 為SISO系統(tǒng)系統(tǒng)u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)A,B,C,D引入中間變量 h(t)對(duì)該方程的處理類同前面！18稱為（第二）可控規(guī)范形19思考：若傳遞函數(shù)分子分母的階次相等如何導(dǎo)出狀態(tài)空間模型的可控規(guī)范形？20練習(xí)B2.24(1),(2)； B2.25； B2.

6、26; B2.2721二、線性變換與對(duì)角規(guī)范形設(shè)系統(tǒng)的兩種狀態(tài)空間表達(dá)式為系統(tǒng)u(t)y(t)和非奇異線性變換為則有同一系統(tǒng)不同狀態(tài)空間表達(dá)式之間的關(guān)系？22（1）線性變換不改變系統(tǒng)的特征值變換前后有非奇異線性變換的幾個(gè)重要性質(zhì)即變換前后的特征多項(xiàng)式相同23（2）線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)變換前變換后為變換關(guān)系：24矩陣 A 的對(duì)角化（1） 矩陣A的特征值i 互異（可變換為對(duì)角形）設(shè)變換矩陣P為25變換矩陣P的計(jì)算:先求矩陣 A 的特征值i，i=1, 2, , n由 (i IA)Pi = 0 確定每一個(gè)i 所對(duì)應(yīng)的特征向量 Pi ， i = 1, 2, , nP = P1 P2 Pn 若矩陣

7、A為可控規(guī)范形，則實(shí)現(xiàn)對(duì)角化的一個(gè)變換陣為Vandermonde矩陣，即自證26試求變換矩陣P。 解：27試求對(duì)角化變換矩陣P。 解：特征向量不唯一滿足比例關(guān)系2829（2）矩陣A 有多重特征值（可變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形）其特征值為1=2，2 =3 = 1，求將矩陣A變換為約當(dāng)形的變換矩陣P。解： 設(shè)屬于1的特征向量為P130P3常量不再是特征向量取p13=131三、狀態(tài)空間描述下的運(yùn)動(dòng)分析32零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)（卷積）先考慮最簡(jiǎn)單的情況331. 齊次狀態(tài)方程的解模仿單變量方程的求解342. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)分段轉(zhuǎn)移特性類似（3）求逆容易353. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算拉氏變換法36對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形法設(shè)矩

8、陣 A 的特征值相異，對(duì)角變換為37解：1）用拉氏變換法計(jì)算382）利用對(duì)角形變換法計(jì)算394. 非齊次狀態(tài)方程的解4041參考前面的例42練習(xí)B3.4（1）； B3.5（1）; B3.743四、狀態(tài)可控性問(wèn)題：狀態(tài)變量能否通過(guò)輸入 u 任意改變？線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖BCAD44顯然，通過(guò) u 可以控制狀態(tài)變量 iL，但不能控制 uc，所以系統(tǒng)是不完全可控的。45雖然 u不能直接控制 uc，但可以通過(guò)控制 iL 來(lái)間接影響uc， 可以證明系統(tǒng)是完全可控的。46可控性定義為何不研究輸出y(t)是否可控？47-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1可以證明，R1 C1 = R2

9、 C2 時(shí)系統(tǒng)不可控（直觀解釋？）; 但 R1 C1 R2 C2 時(shí)系統(tǒng)完全可控。48u(t)R1R2L+- y x1+- x2C較復(fù)雜的情況：如圖所示的系統(tǒng)是否可控？（Kalman問(wèn)題）一般情況下，對(duì)于任意給定的 A、B，系統(tǒng)是否可控？難以直觀判斷！49線性定常系統(tǒng)的可控性判據(jù)1. 凱萊-哈密爾頓（Cayley-Hamilton）定理設(shè)特征多項(xiàng)式為50將上述結(jié)果應(yīng)用于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可得512. 可控性判據(jù)52結(jié)論：線性定常系統(tǒng)完全可控的充要條件為Qc ：可控性判別陣（充分性證明可參考胡壽松教材）53關(guān)于可控性判別陣的說(shuō)明：54-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1 R1 C1 R

10、2 C2 時(shí) det Qc 0，Qc 滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控；但 R1 C1 = R2 C2 時(shí) det Qc =0， Qc 不滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。重新討論前面的例：55Kalman問(wèn)題：如圖所示系統(tǒng)是否可控？R1 R2 C L 時(shí)，Qc 滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控；但 R1 R2 C = L 時(shí)， Qc 不滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控。u(t)R1R2L+- y x1+- x2C56解： rank B = 2， 簡(jiǎn)化判別陣為例：判斷下列多輸入系統(tǒng)的可控性系統(tǒng)不可控57五、狀態(tài)可觀測(cè)性問(wèn)題：反饋控制需要狀態(tài)信息，但 x 通常無(wú)法直接測(cè)取，能否通過(guò)輸出 y 確定狀態(tài)變量？線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)

11、圖BCAD58顯然，通過(guò) y 可以確定狀態(tài)變量 x1 ( iL )，但不能確定 x2 ( uc )，所以系統(tǒng)是不完全可觀測(cè)的。59-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1可以證明，R1 C1 = R2 C2 時(shí)系統(tǒng)不可觀測(cè)（直觀解釋？）但 R1 C1 R2 C2 時(shí)系統(tǒng)完全可觀測(cè)。60Kalman問(wèn)題：如圖所示系統(tǒng)是否可觀測(cè)？u(t)R1R2L+- y x1+- x2C難以直觀判斷！61 對(duì)于任意給定的輸入u(t) ，如果能在有限的時(shí)間區(qū)間 t0, t1內(nèi)，根據(jù)輸出y(t) 的量測(cè)值唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0) ，則稱系統(tǒng)是可觀測(cè)的。狀態(tài)可觀測(cè)性定義：62線性定常系統(tǒng)的可觀測(cè)

12、性判據(jù)Qo ：可觀測(cè) 性判別陣D = 0根據(jù)Cayley-Hamilton定理63結(jié)論：線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充要條件為說(shuō)明：64-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1R1 C1 R2 C2 可觀測(cè)R1 C1 = R2 C2 不可觀測(cè)重新討論前面的例：同可控性條件65Kalman問(wèn)題：如圖所示系統(tǒng)是否可觀測(cè)？u(t)R1R2L+- y x1+- x2CR1 R2 C L 可觀測(cè)R1 R2 C = L 不可觀測(cè)同可控性條件66注：非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的可控性 和可觀測(cè)性設(shè)變換關(guān)系為即變換前后的可控性判別陣同秩則變換后的可控性判別陣為可觀測(cè)性的情況類似（自證）67對(duì)偶性原理68

13、六、可控性、可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)69可控性判別陣為顯然滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)可控。上述結(jié)論可推廣到任意 n 階系統(tǒng)，表達(dá)為可控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)一定是狀態(tài)可控的。70可觀測(cè)性判別陣為上述結(jié)論可推廣到任意 n 階系統(tǒng)，表達(dá)為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)一定是狀態(tài)可觀測(cè)的。71可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的一般表達(dá)式為可控標(biāo)準(zhǔn)形的對(duì)偶實(shí)現(xiàn)72傳遞函數(shù)零極點(diǎn)與可控、可觀性狀態(tài)可控73可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)的可觀測(cè)性判別陣為上述結(jié)論可推廣到一般情況，系統(tǒng)存在零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，按可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)雖然是狀態(tài)可控的，但不完全可觀測(cè)；沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)則既可控又可觀測(cè)。所以當(dāng)系統(tǒng)零點(diǎn)與極點(diǎn)相同時(shí)，狀態(tài)不完全可觀測(cè)，反之則完全可觀測(cè)。74狀態(tài)可觀測(cè)所以當(dāng)系統(tǒng)存在零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，狀態(tài)不完全可控，反之則完全可控。該結(jié)論可推廣到一般情況。對(duì)應(yīng)的可控性判別陣為按可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)的可觀測(cè)性判別陣75系統(tǒng)極點(diǎn)為-1、-2、-3，有零極點(diǎn)對(duì)消。所以系統(tǒng)狀態(tài)不可觀測(cè)。狀態(tài)可控76所以系統(tǒng)狀態(tài)不可控。狀態(tài)可觀測(cè)77結(jié)論系統(tǒng)傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)一定是或者不可控、