非參數(shù)統(tǒng)計學(xué)講義相關(guān)與回歸

1、個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用非參數(shù)統(tǒng)計學(xué)講義主講：統(tǒng)計系袁靖第五章相關(guān)和回歸 1引言所謂相關(guān)，是指兩組或兩組以上觀察結(jié)果之間的連帶性或聯(lián)系。換句話說，也就是各組觀察結(jié)果所反映的特性之間有關(guān)系。如幾個親生兄弟間的智商與出生順序有關(guān)系，受教育程度與性別有關(guān)系，出生率X和文盲率 Y之間的關(guān)系等等。在實際問題的研究中，人們常常想知道兩組或兩組以上的觀察結(jié)果是否有聯(lián)系，同時也想知道聯(lián)系的程度如何。前面的統(tǒng)計檢驗?zāi)軌蛟谝欢ǖ娘@著性水平上，確定各組觀察 值的關(guān)系是否存在。相關(guān)方法被用來度量兩個或更多變量之間的線性關(guān)系的強度，是回歸分析的基礎(chǔ)。在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，我們使用相關(guān)系數(shù)定義變量X和變量Y之間的相關(guān)性。：=

2、corr(X,Y)= C0V(X，Y)1(0,1.var(X) var(Y)對于龍羊本(Xi，Yi), (X2，Y2),(Xn，Yn)來說,Pearson相關(guān)系數(shù)為Z(Xi -x)(y -Y)nVZ(Xi -x)2Z(y -Y)2v (Xi -X)(y -Y)% (Xi -X)2% (Yi -Y)2(0.2如果在這個樣本中的 n個觀察值獨立，則r是P的漸近無偏估計；如果它又是二元正態(tài)分布，則 r是P的ML估計。為了檢驗H0：P=0, H: P#0 ,可以選取統(tǒng)計量t=r J 土言t(n2)1 1 -r結(jié)論：Pearson相關(guān)系數(shù)度量的是一種線性關(guān)系，而我們所要介紹的非參數(shù)的Spearman秩相

3、關(guān)系數(shù)rs和Kendall。相關(guān)系數(shù)實際上度量的是一種形式的相依聯(lián)系，或是更廣義的單調(diào)關(guān)系。因此相關(guān)的概念被推廣，不僅指線性相關(guān)，而泛指相依或聯(lián)系。 2兩個樣本的相關(guān)分析等級相關(guān)等級相關(guān)(Rank Correlation也稱作級序相關(guān)，用于兩個至少是定序尺度測量的樣本問相關(guān)程度的測定研究背景1 P度量了總體樣本點在標(biāo)準(zhǔn)差線周圍的聚集程度，詳見筆記 P38。個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用基本方法兩個樣本X、Y,其觀察數(shù)據(jù)可以配對為(X1,Y1), (X2，丫2),(Xn,Yn)。將x1,x2，xn排序后 評秩，其秩記作 U,與Xi相對應(yīng)的秩為Ui(i =1,2，n)；同樣，Yi，Y2；j-, Yn排

4、序后評秩，秩記作 V,與 yi相對應(yīng)的秩為Vi(i =1,2，n)。這樣得到的 n對秩(U1M), (U2M),，(U n ,Vn)可能每一對完全相 等，也可能不等。由于每一樣本都是n個數(shù)據(jù)評秩，因此 叫與Vj的取值都是從1到n。X、Y的秩可能完全一致，即對于所有的i來說，有Ui = M ,表51是完全一致的評秩結(jié)果。X、Y的秩可能完全相反，表52是完全相反的評秩結(jié)果。如果 X、Y完全相關(guān)，應(yīng)該對于所有的i有Ui = Vi ,即Ui Vj =0。因此，Ui與Vi之差可以用來度量 X、Y的相關(guān)程度。定義Di =Ui -Vi表5-1完全一致的評秩X的秩Y的秩1122n 1n 1nn表5-2完全相反

5、的評秩X的秩Y的秩1n2n 1n 12n1則兩組秩完全相關(guān)時，Di i 1 i 15.3)式的這個秩差值平方和的大小既受到n的多少的影響，又受到兩組秩不一致程度的影響，因此，采用相對的測量指標(biāo)有利于說明X、Y的相關(guān)程度。因為 Di2的最大值反映X、丫完全不相關(guān)的情況，所以，用5,4）式的中括號內(nèi)最后一項，當(dāng)n為奇數(shù)時是22； n為偶數(shù)時是12。5.3）式除以5,4）式得到(0.5、D2_ 3, D2,2、，一 ，2、n(n -1)/3n(n -1)5,5）式的取值從0至IJ 1。根據(jù)表5-1中的數(shù)據(jù)計算5,5）式值為0,表5-2中的數(shù)據(jù)計算的5,5）式值為1,即X、Y的秩完全一致時，5,5）式

6、的值為0, X、Y的秩完全不一致時，5,5）式的值為1。測度兩個樣本等級相關(guān)程度可以象參數(shù)方法一樣，定義等級相關(guān)系數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)。斯皮爾曼的等級相 關(guān)系數(shù)（Spearmancoefficient of rank correlation是測定兩個樣本相關(guān)強度的重要指標(biāo)。其計算公式為6% Di2R =12 （0,6n（n -1）斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)也寫為,在有下標(biāo)注以s是為表明這個相關(guān)系數(shù)r不是積矩相關(guān)的簡單相關(guān)系數(shù)，而是等級相關(guān)的 Spearman相關(guān)系數(shù)。注：由于5,6）式與5,5）式不同，所以，R的取值從一 1到十1, R =1表明X、Y完全相關(guān)，R =十l為完全正相關(guān)，R=- 1為完全負(fù)相關(guān)。|R

7、越接近于I,表明相關(guān)程度越高，反之，R越接近于零，表明相關(guān)程度越低，R=0為完全不相關(guān)。R0為正相關(guān)，RV0為負(fù)相關(guān)。通常認(rèn)為 R :0,8為相關(guān)程度較高。Spearman秩相關(guān)系數(shù)檢驗臨界值查表可得，P198。存在打結(jié)時，Spearman統(tǒng)計量要作相應(yīng)修正。在大樣本時，可用正態(tài)近似作檢驗。Z=rs,n1 nN(0,1)應(yīng)用【例5-1】經(jīng)濟發(fā)展水平和衛(wèi)生水平之間的相關(guān)分析對某地區(qū)12個街道進(jìn)行調(diào)查，并對經(jīng)濟發(fā)展水平和衛(wèi)生水平按規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)打分，評定結(jié)果如表5- 4。表5-4某地區(qū)經(jīng)濟水平與衛(wèi)生水平得分街道號經(jīng)濟水平182287360衛(wèi)生水平867865街道號 經(jīng)濟水平衛(wèi)生水平7848087877

8、98075個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用498881094965756411858568990126870分析：將表5-4中定距尺度測量的分?jǐn)?shù)，按從小到大的順序排等級，得到表55的結(jié)果。對兩個定序尺度測量的樣本進(jìn)行相關(guān)分析，可以采用等級相關(guān)系數(shù)測定。必要的計算過程如表5-5所列。根據(jù)0. 8,所以該地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展水平和衛(wèi)生水平存在著正相關(guān)關(guān)系，相關(guān)程度較高，為 88. 81%。街道號經(jīng)濟水平U)衛(wèi)生水平式中，u是X中同分的觀察值數(shù)目，v是Y中同分的觀察值數(shù)目。【例5-2】經(jīng)濟發(fā)展水平和衛(wèi)生水平之間的相關(guān)分析某地區(qū)對24個區(qū)縣進(jìn)行調(diào)查，并對經(jīng)濟發(fā)展水平和衛(wèi)生水平按規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)評分，結(jié)果如表56。分析：將

9、表56的評分轉(zhuǎn)換為秩次，從高往低排序，同分的秩取平均值，結(jié)果見表57。根據(jù)公式個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用,_ 2R =1 - 6 i=16 347 =1 -0.1509 =0.8491n(n -1)24 (24 -1)由于經(jīng)濟水平和衛(wèi)生水平的評分中均有同分，應(yīng)采用校正因子修正。利用5.7式計算修正的R為,22n(n -1)-6% Di -6(u v)24 (575)-6 (347) -1 / 2 (16 12)n(n2-1) -12u . n(n2 _1)_12v,24 (575)-16.24 (575) -12= 0.8490對比兩個 R值可知，由于同分的觀察值數(shù)目占觀察值總數(shù)目的比例不是很

10、大，因而校正后的R與校正前的R變化不大。但是，校正前的只略大于校正后的R,這說明同分對只的影響雖然很小，但同分的區(qū)縣編號經(jīng)濟水平X)衛(wèi)生水平Y(jié))區(qū)縣編號經(jīng)濟水平X)衛(wèi)生水平Y(jié))192561368552907014676639071156559487761664585816917615068068186054779621959438777020554597664214634107663224232117454233930126865243831影響是夸大R值。因此。在X、Y中至少有一個存在大量同分時，應(yīng)進(jìn)行校正。表5-6經(jīng)濟水平與衛(wèi)生水平評分區(qū)縣編號X的秩次U)Y的秩次V)D=U-VD1114-

11、1316922.53.5-1132.520.50.254413955500666007711-416883.54.520.2599.590.50.25109.510-0.50.25111116.5-5.530.251212.584.520.251312.515-2.56.25141477491515123916161339171718-11表5-7經(jīng)濟水平與衛(wèi)生水平的秩次個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用181816.51.52.25191920-11202019112121210022222200232324-1124242311347.004.R的顯著性檢驗利用相關(guān)系數(shù)及其修正的公式計算的R值，是

12、抽自兩個總體的樣本數(shù)據(jù)計算的結(jié)果，從這一相關(guān)系數(shù)的大小，可猜測總體的秩相關(guān)系數(shù)是否與零有顯著差異，但是否為真，應(yīng)進(jìn)行假設(shè)檢驗。對R的顯著性檢驗正是為了回答這一問題。檢驗可以僅研究兩個總體是否存在相關(guān)，也可以分別研究相關(guān)的方向，即是正相關(guān)，還是負(fù)相關(guān)。針對研究問題的不同，可以建立不同的假設(shè)組。雙側(cè)檢驗H0：不相關(guān)H1:存在相關(guān)單側(cè)檢驗H0 :不相關(guān)H0 :不相關(guān)H+ :正相關(guān)H :負(fù)相關(guān)為對假設(shè)作出判定，所需數(shù)據(jù)至少是定序尺度測量的。根據(jù)前式計算出R值。當(dāng)nM30時，在附表中，依據(jù)n和R查找相應(yīng)的概率 P。表58是判定指導(dǎo)表。表5-8 R顯著性檢驗判定指導(dǎo)表設(shè)P-H+:正相關(guān)R的右尾概率H:負(fù)相

13、關(guān)R的左尾概率H1：存在相關(guān)R的較小概率的2倍若n30,則按【例5-3】對例53作顯著性檢驗分析：由于例53中未指明相關(guān)的方向，只需檢驗是否相關(guān)，因而建立雙側(cè)備擇：H0：不相關(guān)Hi：存在相關(guān)個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用利用提供的數(shù)據(jù)計算的R值為0. 8491 ,每個樣本數(shù)據(jù) n為24。在附表中 n= 24時；雙側(cè)檢驗R =0.608的概率為 0. 002。顯然，R = 0. 8491 R =0.608。因此，概率 PV0. 002,數(shù)據(jù)拒絕 Ho,表 明經(jīng)濟水平和衛(wèi)生水平確實存在相關(guān)關(guān)系。二、Kendall r相關(guān)檢驗Kendall秩相關(guān)即肯德爾秩相關(guān)，與等級相關(guān)一樣，也是用于兩個樣本相關(guān)程度的

14、測量，要求數(shù)據(jù)至 少是定序尺度的。它也是利用兩組秩次測定兩個樣本問相關(guān)程度的一種非參數(shù)統(tǒng)計方法。. 基本概率協(xié) 同0 ,則對子(Xi,Yi)與(Xj,Yj)協(xié)同；如果 (Xj Xi)(Yj -Y)非一致對評分與最大可能總分之比為2Vn(n -1)(0.10當(dāng)Y的秩對完全按自然順序排列時，5.9）式的值為1, 5.10）式的值為0;而當(dāng)Y的秩對全部為非一致對時，5.10）式的值為1, n(n -1)T =14Vn(n -1)(0.12若記S= U V ,則Kendall秩相關(guān)系數(shù)為n(n-1)(0.13這里的Kendall秩相關(guān)系數(shù) T是Tau的縮寫，也常寫作 。T = l,表明兩組秩次完全正相

15、關(guān)；T =1,表明兩組秩次間完全負(fù)相關(guān)。一般 |T 0.8,可以為相關(guān)程度較高。NOTE :該定義式實質(zhì)為概率，-1 T , Cn -u Cn -V式中，uH=ZCu , u是X中同分觀察值的數(shù)目，v=C：, u是X中同分觀察值的數(shù)目。u, v仍分別表示X、Y的每一同分組中同分觀察值的數(shù)目。表5-11兩個裁判員的秩的評分XY的數(shù)對1, 2.52, 3.515個加1, 2.52, 3.513個減1, 4.52, 1-11 , 4.52, 512.5 , 2.53.5 , 3.50個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用2.5 ,4.53.5 , 1-12.5 ,4.53.5 , 512.5 ,4.53.5 ,

16、 1-12.5 ,4.53.5 , 514.5 ,4.51 , 505. T的顯著性檢驗與Spearman秩相關(guān)系數(shù) R一樣，Kendall秩相關(guān)系數(shù) T的顯著性也應(yīng)進(jìn)行檢驗。這一檢驗實際上是檢驗兩個總體的相關(guān)是否真實存在，是正相關(guān)或是負(fù)相關(guān)，從而說明以T的大小反映相關(guān)程度的高低是可信。如果研究關(guān)心的是相關(guān)是否確實存在，而不考慮相關(guān)的方向，則應(yīng)建立雙側(cè)備擇，假設(shè)組為H0：不相關(guān)H1:存在相關(guān)若關(guān)心的是相關(guān)的方向，則應(yīng)建立單側(cè)備擇，假設(shè)組為H0 :不相關(guān)H0 :不相關(guān)H+:正相關(guān)H-:負(fù)相關(guān)為對假設(shè)作出判定，所需數(shù)據(jù)至少是定序尺度測量的。通過對數(shù)據(jù)求出一致對或非一致對數(shù)目，可 以按照計算公式算出

17、 Kendall秩相關(guān)系數(shù)T。1）小樣本時（n 30）,可以查表給出尾概率，T的抽樣分布中附表中給出。表5-12 T顯著性檢驗判定指導(dǎo)表設(shè)P-H+:正相關(guān)T的右尾概率H:負(fù)相關(guān)T的左尾概率Hi：存在相關(guān)T的較小概率的2倍30）,可作正態(tài)近似(0.153T , n(n-1)2(2n 5), n(n -1)(2n 5)/18由于Z近似正態(tài)分布，故可以查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表找到相應(yīng)的尾概率。三、 等級相關(guān)系數(shù)R和Kendall秩相關(guān)系數(shù)T的比較.相同點兩個相關(guān)系數(shù)的檢驗都要求數(shù)據(jù)至少是在定序尺度上測量；都是計算秩相關(guān)系數(shù)，用以測度兩個相關(guān)樣本之間的相關(guān)程度；它們的取值都是在一1到+1之間；.不同點R和T的

18、數(shù)值即使對于同一組數(shù)據(jù)也是不同的，多數(shù)情況下，R的絕對值大于T的絕對值；雖然R和T都使用了資料中同量的信息，但由于兩者具有不同的基礎(chǔ)尺度，R利用的是秩差，而T利用的是秩的順序，即一致對和非一致對，因此，不能將它們的數(shù)值加以比較，以說明相關(guān)程度的高個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用低。T的解釋比起 R來更容易。兩個觀察的數(shù)對 (xi,yi) , (Xj,yj),當(dāng)Xi Xj時，總有yi yj ,稱為 順序一致對，若對于每個 Xi yj ,則為不一致對。T的準(zhǔn)確意義是：一致對數(shù)目與非一致 對數(shù)目之差占全部可能數(shù)對的比重。四、偏秩相關(guān)詳見易丹輝教材k個樣本的相關(guān)分析前面一章研究的是 n個對象或個體的兩組秩之

19、間相關(guān)的度量，在實際問題中，往往還涉及n個對象或個體的幾組秩評定之間的相關(guān)。對于至少是定序尺度測量的k個配對樣本的數(shù)據(jù)，或 k次實驗得到的數(shù)據(jù)，其秩評定間的相關(guān)，可以采用 Kendall秩評定協(xié)同系數(shù)度量。本章主要介紹兩種Kendall秩評定協(xié)同系數(shù)：完全秩評定協(xié)同系數(shù)和不完全秩評定協(xié)同系數(shù)。一、完全秩評定的Kendall協(xié)同系數(shù)完全秩評定的 Kendall 協(xié)同系數(shù)(KendallCoefficient of Concordancefor ComPlete Rankings用于是組秩 評定間相關(guān)程度的測定，即多組秩之間關(guān)聯(lián)程度的測定。.基本方法若被分析的數(shù)據(jù)是定序尺度測量的，那么n個數(shù)據(jù)，即

20、n個對象或個體，可以分別給予某一個秩，在這一組數(shù)據(jù)內(nèi)所有的秩次和即等級和為2 HI n = n(n 1)/2如果有k組秩，那么這 k組秩的秩次總和就是 kn(n+1)/2。例如3個消費者分別給 6種牌號電冰箱的質(zhì)量評等級，結(jié)果如表514。表中最后一行 Rj是每一種6牌號電冰箱的秩和，總的秩和為kn(n+1)/2= 3(6)(6+ 1)/2 63Z R 。這也就是最大可能的秩次j 1和。這時，對于每一個觀察對象或個體來說，平均的秩次和應(yīng)為kn(n+1)/2/ n表5-14消費者給冰箱質(zhì)量評定的秩冰箱A冰箱B冰箱C冰多i D冰箱E冰多i F116325421564233632541個人資料整理 僅

21、限學(xué)習(xí)使用秩和C8141111118/2。如果Rj(j = l, 2,，n表示每一觀察對象或個體白實際秩和，那么， B與k(n 十1/2越接近，表明對第j個觀察對象或個體的秩評定越接近平均秩；二者相差越遠(yuǎn)，遠(yuǎn)離平均秩。由于Rj與k(22十1/2的差值可正可負(fù)，因此，在分析時應(yīng)采用差值的平方和。定義差值的平方和為S,即 nS 八(弓-k(n 1)/2)2(0.16j 1在k組秩評定完全一致時，各個觀察對象或個體的秩和與平均秩和的離差平方和，是最大可能的離差平 方和。由于k組秩評定完全一致時，各觀察對象或個體的秩和分別為k, 2k,，nk,如表514,如果3位消費者對6種牌號電冰箱的質(zhì)量看法一致，

22、那么他們會給出相同的秩。這時，被認(rèn)為質(zhì)量最好的電冰箱將得到3個秩1,它們的秩和 Rj = 1十1十1 = 3=ko被認(rèn)為質(zhì)量第二的，秩和Rj = 2十2十2= 6=2k。最差的電冰箱秩和將是Rj = 6十6十6=18=nko也就是說，當(dāng) k組秩評定之間完全一致的時候，Rj應(yīng)是k, 2k,，nko因此，最大可能的離差平方和為 nn、jk -k(n 1)/22 =k2% (j -(n 1)/2)2 =k2n(n2 -1)/12(0.17j 1j 1k組秩評定間的一致性，即協(xié)調(diào)程實際偏差平方和與最大可能偏差平方和之比，在一定程度上能反映度。5.16)式除以W的取值在0到1之間。若 W=0,表明k組秩

23、之間不相關(guān)；若 W=1,表明k組秩之間完全相關(guān)，即完全致。由于k2時，k組秩評定不可能完全不一致，也就是說，只有當(dāng) k=2時，秩評定一致和非一致是對稱相反的，而k2,對稱性不再存在，因此，W取值不可能為負(fù)。為方便實際計算,NOTE :在m組秩的評定完全一致時,該離差平方和是最大可能的離差平方和，實際上，個體的秩和分別為：k,2k,，nk。22最大可能的離差平萬和為：k n(n -1)/12完全評秩的協(xié)同系數(shù) W,實際表達(dá)了實際偏差平方和和最大可能偏差平方和之比，在一定程度上反映了 k組評秩之間的一致性，即協(xié)同程度。個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用0 WW W1。當(dāng)W=0時，表明k組秩之間不相關(guān)；若

24、W=1 ,表明k組秩之間完全相關(guān)，即完全一致。在作檢驗時，W統(tǒng)計量和 S統(tǒng)計量都有表可查；當(dāng)大樣本時，有12S2Q=k(n1)W= . (n -1)kn(n 1)應(yīng)用【例5-8】裁判組整體評分效果的相關(guān)分析在某次業(yè)余歌手大賽上，6名裁判員組成的裁判組，對10名參賽歌手的評分等級如表515。表5-15裁判員對歌手評定的等級歌手編號裁判員A裁判員B裁判員C裁判員D裁判員E裁判員F11111152237583354626949754106545365866647727329102487101034191082997108988310分析：裁判組由 6名裁判組成，要評價 6名裁判整體評分效果，實際上是

25、評價裁判組整體評分的一6個樣本完全秩評致程度。由于這是 6個配對樣本，且每一個觀察對象即參賽歌手全部都有秩，所以是定協(xié)調(diào)程度的考察，應(yīng)采用完全秩評定的Kendall協(xié)同系數(shù)。表5-16裁判員對歌手評定的等級歌手編號RjRj21101002287843321024441168153196163210247309008351225945202510462116合計33011840表516是Rj計算表。由于 k=6, n=10,按5.19)式有n R2 -3k2n(n 1)2j +k2n(n2 -1)一 _2二 12(11840) - 3(36)(10 -1)(10 1)-10(36)(102 -1

26、)=0.6865般來說，W的值越接近于l,表明k組秩評定之間的一致程度越高；W值越接近于0,則k組秩評個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用定之間的一致程度就越低。這里，W=0. 6865,不算很大，表明裁判組6名裁判員對10名參賽歌手水平的意見一致程度不是很高。同分的處理詳見易丹輝編非參數(shù)統(tǒng)計一方法與應(yīng)用P134。W的顯著性檢驗對W顯著性的檢驗，是為了對總體間是否存在真實的相關(guān)關(guān)系作出判定。由于是k個樣本，只能建立雙側(cè)備擇，假設(shè)組為Ho：不相關(guān)H1:存在相關(guān)為了對假設(shè)作出判定，需要容量均為n的k個樣本數(shù)據(jù)至少是在定序尺度上測量的，每一觀察值都能有相應(yīng)的秩。 TOC o 1-5 h z 檢驗統(tǒng)計量因樣本的

27、大小而有所不同。當(dāng)樣本的觀察值n較小時，采用的檢驗統(tǒng)計量為SonnS c (B-k(n 1)/2)2 C R2-3k2n(n 1)2(0.20j ij 1當(dāng)樣本觀察值數(shù)目n較大時，采用 Q統(tǒng)計量。12S2Q=k(n-1)W= - (n-1)(0.21kn(n 1)小樣本時，檢驗統(tǒng)計量 S在H0為真時的抽樣分布，可以參見附表。大樣本時，可以查卡方分布表得 到其相應(yīng)的尾概率的值?！纠?-9】對上例的W值進(jìn)行顯著性檢驗分析：因為在這個問題中，n=l0, k= 6,所以應(yīng)利用 W值計算統(tǒng)計量 Q,根據(jù)式中，入是配對樣本被比較的次數(shù)。例如，3個消費者對3種牌號的彩電質(zhì)量評等級，若3種脾號的彩電僅一次被比

28、較，則 入=1。/2,由于有k行，因此，所 有的秩和為km(m十1/2。對于n列來說，平均每列的秩和為 km(m十1/2n。若每列的實際秩和記作 Rj(j=1, 2,，n那么，實際秩和與平均秩和的差值大小也可以用作判定協(xié)調(diào)性程度。由于實際秩和與平均秩和之差可正可負(fù)，因而，仍采用差值平方和。定義S為km(m 1)12S =， B (0.23jT j 2n當(dāng)k組秩的評定完全一致時，S就是2,2,、1 n(n -1) (0.2412這也就是實際秩和與平均秩和差值平方和的最大可能值。因此，將 5.23)式與 2n(n2 -1)nW =12%j i2(0.26Rj -km(m 1)/2n222 n(n

29、1)如果 m = m和入=k,那么5.25）式和5.26）式就是5.18）式。W值在0到1之間。W為0,表明k組秩評定之間不相關(guān)；W為1,表明k組秩評定之間完全相關(guān)，即完全一致。由于k2時，秩評定的一致和非一致不是對稱的，因而， W取值不可能負(fù)。為實際計算的方便，5.25）式和5.26）式可以寫成5.27）式的形式。12S =12% R23k2m2(m 1)2nn12% Rf -3k2m2(m 1)2/nj注,2n(n2 -1)(0.27應(yīng)用【例5-10】消費者對彩電質(zhì)量評價的一致性分析3個。因7種不同牌號的彩電質(zhì)量檢驗，不要求消費者對每一種牌號的彩電都給出秩，只要求不大于而，m=3, n=7

30、。如果每對彩電僅一次被比較，因而有 入=1。需要的消費者數(shù)目，可以從 （521式中計算得到n(n -1) 1(7)(7 -1) k = = = /m(m -1)3(3 -1)表5-18 消費者對彩電質(zhì)量可能的評秩消費者編號彩電A彩電B彩電C彩電D彩電E彩電F彩電G1*2*3*4*5*6*7*表5-19消費者對彩電的秩評定結(jié)果消費者編號彩電A彩電B彩電C彩電D彩電E彩電F彩電G112321323321個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用4231513262137132合計3597846即需要有7名消費者來評定。表518是一種滿足要求的設(shè)計表格。表中的*號表示那種牌號的彩電被消費者評秩。由于 m=3, n=

31、7, k=7,所以表中每一行有 m=3個秩，表中每一列有 km/n=7（3/7=3個秩。經(jīng)過消費者評秩，結(jié)果如表519。分析：由于這是不完全的秩評定，設(shè)計要求符合（5 21式的平衡假定，可以采用不完全秩評定的Kendall協(xié)同系數(shù)，分析消費者對彩電質(zhì)量評價的一致性。根據(jù)5.27）式有12S =12(32 52 92 72 82 42 62)-3(72)(32)(3 1)2 / 7 = 12(280)-30 24 = 336336W =-2=1 7(72 -1)這是W的最大值，表明7個消費者對彩電質(zhì)量的看法完全一致。在不完全的秩評定中，同分也是可能出現(xiàn)的，因為數(shù)據(jù)可以由定距尺度的評分轉(zhuǎn)換為定序尺

32、度的 秩。但是，目前沒有比較簡單的校正公式，因此，計算 Kendall協(xié)同系數(shù)時，仍舊采用 524）式，5 25）式或 5.27）式。顯著性檢驗對于不完全秩評定的 Kendall協(xié)同系數(shù)，也可以進(jìn)行顯著性檢驗。建立的假設(shè)組為Ho：不相關(guān)Hi：存在相關(guān)為對假設(shè)作出判定，需要k個樣本的數(shù)據(jù)至少是定序尺度測量的，并能夠根據(jù)前面的公式分別計算出S、Wo利用S、W按照5.28）式、5.29）式計算得到檢驗統(tǒng)計量Q。統(tǒng)計量 Q近以于自由度 df = n-l的卡方分布。因此，可以根據(jù)卡方分布對原假設(shè)作出相應(yīng)的判斷。 (n2 -1)Wm 1(0.2812S1 n(m 1)(0.29【例5-11利用例5-10的

33、數(shù)據(jù)作顯著性檢驗分析：在例5-10中，入=1, m = 3, n=7, W=1,將各個數(shù)值代入 5.28）式得到個人資料整理 僅限學(xué)習(xí)使用 TOC o 1-5 h z 22(n -1)W1(7 -1)1 .Q 二二二 12m 13 1自由度df=n 1 = 6,在卡方分布表中，H0為真時，Q是12出現(xiàn)的概率P略大于0. 05,因為當(dāng)概 率為0. 05時，72=12. 59。由于這個 P是近似的值，因而，可以在顯著性水平=0.05上拒絕Ho。況且，W的值為最大可能值1,拒絕H0是合乎邏輯的。多重比較若P值很小，以至于 H0被拒絕，也就是 k組不完全的秩評定之間存在相關(guān)，那么，有必要比較這k組秩之

34、間是否有重大的不同，可以運用多重比較技術(shù)來研究這一問題。第j列的秩和Rj除以該列的秩數(shù)目km/n,是第j個對象的平均秩，比較 n個對象的k個不完全組的秩之 間有無明顯不同，可以利用各個對象的平均秩比較，也可以利用各列秩和的差值比較。對于任意兩個列等級和(Ri,Rj)1i =j Wn,它們的差值在1 一口水平下，滿足5.30)式或(0.31表明n個對象間秩評定沒有重大的不同；而若大于5.30)式或5.31)式的右側(cè)，表明這是有重大不同的數(shù)對。5.30)式、/2=21,查多重比較的臨界值Z表，得到2. 823,代入5 30)式，得到R - 0 K 2.82377(1)(3+ 1)/6 = 6.0984將表5-19中各列秩和兩倆比較差值，可知，最大差值為A與C歹U,即3-9=6。這一差值仍小于6. 0984。因此，可以得出結(jié)論：在 7種牌號彩毫的不完全秩評定中