單元九Mathematica軟件及其運(yùn)用課件

1、單元九 Mathematica軟件及其運(yùn)用 9.1 Mathematica入門9.1.1 Mathematica使用中的幾個問題Mathematica系統(tǒng)是美國Wolfram研究公司開發(fā)的一個功能強(qiáng)大的計算機(jī)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，它的主要功能是進(jìn)行符號演算、數(shù)值計算和圖形繪制。它可以做多項式的四則運(yùn)算、展開、因式分解等；可以求多項式方程、有理式方程和超越方程的精確解和近似解；也可以求函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、積分等；還可以作函數(shù)的圖形及數(shù)據(jù)的擬合、 程序設(shè)計。軟件的安裝軟件的運(yùn)行使用入門9.1.2 數(shù)的表示和計算1、數(shù)學(xué)常數(shù)： Pi 圓周率 E 自然對數(shù)的底e I 虛數(shù)單位i Infinity 表示無窮大的符號2

2、、數(shù)學(xué)運(yùn)算符 加、減、乘、除、乘方 +、-、*、/、3、數(shù)的運(yùn)算規(guī)則算術(shù)運(yùn)算順序與數(shù)學(xué)相同，先乘方、再乘除、最后加減，可用小括號改變運(yùn)算順序同級運(yùn)算（除乘方外）從左到右進(jìn)行，乘方運(yùn)算從右到左進(jìn)行例：（23）4 表示為（23)4 而234表示4、數(shù)的運(yùn)算結(jié)果 (1) 、整數(shù)、分?jǐn)?shù)結(jié)果為精確數(shù)（2）、浮點(diǎn)數(shù)（帶有小數(shù)點(diǎn)的數(shù)）結(jié)果為 浮點(diǎn)數(shù)（3）、含數(shù)學(xué)常數(shù)的式子除數(shù)學(xué)常數(shù)外，按上面規(guī)則進(jìn)行（4）、精確數(shù)轉(zhuǎn)換為浮點(diǎn)數(shù) 格式1：Na或a/N 求a的近似值，有效位數(shù)取6位 格式2：Na，n 求a的近似值，有效位數(shù)取n位 5、比較算符及其運(yùn)算結(jié)果 （1）、比較算符(P.11) （2）、運(yùn)算結(jié)果(True或

3、False)6、邏輯運(yùn)算符(P.12)9.1.3 變量和算式1、變量名以字母開頭的字母數(shù)字串 例：x，abc，Mapa202、變量的賦值和替換（1）、賦值用“=”表示賦值（2）、替換（代入）格式：表達(dá)式/.x-a（3）、清除（取消）格式：=. 或 clearx,y, 1、系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)函數(shù) 冪函數(shù) Sqrt（平方根） 指數(shù)函數(shù) Exp（以e為底的指數(shù)） 對數(shù)函數(shù) Log 三角函數(shù) Sin，Cos，Tan，Cot，Sec， Csc 反三角函數(shù) ArcSin，ArcCos，ArcTan，ArcCot 絕對值函數(shù) Abs 求和函數(shù) Sum 取整數(shù)函數(shù) IntegerPart 求模函數(shù) Modm,n求

4、m除n所得余數(shù)9.1.4 常用函數(shù)2、函數(shù)的書寫規(guī)則（1）函數(shù)名的第一個字母大寫，后面小寫（2）函數(shù)作用對象表達(dá)式寫在函數(shù)名的方括號內(nèi)，如Sinx（3）有多個參數(shù)的函數(shù)，參數(shù)之間用逗號分隔，如Log23=Log2，33、數(shù)學(xué)函數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)值4、自定義函數(shù) 格式：fx_，y_，：=函數(shù)表達(dá)式5、函數(shù)的嵌套 格式：Nestf，x，n6、定義臨時變量 格式：Modulex，y，表達(dá)式1；表達(dá)式2；使用中的幾個問題1、簡便輸入 %表示上次計算的結(jié)果 % 表示上上次計算的結(jié)果 %n表示第n次計算的結(jié)果2、運(yùn)行程序 Shift+Enter或小鍵盤上的Enter 3、保存文件用菜單進(jìn)行：save as 4

5、、分號“；”的應(yīng)用（1）在幾個語句中間，表示各語句間并列關(guān)系，用于一行多句輸入（2）在表達(dá)式的末尾，抑制結(jié)果顯示9.1.5 符號演算和數(shù)值計算一、基本表達(dá)式操作1、多項式的展開 格式：Expand表達(dá)式2、通分 格式：Together表達(dá)式3、分解因式 格式：Factor表達(dá)式4、化簡表達(dá)式 格式：Simplify表達(dá)式5、約分 格式：Cancel表達(dá)式6、把表達(dá)式分項 格式：Apart表達(dá)式7、求多項式中某項的系數(shù) 格式：Cofficient表達(dá)式9.1.5.1 解方程或方程組1、求方程的代數(shù)解格式1：Roots方程，變量格式2：Solve方程1，方程2，變量1，變量2，格式3：Reduce

6、方程1，方程2，變量1，變量2，2、求方程的數(shù)值解格式1：NRoots方程，變量格式2：NSolve方程1，方程2，變量1，變量2，3、消去變量格式：Eliminate方程，變量4、尋求方程的數(shù)值根格式：FindRoot方程，x，x0，y， y0，9.1.5.2 常用的語句 1、打印語句(屏幕輸出) 格式：Print 表達(dá)式，表達(dá)式，2、求和格式1：Sum通項，n，下限，上限，步長格式2：NSum通項，n，下限，上限，步長3、求積格式1：Product通項，n，下限，上限，步長格式2： NProduct通項，n，下限，上限，步長4、條件語句(P.12) 格式1：If 條件，語句1，語句2格式2

7、： Which條件1，語句1，條件2， 語句2，條件n，語句n5、循環(huán)語句（1）Do語句格式1：Do循環(huán)體語句，n 重復(fù)計算表達(dá)式n次格式2： Do循環(huán)體語句，變量，初值，終值，步長 重復(fù)計算表達(dá)式，變量以步長從初值變化到終值（2）While語句 格式： While條件語句，表達(dá)式 反復(fù)計算表達(dá)式，直到條件失效為止（3）For語句 格式： For初始表達(dá)式，條件，步進(jìn)表 達(dá)式，循環(huán)體 求初始表達(dá)式的值，然后重復(fù)計算步進(jìn)表達(dá)式和循環(huán)體的值，直到條件失效為止9.1.5.3 表與表達(dá)式的結(jié)構(gòu)一、表的概念 表是用大括號括起來的若干個表達(dá)式，表達(dá)式之間用逗號分隔格式：表達(dá)式，表達(dá)式，例：2，35，Sin

8、x x2，3x+5，Pi 1，2，3，4，4，5例：aa = 1，2，3，4，5 bb = 2，3，4，5，6求：aa + bb aa bb aa * bb aa / bb aa + 5二、表的運(yùn)算1、表的和、差、積、商運(yùn)算 兩個元素個數(shù)相同的表可以進(jìn)行四則運(yùn)算，結(jié)果是對應(yīng)元素運(yùn)算例：tt = Pi/4，12，9+x+x2 Sintt = sin(Pi/4)，sin(12)，sin(9+x+x2)2、表和函數(shù)運(yùn)算f 表表示函數(shù)f作用到表的每一個元素得一新表三、二層表的轉(zhuǎn)換 將某些表的自變量取值與函數(shù)值分別放在一起或相反格式：Transpose表例：t1 = tablen，Sinn，n，5求：T

9、ransposet1四、表的生成1、直接生成(無規(guī)律性的表)按順序?qū)懗霰碇械脑夭⒎旁诖罄ㄌ杻?nèi)例：1，0，-1，x2、數(shù)值生成函數(shù)Rang (有規(guī)律性的數(shù)值表)格式2： Rangem，n生成表m,m+1,n例2：生成表5，6，7，15格式1： Rangen生成表1，2，n例1：生成表1，2，3，10格式3： Rangem，n，步長例3：生成表1，3，5，213、通用表生成函數(shù)Table (循環(huán)生成有規(guī)律性的表)格式1： Table表達(dá)式，n把表達(dá)式復(fù)制n次生成表例1：生成5，5，5，5，5，5，5例2：生成ex， ex ， ex ， ex ， ex格式2： Table表達(dá)式，x，n生成的表中元

10、素x的取值從1到n，步長為1例3：生成Sin1， Sin2 ， ， Sin10 例4：生成20個素數(shù)組成的表格式3： Table表達(dá)式，x，n1，n2 生成的表中元素x的取值從n1到n2，步長為1例5：生成10，11，12，20格式4： Table表達(dá)式，x，n1，n2，n3 生成的表中元素x的取值從n1到n2，步長為n3例6：生成10，20，30，150例7：生成e， e4 ， e7 ， e10 ， e13格式5： Tablefm，n，m ，m1 ，m2，m3，n，n1，n2，n3 生成二層表例8：生成2，3，4，5，6，3，4，5，6，7，6，7，8，9，10例9：生成1，2，2，3，3，

11、4，4，5，5，6例10：生成1，Sin1，2， Sin2， 5， Sin54、迭代（遞推）生成格式：NestList函數(shù)名f，初值x，迭代次數(shù)n例1：fx_: = 1/(1+x)NestListf，x，4例2： NestListSin，x，4五、表的有關(guān)操作1、元素的抽取格式1：First表取出表的第一個元素格式2：Last表取出表的最后一個元素格式3：表n取出表的第n個元素格式4：Take表，nn為正數(shù)取出表的前n個元素作成一個新表,n為負(fù)數(shù)則從表的最后一個元素向前取格式5：Take表，m，n取出表的第m個到第n個元素作成一個新表格式6：表n1，n2， ， n取出多層表中第n1個子表中的n

12、2個子表中的第n個元素例：有表d = 3，2，x2，3+y，“abc”，x，4，c求(1) Firstd(2) Lastdd3Taked , 2(5) Taked , 2 , 3(6) d3 , 2 , 22、去掉元素格式1：Rest表去掉表的第一個元素格式2：Drop表 , nn為正值，去掉表的前n個元素， n為負(fù)值，去掉表的后n個元素格式3： Drop表 , m , n去掉表的第m至第n個元素例 Restd ； Dropd , 23、按序號選取元素格式：表s1 , s2 , 選出表中第s1 , s2 , 個元素作成一個新表例：d1 , 4 , 1 , 24、表的元素替換格式：表n = x

13、把表的第n個元素替換為x例：d3 = 1，25、向表添加元素格式1：Prepend表，表達(dá)式將表達(dá)式加在原表的所有元素前格式2： Append表，表達(dá)式將表達(dá)式加在原表的所有元素后格式3： Insert表，表達(dá)式，n將表達(dá)式插在原表的第n個位置6、表與表合并格式1：Join表1，表2，把幾個表的元素按順序連接格式2：Union表1，表2，表表合并，重復(fù)的元素只取一次7、表的排序格式：Sort表將表中的元素按升序排列8、表的長度格式：Length表統(tǒng)計表中的元素的個數(shù)六、表的綜合操作舉例1、生成表1，x, 2，x2, 3，x3, 4，x42、取出所有子表的第一個元素3、求所有子表的第一個元素的指

14、數(shù)值4、放回表中相應(yīng)的位置作業(yè)：一、生成下列表1、1，4，9，16，100002、n1，n2，n50其中ni= n/n!，精確到小數(shù)點(diǎn)后10位3、1，2，3，10，1，2，3，10共10個子表4、1，2，3，100，101，102，103，200，901，902，903，1000二、1.已知f(x)=ex，求當(dāng)x=1，2，3，4時的函數(shù)值列表及數(shù)對(x，y)的列表。2.用Table生成一個自變量取值表，然后結(jié)合語句Transpose的用法，給出所生成表的自變量取值與對應(yīng)正切函數(shù)值組成數(shù)對的二層表。3.給定二層表1,2,2,3,3,4,4,5,5,6, 試用Mathematica命令取出這個表中

15、所有子表的第二個元素組成的表，并取對數(shù)后放回原表的相應(yīng)位置。9.2 Mathematica軟件的運(yùn)用9.2.1 用Mathematica 求極限案例9.19 求下列極限（1） （2） （3）（4） （5） （6） （7）解 (1) In1:=LimitSin5*x/x,x-0 out1=5(2) In2:=Limit5(1/x),x-0,Direction-1 out2=Infinity(Infinity為正無窮大”）(3) In3:=Limit5(1/x),x-0,Direction-1 out3=0(4) In4:=LimitAbsx/x,x-0,Direction-1 out4=-1(5

16、) In5:=Limit Absx/x,x-0,Direction-1 out5=1(6) In6:=LimitArcTanx,x-Infinity out6= (7) In7:=LimitArcTanx,x-Infinity out7= 9.2.2 用mathematica 進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算在mathematica 系統(tǒng)中，用Dfx,x表示fx對x的一階導(dǎo)數(shù)，用Dfx,x，n表示fx對x的n階導(dǎo)數(shù)，在一定范圍內(nèi)，也能使用微積分中的撇號（撇號為計算機(jī)鍵盤中的單引號）標(biāo)記來定義導(dǎo)函數(shù)，其使用方法為：若fx為一元函數(shù)，則fx給出fx的一階導(dǎo)函數(shù)，而fx0給出函數(shù)fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值，同樣，fx給出

17、fx的二階導(dǎo)數(shù)，fx給出x的三階導(dǎo)數(shù). 案例9.20 求下列函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)：(1) (2)案例9.20 求下列函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)：(1) (2)案例9.20 求下列函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)：(1) (2)案例9.20 求下列函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)：(1) (2)案例9.20 求下列函數(shù)的一階導(dǎo)函數(shù)：(1) (2)解 (1) In1:=D100*x18,x Out1=1800 x17 (2) In2:=Dx3*Cosx,x Out2=3x2Cosx-x3Sinx案例9.21 求函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù). 解 In3:=Dx3*Cosx,x,2 Out3=6xCosx-x3Cosx-6x2Sinx9.2.3 用Math

18、ematica 做導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用就是用導(dǎo)數(shù)的性態(tài)來研究函數(shù)的性態(tài)，主要包括函數(shù)的單調(diào)性、凹向、極值與最值的求法以及一元函數(shù)圖形的描繪，由于對函數(shù)單調(diào)性、凹向等問題的研究，不但需要進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，而且還需要進(jìn)行解方程及條件判斷等工作.因此，在用mathematica 做導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題的過程中，經(jīng)常使用Mathematica 系統(tǒng)中的Solve,Which, Print這三個函數(shù).案例9.22 設(shè)函數(shù) 在 處都取得極值，試定出 的值，并問這時 在 處都取得的是極大值還是極小值？解 In1:=fx_:=a*Logx+b*x2+x;In2:=Solvef1=0,f2=0,a,b(*解方程，求駐點(diǎn)*)I

19、n3:=c=%;(*將方程組的解賦給變量c*)In4:=a=a/.c1,1(*等價于a=a/.a-2/3*)In5:=b=b/.c1,2(*等價于b=b/.b-1/6*)解 In1:=fx_:=a*Logx+b*x2+x;In2:=Solvef1=0,f2=0,a,b(*解方程，求駐點(diǎn)*)In3:=c=%;(*將方程組的解賦給變量c*)In4:=a=a/.c1,1(*等價于a=a/.a-2/3*)In5:=b=b/.c1,2(*等價于b=b/.b-1/6*)解 In1:=fx_:=a*Logx+b*x2+x;In2:=Solvef1=0,f2=0,a,b(*解方程，求駐點(diǎn)*)In3:=c=%;

20、(*將方程組的解賦給變量c*)In4:=a=a/.c1,1(*等價于a=a/.a-2/3*)In5:=b=b/.c1,2(*等價于b=b/.b-1/6*)解 In1:=fx_:=a*Logx+b*x2+x;In2:=Solvef1=0,f2=0,a,b(*解方程，求駐點(diǎn)*)In3:=c=%;(*將方程組的解賦給變量c*)In4:=a=a/.c1,1(*等價于a=a/.a-2/3*)In5:=b=b/.c1,2(*等價于b=b/.b-1/6*)Out2=a-2/3,b-1/6Out8=f1極小值Out9=f2極大值另外，Mathematica 系統(tǒng)還提供了用逐步搜索法求函數(shù)極值的函數(shù)FindMi

21、nimum,其使用方法請讀者上機(jī)練習(xí).9.2.4 用Mathematica 做一元函數(shù)的積分在Mathematica 系統(tǒng)中，用Integrate 計算一元函數(shù)的積分，其格式與作用如下：Integratef,x 計算不定積分Integratef,x,a,b 計算定積分案例9.23 求下列積分.解 (1) In1:=Integratex8,x Out1=x9/9(2) In2:=Integratex8,x,0,2Out2=512/99.2.5 用Mathematica 求偏導(dǎo)數(shù)與多元函數(shù)的極值 與在Mathematica 系統(tǒng)中求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)類似，求多元函數(shù)f的偏導(dǎo)數(shù)仍用求導(dǎo)函數(shù)完成，具體調(diào)用

22、格式如下：、Df,x 給出f對x的偏導(dǎo)數(shù)Df,x,n給出f對x的n階偏導(dǎo)數(shù)Df,x1,x2,.給出f對x1,x2.的高階混合偏導(dǎo)數(shù).案例9.24 求函數(shù) 的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)和四個二階偏導(dǎo)數(shù) 解 In1:=Clearx,yIn2:=fx_,y_=3(x2+y2);In3:=Dfx,y,xIn4:=Dfx,y,yIn5:=Dfx,y,x,2In6:=Dfx,y,y,2In7:=Dfx,y,x,yIn8;=Dfx,y,y,xOut3=6xOut4=6yOut5=6Out6=6Out7=0Out8=0案例5.25 求函數(shù) 的駐點(diǎn). 解 In1:=Clearz,x,yIn2:=zx_,y_:=x2+y2-3*x*y+2x+2yIn3:=a=Dzx,y,x;In4: