抽樣調(diào)查理論與方法課件

1、5.1 一次移動平均法5.2 一次指數(shù)平滑法5.3 線性二次移動平均法5.4 線性二次指數(shù)平滑法5.5 二次曲線指數(shù)平滑法5.6 溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑法5 時間序列平滑預(yù)測法5.1 一次移動平均法一、一次移動平均法的基本思路 一次移動平均預(yù)測法是平均值預(yù)測法的一種。 所謂的平均值預(yù)測法是指是收集一組觀察值，計算這組觀察值的均值，利用這一均值作為下一期的預(yù)測值。 所謂的移動平均是指每當(dāng)?shù)玫揭粋€最新觀察值，就立即把它作為有效數(shù)據(jù)放入數(shù)據(jù)組中，把最老的那個時間的數(shù)據(jù)從數(shù)據(jù)組中剔除，重新計算出一個新的平均數(shù)作為下一期預(yù)測值的方法。 例如， 由移動平均法計算公式可以看出，每一新預(yù)測值是對前以移動平均

2、預(yù)測值的修正，n越大，平滑效果越好。式中： 為最新觀察值；為下一期預(yù)測值。設(shè)時間序列為移動平均法可以表示為：1.移動步長的選擇 當(dāng)數(shù)據(jù)的隨機(jī)因素較大時，宜選用較大的n，這樣有利于較大限度地平滑由隨機(jī)性所帶來的嚴(yán)重偏差； 當(dāng)數(shù)據(jù)的隨機(jī)因素較小時，宜選用較小的n，這有利于跟蹤數(shù)據(jù)的變化，并且預(yù)測值滯后的期數(shù)也少。 當(dāng)時間序列為純隨機(jī)時，全部歷史數(shù)據(jù)的平均數(shù)是最好的預(yù)測值2.移動平均法的優(yōu)點 計算量少；移動平均線能較好地反映時間序列的趨勢及其變化。3.移動平均法的缺點計算移動平均必須具有N個過去觀察值，當(dāng)需要預(yù)測大量的數(shù)值時，就必須保存的歷史數(shù)據(jù)較多移動步長n的大小難以確定只能適用于平穩(wěn)時間序列，進(jìn)

3、行短期預(yù)測各過去觀察值的權(quán)數(shù)都相等，早于(t-n+1)期的觀察值的權(quán)數(shù)等于0。而實際上往往是最新觀察值包含更多信息，應(yīng)具有更大權(quán)重。4.移動平均法有兩種極端情況 在移動平均值的計算中包括的過去觀察值的實際個數(shù)n=1，這時利用最新的觀察值作為下一期的預(yù)測值； n=N，這時利用全部N個觀察值的算術(shù)平均值作為預(yù)測值。二、一次移動平均法的應(yīng)用 下表是某產(chǎn)品111月的月銷售量，試選用N=3和N=5，采用一次移動平均法對12月的銷售量進(jìn)行預(yù)測。月份銷售額（萬元）預(yù)測值（N=3）預(yù)測值（N=5）1月46.0 2月50.0 3月59.0 4月57.0 51.7 5月55.0 55.3 6月64.0 57.0

4、7月55.0 58.7 55.2 8月61.0 58.0 56.7 9月45.0 60.0 58.5 10月49.0 53.7 56.2 11月46.0 51.7 54.8 12月46.7 53.3 5.2 一次指數(shù)平滑法 指數(shù)平滑預(yù)測實際上是由移動平均法演變而來的。 由移動平均法預(yù)測公式知，因為，所以，假設(shè)時間序列是平穩(wěn)時間序列，則可以用Ft替代xt-n，于是就有， 由于，1/n的取值范圍為(0，1)，取=1/n，0 1，則上式就可以演不變?yōu)椋悍Q為平滑常數(shù)，這就是一次指數(shù)平滑的一般表達(dá)式。 一次指數(shù)平滑法是一種加權(quán)預(yù)測，權(quán)數(shù)為。它既不需要存儲全部歷史數(shù)據(jù)，也不需要存儲一組數(shù)據(jù)，從而可以大大減

5、少數(shù)據(jù)存儲問題，甚至有時只需一個最新觀察值、最新預(yù)測值和值，就可以進(jìn)行預(yù)測。為什么叫指數(shù)平滑預(yù)測？我們把一般表達(dá)式展開，并按該公式遞推， 有上述推到結(jié)果，可知一次指數(shù)平滑預(yù)測值其實就是歷史觀察值得加權(quán)平均，并且其權(quán)數(shù)呈現(xiàn)指數(shù)衰減態(tài)勢，即越靠近預(yù)測時點的數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)越大，這恰與實際情況相符，距預(yù)測時點越近的數(shù)據(jù)，對預(yù)測值的影響越大。 我們對一次指數(shù)平滑預(yù)測模型的一般表達(dá)式做進(jìn)一步的變形，即， 一次指數(shù)平滑預(yù)測法得到的預(yù)測值是本期預(yù)測值加上本期預(yù)測值中產(chǎn)生誤差的修正值。平滑常數(shù)a的確定當(dāng)平滑常數(shù)a取值較大時，預(yù)測值能夠比較快的反映出時間序列的變化情況；當(dāng)平滑常數(shù)a取值較小時，預(yù)測值對時間序列的變化反

6、映較慢。平滑常數(shù)a的確定往往采用試算的方法，即首先選擇a的一組取值，分別進(jìn)行預(yù)測，并計算各種取值之下預(yù)測誤差的大小，選擇使得預(yù)測誤差最小的a作為最終的取值，做最終預(yù)測。一次指數(shù)平滑法的初值的確定： 取第一期的實際值為初值； 取最初幾期的平均值為初值。 該預(yù)測方法只適用于平穩(wěn)時間序列！例： 利用下表數(shù)據(jù)為某公司每月的營業(yè)額，運(yùn)用一次指數(shù)平滑法對某公司第17期的銷售額進(jìn)行預(yù)測（取=0.1，0.3 ，0.9）。時期銷售額（萬元）指數(shù)平滑值0.10.30.9197.0 295.0 97.00 97.00 97.00 395.0 96.80 96.40 95.20 492.0 96.62 95.98 9

7、5.02 595.0 96.16 94.79 92.30 695.0 96.04 94.85 94.73 798.0 95.94 94.90 94.97 897.0 96.14 95.83 97.70 999.0 96.23 96.18 97.07 1095.0 96.51 97.03 98.81 1195.0 96.36 96.42 95.38 1296.0 96.22 95.99 95.04 1397.0 96.20 95.99 95.90 1498.0 96.28 96.30 96.89 1594.0 96.45 96.81 97.89 1695.0 96.21 95.97 94.39

8、1796.09 95.68 94.94 =0.1，=0.3，=0.9時，均方誤差分別為：MSE=3.93MSE=3.98MSE=4.2 因此，可選=0.1作為預(yù)測時的平滑常數(shù)。某公司第17期銷售量的預(yù)測值為：由上表可見：最小5.3 線性二次移動平均法 引：前面兩節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩種平滑預(yù)測方法一次移動平均預(yù)測和一次指數(shù)平滑預(yù)測，這兩種方法的使用條件相同平穩(wěn)時間序列。 如果時間序列具有明顯的線性變化趨勢，則不適宜選用這兩種種方法，若仍然采用這兩種方法，其預(yù)測值將會滯后于實際值。 為了避免利用一次移動平均法預(yù)測有趨勢的數(shù)據(jù)時產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，發(fā)展了線性二次移動平均法。 一、基本思想 線性二次移動平均法不是

9、用二次移動平均數(shù)直接進(jìn)行預(yù)測，而是以此為基礎(chǔ)，建立線性預(yù)測模型，然后再用模型預(yù)測的一種方法。 二次移動平均數(shù)是在對實際值進(jìn)行一次移動平均的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行一次移動平均。二、預(yù)測模型 1.二次移動平均數(shù)的計算： 前面提到，當(dāng)時間序列存在趨勢時，一次移動平均系列總是滯后于實際序列，二次移動平均序列也與一次移動平均序列形成滯后偏差，線性二次移動平均發(fā)正是利用這種滯后偏差的演變規(guī)律建立如下線性預(yù)測模型的： 式中，t當(dāng)前時期序號；m為當(dāng)前時期t到預(yù)測時期的時間間隔數(shù)，即預(yù)測超前期數(shù)；Ft+m為第t+m時期的預(yù)測值。其中，at、bt的計算公式為： at用于對預(yù)測（最新值）的初始點進(jìn) 行基本修正，使得預(yù)測值與

10、實際值之間不存在滯后現(xiàn)象； bt用 除以 ，這是因為移動平均值是對N個點求平均值，這一平均值應(yīng)落在N個點的中點。三、預(yù)測應(yīng)用5.4 線性二次指數(shù)平滑法引：一次移動平均法的兩個缺陷（需要儲存大量歷史數(shù)據(jù)和歷史數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)相同）在線性二次移動平均法中也存在。 為了克服上述問題的有效方法是指數(shù)平滑，但是一次指數(shù)平滑只適用于平穩(wěn)時間序列，我們引入一種新的預(yù)測方法線性二次指數(shù)平滑法。 一次指數(shù)平滑法是直接利用一次指數(shù)平滑值作為預(yù)測值的一種方法。線性二次指數(shù)平滑法與其不同，它是用平滑值對序列存在的線性趨勢進(jìn)行修正。 線性二次指數(shù)平滑法只利用三個數(shù)據(jù)和一個值就可進(jìn)行計算； 同線性二次移動平均法相比，在大多數(shù)情

11、況下，一般更喜歡用線性二次指數(shù)平滑法作為預(yù)測方法。一、布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑法 布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑法的基本原理與線性二次移動平均法相似。當(dāng)時間序列存在趨勢時，一次和二次平滑值都滯后于實際值，這就需要修正，即要考慮考慮序列的水平變化，又要考慮序列的的趨勢變化：將一次和二次平滑值之差加在一次平滑值上，則可對趨勢進(jìn)行修正。1.指數(shù)平滑公式：為一次指數(shù)平滑值；為二次指數(shù)平滑值；2.預(yù)測模型：m為預(yù)測超前期數(shù)二、霍爾特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法 霍爾特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法基本原理與布朗線性指數(shù)平滑法相似，只是它不用二次指數(shù)平滑，而是對趨勢直接進(jìn)行平滑。 由于它用不同的參數(shù)對原序列的趨勢進(jìn)行平滑，因此具

12、有很大的靈活性。平滑預(yù)測模型（1）（2）（1）式是利用前一期的趨勢值 直接修正 ，即將 加在前一平滑值 上，消除滯后，并使近似達(dá)到最新數(shù)據(jù)值 （2）式用來修正趨勢項bt，趨勢值（即各期增量）利用相鄰兩次平滑值之差來表示。 利用對相鄰兩次平滑值之差（St-St-1）進(jìn)行修正，并將該修正值加到前一期趨勢估計值乘以（1-）。 該式的目的是對各期趨勢值（即各期增量）進(jìn)行預(yù)測，對于趨勢值序列而言，他是一個平穩(wěn)時間序列，所以，可以采用一次指數(shù)平滑預(yù)測法對其預(yù)測。（2）式其實就對bt做的一次指數(shù)平滑預(yù)測。5.5二次曲線指數(shù)平滑法 引言： 有的時間序列雖然有增加或減少趨勢，但不一定是線性的，可能按二次曲線的形

13、狀增加而減少。 例如 對于這種存在非線性增長趨勢的時間序列，采用二次曲線指數(shù)平滑法要比線性二次指數(shù)平滑法更為有效。 二次曲線指數(shù)平滑法不但考慮了線性增長的因素，而且也考慮了二次拋物線的增長因素。一、基本原理： 設(shè)指數(shù)平滑法多項式預(yù)測模型為：式中： m表示從t期期預(yù)測超前時間 a(t),b1(t),b2(t), ,bn(t)為多項式預(yù)測模型的參數(shù)。 上述模型用泰勒公式展開得：式中， xt(k)為數(shù)列在t時刻的的k階導(dǎo)數(shù)。 這樣一來, 指數(shù)平滑法多項式預(yù)測模型的參數(shù)a(t)、b1(t)、b2(t)、bn(t)的計算問題，就轉(zhuǎn)化為推算公式中xt(k) 定理：若指數(shù)平滑法多項式預(yù)測模型為：則，即，B=

14、A-1S。證明 于是，對于二次曲線指數(shù)平滑模型：其參數(shù)的表示形式很容易推導(dǎo)出：At、Bt和Ct恰恰分別反映時間序列的水平變化量、線性增長量和曲線增長量。因此，二次曲線指數(shù)平滑法的基本思路就是將時間序列拆分為三部分：水平變化量、線性增長量和曲線增長量，分別對這三個量進(jìn)行指數(shù)平滑預(yù)測，然后加總得到總的預(yù)測量。計算t時期的一次指數(shù)平滑值 ：計算t時期的二次指數(shù)平滑值 ：計算t時期的三次指數(shù)平滑值 ：計算t時期的水平值 ：二、實現(xiàn)步驟計算t時期的線性增量 ：計算t時期的曲線增量 ：加總得到預(yù)測第t+m期的值 ：三、初始值的確定 初始值主要依賴于前兩個時期的的觀察值x1和x2：四、二次曲線指數(shù)平滑預(yù)測的

15、應(yīng)用 已知某地區(qū)統(tǒng)計了1983年至2006年每年的消費(fèi)品銷售總額，試預(yù)測2007年和2008年該地區(qū)的銷售總額。5.6 溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑法引言： 很多時候時間序列不僅存在趨勢變動，而且還存在季節(jié)變動。 例如 溫特于20世紀(jì)60年代創(chuàng)立了線性與季節(jié)性指數(shù)平滑預(yù)測法。 該方法的突出優(yōu)點是對具有趨勢變動和季節(jié)變動兩種形式，分別對每種形式進(jìn)行指數(shù)平滑，然后將各種形式的平滑結(jié)果結(jié)合起來，對原時間序列進(jìn)行預(yù)測。這擴(kuò)大了指數(shù)平滑法的適用范圍，提高了對兼有趨勢和季節(jié)變動兩種形式的時間序列預(yù)測的準(zhǔn)確性。一、基本原理溫特指數(shù)平滑法的基本思路就是將時間序列拆分為三部分：水平量（趨勢值）、線性增長量（趨勢增量）和季節(jié)增長量，分別對這三個量進(jìn)行預(yù)測，然后加總得到總的預(yù)測量，具體加總方法有乘法模型和加法模型。 溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑法以三個方程式為基礎(chǔ)，每一個方程式都分別反映趨勢值、趨勢增量和季節(jié)增量預(yù)測，且都含有一個有關(guān)的參數(shù)。這三個方程分別是： 式中，L為季節(jié)的長度，如年、月、周；I為季節(jié)性系數(shù)，它等于時間序列原