復(fù)變函數(shù)第6章共形影射匯總課件

1、第6章 共形映射本章學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、了解解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義及保角映射的概念； 2、掌握冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)映射的性質(zhì)； 3、掌握線性映射的性質(zhì)和分式線性映射的保圓性和保對稱性； 4、會求一些簡單區(qū)域之間的保角映射。第6章 共形映射6.1 解析函數(shù)的影射性質(zhì)26.1.1 解析函數(shù)的保域性與保角性1.切線傾角的復(fù)數(shù)表示設(shè) 是一條連續(xù)曲線,其方程為 若 ,則在曲線 上的點(diǎn) 處的切線存在,且此切線的傾角為3 z 平面內(nèi)的任一條有向曲線 C 可用表示, 它的正向取為t增大時點(diǎn)z移動的方向, z(t)為一條連續(xù)函數(shù).如果 , 則表示z (t)的向量(把起點(diǎn)放取在z0. 以下不一一說明)與 C 相切于點(diǎn)z0

2、=z(t0).4z(t0)z(a)z(b)z (t0) 事實(shí)上, 如果通過C上兩點(diǎn)P0與P的割線P0P的正向?qū)?yīng)于t增大的方向, 則這個方向與表示 的方向相同.5Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z) 當(dāng)點(diǎn)P沿C無限趨向于點(diǎn)P0, 割線P0P的極限位置就是C上P0處的切線. 因此, 表示 的向量與C相切于點(diǎn)z0=z(t0), 且方向與C的正向一致. 如果我們規(guī)定這個向量的方向作為C上點(diǎn)z0處的切線的正向, 則我們有Arg z (t0)就是z0處C的切線正向與x軸正向間的夾角;相交于一點(diǎn)的兩條曲線C1與C2正向之間的夾角就是它們交點(diǎn)處切線正向間夾角62. 的幾何意義設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)

3、域D內(nèi)解析, z0為D內(nèi)的一點(diǎn), 且f (z0)0. 又設(shè)C為z平面內(nèi)通過點(diǎn)z0的一條有向光滑曲線, 它的參數(shù)方程是: z=z(t), atb,它的正向相應(yīng)于參數(shù)t增大的方向, 且z0=z(t0), z (t0)0, at0b. 則映射w=f(z)將C映射成w平面內(nèi)通過點(diǎn)z0的對應(yīng)點(diǎn)w0=f(z0)的一條有向光滑曲線G, 它的參數(shù)方程是 w=fz(t), atb 正向相應(yīng)于參數(shù)t增大的方向.7 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法, 有 w (t0)=f (z0)z (t0)0因此, 在G上點(diǎn)w0處也有切線存在, 且切線正向與u軸正向的夾角是 Arg w (t0)=Arg f (z0)+Arg z (t0)8O

4、xyOuvz0P0rzPDsC(z)(w)Gw0Q0QwrDs 即 Arg w (t0)-Arg z (t0)=Arg f (z0) (6.1)如果假定x軸與u軸, y軸與v軸的正向相同, 而且將原來的切線的正向與映射過后的切線的正向之間的夾角理解為曲線C經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角, 則(6.1)式表明:1)導(dǎo)數(shù)f (z0)0的輻角Arg f (z0)是曲線C經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角;2)轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關(guān). 所以這種映射具有轉(zhuǎn)動角的不變性.9 通過z0點(diǎn)的可能的曲線有無限多條, 其中的每一條都具有這樣的性質(zhì), 即映射到w平面的曲線在w0點(diǎn)都轉(zhuǎn)

5、動了一個角度Arg f (z0).10OxyOuv(z)(w)z0w0 相交于點(diǎn)z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角, 在其大小和方向上都等同于經(jīng)w=f(z)映射后C1與C2對應(yīng)的曲線G1與G2之間的夾角, 所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質(zhì).這種性質(zhì)稱為保角性11OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G23. 的幾何意義 12 在與前面2的討論作相同的假設(shè)條件下 ,容易得到即 的幾何意義是映射 在點(diǎn) 的伸縮率,且此伸縮率具有不變性此極限值稱為曲線 C 在 z0 的伸縮率.13OxyOuvz0P0rzPDsC(z)(w)Gw0Q0QwrDs 上式表明:|f (z)|是

6、經(jīng)過映射w=f(z)后通過點(diǎn)z0的任何曲線C在z0的伸縮率, 它與曲線C的形狀及方向無關(guān). 所以這種映射又具有伸縮率的不變性.146.1.2 共形映射的概念 綜上,我們有定理6.1 設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, z0為D內(nèi)的一點(diǎn), 且f (z0)0, 則映射w=f(z)在z0具有兩個性質(zhì):1)保角性. 即通過z0的兩條曲線間的夾角跟經(jīng)過映射后所得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變2)伸縮率的不變性. 即通過z0的任何一條曲線的伸縮率均為|f (z0)|而與其形狀和方向無關(guān).15 最后,我們給出共形映射的定義。定義 設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0的鄰域內(nèi)是一一的, 在z0具有保角性和伸縮率不變

7、性, 則稱映射w=f(z)在z0是共形的, 或稱w=f(z)在z0是共形映射. 如果映射w=f(z)在D內(nèi)的每一點(diǎn)都是共形的, 就稱w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的共形映射.16第6章 共形映射6.2 幾個初等函數(shù)的映射性質(zhì)176.2.1 函數(shù) ( 為常數(shù))的映射性質(zhì) 這是一個平移映射(變換). 因?yàn)閺?fù)數(shù)相加可以化為向量相加, z沿向量b的方向平移一段距離 |b|后, 就得到w.在復(fù)平面處處保角將圓周映射為圓周18O(z)(w)zw6.2.2 函數(shù) ( 為常數(shù)且 )的映射性質(zhì)這是一個旋轉(zhuǎn)與伸長(或縮短)的疊加映射. 設(shè)k=leia將z先轉(zhuǎn)一個角度a, 再將|z|伸長(或縮短)l倍后, 就得到w.在復(fù)平

8、面處處保角19O(z)=(w)zwa圓周的對稱點(diǎn)OPOP=r2,因?yàn)镈OPT相似于DOPT. 因此,OP:OT=OT:OP, 即OPOP=OT2=r2.20CPPrTOP與P關(guān)于圓周C互為對稱點(diǎn)6.2.3 函數(shù) 的映射性質(zhì)21zw1w1該映射稱為反演變換或倒數(shù)變換,它的相繼施行兩個對稱變換的結(jié)果:一是關(guān)于單位圓周對稱,二是關(guān)于實(shí)軸對稱在復(fù)平面上除 外處處保角將圓周映射為圓周約定:將直線理解成半徑為無窮大的圓周,則可說反演變換具有保圓周性6.2.4 冪函數(shù)與根式函數(shù)的映射性質(zhì)221. 冪函數(shù) w=zn(n2為自然數(shù))在z平面內(nèi)除點(diǎn) 外處處保角將射線 映射成射線將圓周 映射成圓周將模相同而幅角相差

9、 的整數(shù)倍的兩個點(diǎn)映射為同一點(diǎn)把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域, 但張角變成了原來的n 倍23O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn2. 根式函數(shù) 為大于 1 的自然數(shù)24 由于冪函數(shù) 在 內(nèi)單葉、解析，所以其反函數(shù) 在 時的單值支 在 內(nèi)均為單葉、解析的函數(shù),所以根式函數(shù)的每一個單值具有將角形區(qū)域的張角縮小的映射性質(zhì).6.2.5 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的映射性質(zhì)1. 指數(shù)函數(shù) 是一個全平面上的共形映射;將 平面的直線 映射為 平面上的始于原點(diǎn)的射線 ;將 平面的線段 映射為 平面上圓周 ;將帶形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa. 特別是帶形域

10、 映射成沿正實(shí)軸剪開的w平面:0arg w2p.它們間的點(diǎn)是一一對應(yīng)的.2526aiOxy(z)arg w=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw上岸下岸 由指數(shù)函數(shù) 所構(gòu)成的映射的特點(diǎn)是: 把水平的帶形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg w0映射成單位圓|w|0映射成單位圓|w|0映射成|w|0映射成單位圓|w|0映射成單位圓|w|0映射成單位圓|w|1且滿足w(2i)=0, arg w(2i)=0的分式線性映射.解 由條件w(2i)=0知, 所求的映射要將上半平面中的點(diǎn)z=2i映射成單位圓周的圓心w=0. 所以由(6.3.2)得58從而得所求的映射為59【

11、例4】求將單位圓|z|1映射成單位圓|w|1的分式線性映射.x1y(z)OOuv(w)1a60解 設(shè)z平面上單位圓|z|1內(nèi)部的一點(diǎn)a映射成w平面上的單位圓|w|1的中心w=0. 這時與61所以|k|=1, 即k=eij.這里j是任意實(shí)數(shù).由于z平面上單位圓周上的點(diǎn)要映成w平面上單位圓周上的點(diǎn), 所以當(dāng)|z|=1,|w|=1. 將圓周|z|=1上的點(diǎn) z =1 代入上式, 得62反之, 形如上式的映射必將單位圓|z|1映射成單位圓|w|1. 這是因?yàn)閳A周|z|=1上的點(diǎn)z=eiq (q為實(shí)數(shù))映射成圓周|w|=1上的點(diǎn):同時單位圓|z|1內(nèi)有一點(diǎn)z=a映射成w = 0. 所以(6.3.5)必將

12、單位圓|z|1映射成單位圓|w|1.因此, 將單位圓|z|1映射成單位圓|w|0的分式線性映射.解 由條件w(1/2)=0知, 所求的映射要將z=1/2 映射成|w|0映射成|w-2i|2且滿足條件w(2i)=2i, arg w(2i)=-p/2的分式線性映射.解 容易看出, 映射z=(w-2i)/2將|w-2i|2映射成|z|0映射成|z|1且滿足z(2i)=0的映射易知為66672i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)68【例7】 求把角形域0arg zp/4映射成單位圓|w|1的一個映射.解 z=z4將所給角形域0arg z0. 又從上節(jié)的例2知, 映射69(z)OO(z )1(w)

13、z = z470aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii【例8】 求把下圖中由圓弧C2與C3所圍成的交角為a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一個映射.71aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii172其中k為待定的復(fù)常數(shù).解 先求出把C1,C2的交點(diǎn)i與-i分別映射成z平面中的z=0與z=, 并使月牙域映射成角形域0argzp;再把這角形域通過映射w=exp(ij0)z轉(zhuǎn)過一角度j0, 即得把所給月牙域映射成所給角形域的映射. 將所給月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數(shù):7374xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCD【例

14、9】 求把具有割痕Re(z)=a, 0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一個映射.75xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a 解 不難看出, 解決本題的關(guān)鍵顯然是要設(shè)法將垂直于x軸的割痕的兩側(cè)和x軸之間的夾角展平. 由于映射w=z2能將頂點(diǎn)在原點(diǎn)處的角度增大到兩倍, 所以利用這個映射可以達(dá)到將割痕展平的目的.首先, 把上半z平面向左作一個距離為a的平移:z1=z-a.第二, 再應(yīng)用映射z2=z12, 便得到一個具有割痕-h2Re(z2)+, Im(z