《彈性力學(xué)》試題參考答案

1、 彈性力學(xué)試題參考答案（答題時(shí)間：100分鐘）一、填空題（每小題4分）最小勢(shì)能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中：平衡微分方程,應(yīng)力邊界條件。組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程,相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中，2pdxdy=M的物理意義是桿端截面上剪應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于桿D截面內(nèi)的扭矩M。平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)解法中,Airy應(yīng)力函數(shù)P在邊界上值的物理意義為邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩。5彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：1b+X=0，=（u+u）*/*ij,jiij2i,jj,i二、簡(jiǎn)述題（每小題6分）1.試簡(jiǎn)述力學(xué)中的圣維南原理，并說(shuō)明它在彈性力學(xué)分析中的作用。圣

2、維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計(jì)。作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。.圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)P的分離變量形式。p(x,y)=ax2+bxy+cy2P(r,0)=r2f(0)p(x,y)=ax3+bx2y+cxy2+dy3P(r,0)=r3f(0)3.圖示矩形彈性薄板，沿對(duì)角線方向作用一對(duì)拉力P,板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量E、泊松比卩已知。試求薄板面積

3、的改變量AS題二(3)圖設(shè)當(dāng)各邊界受均布?jí)毫時(shí)，兩力作用點(diǎn)的相對(duì)位移為Al。由=(1-卩)q得,Iqa2+b2Al=a2+b2=(1Li)E設(shè)板在力P作用下的面積改變?yōu)锳S，由功的互等定理有：q-AS=P-Al將Al代入得：1iniAS=P、a2+b2E顯然，AS與板的形狀無(wú)關(guān)，僅與E、n、l有關(guān)。4.圖示曲桿，在r=b邊界上作用有均布拉應(yīng)力q,在自由端作用有水平集中力P。試寫出其邊界條件(除固定端外)。題二(4)圖1)g1=q,t0=0r0r=br=b2)g11=0，t0=0r0r=arr=a3)Jbgdr=Pcos0a0btdr=Psin0r0aJbgrdr=Pcos00a5.試簡(jiǎn)述拉甫

4、(Love)位移函數(shù)法、伽遼金(Galerkin)位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問(wèn)題的基本思想，并指出各自的適用性Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問(wèn)題的基本思想：變求多個(gè)位移函數(shù)u(x,y),v(x,y),w(x,y)或u(r,0),u(r,0)為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函r0數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)(特殊函數(shù))。適用性：Love位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱的空間問(wèn)題；Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對(duì)稱的空間問(wèn)題。、計(jì)算題1.圖示半無(wú)限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P,設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的

5、適用范圍。(提示：取應(yīng)力函數(shù)為題三(1)圖申=Asin20+B0(13分)解：0d很小，M=Pd，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。將應(yīng)力函數(shù)申(r,0)代入，可求得應(yīng)力分量：Tr01型、dr（rd0丿Asin20r2c0dr2=（2Acos20+B）r20,2A+B二0（1）邊界條件：c0L=o=0，Tr0L=o=0；r豐0r丸代入應(yīng)力分量式，有TOC o 1-5 h z丄(2A+B)=0或r2(2)取一半徑為r的半圓為脫離體，邊界上受有：c,T0，和M=Pdrr0由該脫離體的平衡，得J2Tr2d0+M=0舟r0_2將T舊代入并積分，有J2（2Acos20+B）r2d0+M=0哥r

6、22TOC o 1-5 h zAsin20+B2+M=0得B代+M二0（2）-2聯(lián)立式（1）、（2）求得：dMPdAPd兀兀2兀代入應(yīng)力分量式，得2Pdsin2。；二0；t=-2Pdin20兀r20r。兀r2結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處可適用。2圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力G由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程x求出t,G，并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。xyy（12分）題三（2）圖解：（1）求橫截面上正應(yīng)力Gx任意截面的彎矩為M=-筆x3，截面慣性矩為I=h，由材料力學(xué)計(jì)算公式有TOC o 1-5 h z

7、6l12My2q1)g=ox3y HYPERLINK l bookmark20 xIIh3（2）由平衡微分方程求txy平衡微分方程：dGx-dxQtyxdxQtxy+X=0dydG(2)(3)其中，X=0,Y=0。將式（1）代入式（2）,有dtlh3txy利用邊界條件：xyy=積分上式，得=4x2y2+f(x)Ih313q忒x2h2+fx)=0即f(x)=-4x2h214lh3Txyqx2(y2-122)12344)QbyQy一祭x(y2-422)將式(4)代入式(3)，有6qiQb曲x(y2-422F二0積分得羨x(善-422y)+八x)利用邊界條件：q=-tx二0丄hy=+2得：-購(gòu)0 x

8、(-23+123)+f(x)123248丿丿2、丿-6qox(23-123)+f(x)=0123248丿丿由第二式，得將其代入第一式，f2(x)一分得qqq一椚-屮二-于x自然成立。將f2(x)代入by的表達(dá)式，有6qy31qby一麗x(可一422y)一勞兀5)所求應(yīng)力分量的結(jié)果：My0 x3yIh36)Txyby一將X(T-422y)-IT校核梁端部的邊界條件：(1)梁左端的邊界(x=0)：f2b-hx-2（2）梁右端的邊界（x=dy=0 x=0f2T-hxy-2dy=0 x=0代入后可見(jiàn)：自然滿足。l）：卜2b-h-2xx=l2q0hlh32dy=0 x=lxyx=l,U3qx2h2、,d

9、y=J2（y2-牛）dy-hlh342ql=0-2x=l卜2b-h-2ydy=f2xx=l2qx3f古y2x=ldy=-2ql303lh3可見(jiàn)，所有邊界條件均滿足。檢驗(yàn)應(yīng)力分量b,T,b是否滿足應(yīng)力相容方程:xxyy常體力下的應(yīng)力相容方程為V2（b+b）=（字+字）（b+b）=0TOC o 1-5 h zxyex2oy2xy將應(yīng)力分量b，b式（6）代入應(yīng)力相容方程，有xxyy0L（b+b）=-12q0 xy，孚+b）=-爭(zhēng)xyox2xylh3oy2xylh3V2（b+b）=（匹+-0）（b+b）=-24q0 xy豐0 xyOx2Oy2xylh3顯然，應(yīng)力分量b,T,b不滿足應(yīng)力相容方程，因而式

10、（6）并不是該該問(wèn)題的正確解。xxyy端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為1,抗彎剛度EI為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k。梁受有均勻分布載荷q作用，如圖所示。試:（1）構(gòu)造兩種形式（多項(xiàng)式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)w（x）（2）用最小勢(shì)能原理或Ritz法求其多項(xiàng)式形式的撓度近似解（取1項(xiàng)待定系數(shù)）。13分）題二（3）圖解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為w(x)=x2(A+Ax+Ax2+AA)123多項(xiàng)式函數(shù)形式此時(shí)有：2m兀x.w(x)=乙A(1一cos)mlm=1三角函數(shù)形式w(x)=x2(A+Ax+Ax2+AA)123=0 x=0w(x)=2x(A+Ax+Ax2+AA)+x2(A+Ax+

11、AA)=03x=0亍2m兀xw(x)=乙A(1-cos-)mm=1x=0w，(x)=工Alm2m兀m=1即滿足梁的端部邊界條件梁的總勢(shì)能為.2m兀xsinl=0 x=0n=2J：EI2dx-lqw(x)dx+kw(l)102取w(x)=x2，有d2w盂=2Aiw(l)=Al21代入總勢(shì)能計(jì)算式，有n=lEI(2A)2dx-lqx2Adx+k(A12)22010121=2EIlA2-1由sn=o，有4EIlAi+kAil4-313=0A=也i3(4Ell+kl4)代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為w(x)=吐x23(4Ell+kl4)4.已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力分量為：=0,=2MPab

12、=1MPa,=IMPat=0 xyzxyyze二2MPa,試求經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的平面x+3y+z=1上的正應(yīng)力zx（12分）解：由平面方程x+3y+z=1,得其法線方向單位矢量的方向余弦為112+32+1233m=12+32+12111nX.-12+32+12ij711201n1J-Ilt-0131.1220卩|5733292.64MPa11111彈性力學(xué)課程考試試卷學(xué)號(hào)：姓名:工程領(lǐng)域：建筑與土木工程題號(hào)一.二三四五總分得分考試時(shí)間：120分鐘考試方式：開(kāi)卷任課教師：楊靜日期：2007年4月28日、簡(jiǎn)述題（40分）試敘述彈性力學(xué)兩類平面問(wèn)題的幾何、受力、應(yīng)力、應(yīng)變特征,并指出兩類平面問(wèn)題中彈性常數(shù)間

13、的轉(zhuǎn)換關(guān)系。彈性力學(xué)問(wèn)題按應(yīng)力和位移求解,分別應(yīng)滿足什么方程？寫出直角坐標(biāo)下彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本方程和邊界條件？寫出彈性力學(xué)按應(yīng)力求解空間問(wèn)題的相容方程。求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí),為什么需要利用圣維南原理？試敘述位移變分方程和最小勢(shì)能原理,并指出他們與彈性力學(xué)基本方程的等價(jià)性?試判斷下列應(yīng)變場(chǎng)是否為可能的應(yīng)變場(chǎng)？（需寫出判斷過(guò)程）C（x2+y2），Cy2，丫2Cxyxyxy8.試寫出應(yīng)力邊界條件：（1）（a）圖用極坐標(biāo)形式寫出；（2）（b）圖用直角坐標(biāo)形式寫出。a）圖二、計(jì)算題（15分）已知受力物體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為：=o=2a,T=a，匚=at=0t=2axyzxyyzzx試求作用在過(guò)此點(diǎn)的平面

14、x+3y+z=1上的沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量，以及該平面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。三、計(jì)算題（15分）圖示矩形截面懸臂梁，長(zhǎng)為l，高為h，在左端面受力P作用。不計(jì)體力，試求梁的應(yīng)力分量。（試取應(yīng)力函數(shù)9二Axy3+BxylHy四、計(jì)算題（15分）圖示半無(wú)限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P,設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（試取應(yīng)力函數(shù)9=Asin29+B9五、計(jì)算題（15分）如圖所示的懸臂梁，其跨度為l（抗彎剛度為EI，在自由端受集中力P作用（試用最小勢(shì)能原 。 理求最大撓度。(設(shè)梁的撓度曲線W=A(lcos)彈性力學(xué)試題(答題時(shí)間：1

15、20分鐘)班級(jí)姓名學(xué)號(hào)題號(hào)-一一-二二三總分(1)(2)(3)(4)得分一、填空題(每小題4分)TOC o 1-5 h z用最小勢(shì)能原理求解時(shí)所假設(shè)的位移試函數(shù)應(yīng)滿足：。彈性多連體問(wèn)題的應(yīng)力分量應(yīng)滿足，。3拉甫(Love)位移函數(shù)法適用空間問(wèn)題；伽遼金(Galerkin)位移函數(shù)法適用于空間問(wèn)題。圣維南原理的基本要點(diǎn)有,。有限差分法的基本思想為：,。二、簡(jiǎn)述題(每小題5分)試比較兩類平面問(wèn)題的特點(diǎn)，并給出由平面應(yīng)力到平面應(yīng)變問(wèn)題的轉(zhuǎn)換關(guān)系。試就下列公式說(shuō)明下列問(wèn)題：?jiǎn)芜B體問(wèn)題的應(yīng)力分量與材料的彈性常數(shù)無(wú)關(guān)；多連體彈性力學(xué)問(wèn)題中應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無(wú)關(guān)的條件。右+Q=2(z)+0(z)L4Re0(

16、z)ac+2iT=2lz0(z)+屮(z)JTOC o 1-5 h zyxxy11申(z)=巳瓦(X+iY)ln(zz)+申(z)18兀kkk1*屮(z)=(XiY)ln(zz)+屮(z)18兀kkk1*1k=1式中：申(z),屮(z)均為解析函數(shù)；申(z),屮(z)均為單值解析函數(shù)。111*1*aT&丄3.試列寫圖示半無(wú)限平面問(wèn)題的邊界條件。題二（3）圖4.圖示彈性薄板，作用一對(duì)拉力P。試由功的互等定理證明：薄板的面積改變量AS與板的形狀無(wú)關(guān),僅與材料的彈性模量E、泊松比卩、兩力P作用點(diǎn)間的距離l有關(guān)。下面給出平面問(wèn)題（單連通域）的一組應(yīng)變分量,試判斷它們是否可能。=C（x2+y2）,=Cy2,丫=2Cxyxyxy等截面直桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)解法中，應(yīng)力函數(shù)（x,y）應(yīng)滿足:V2p=2GK式中：G為剪切彈性模量；K為桿件單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。試說(shuō)明該方程的物理意義。三、計(jì)算題1.圖示無(wú)限大薄板，在夾角為90。的凹口邊界上作用有均勻分布剪應(yīng)力q。已知其應(yīng)力函數(shù)為:甲=r2(Acos20+B)不計(jì)體力,試求其應(yīng)力分量。13分）題三（1）圖2.圖示矩形截面桿，長(zhǎng)為l,截面高為h,寬為單位1,受偏心拉力N,偏心距為e,不計(jì)桿的體力。試用應(yīng)力函數(shù)9二Ay3+By2求桿的應(yīng)力分量，并與材料力學(xué)結(jié)果比較。（12分）題三（2）圖3圖示簡(jiǎn)支梁，其跨度為1,