數(shù)理方程第二章分離變量法課件

1、第二章 分離變量法一、有界弦的自由振動二、有限長桿上的熱傳導三、拉普拉斯方程的定解問題四、非齊次方程的解法五、非齊次邊界條件的處理六、關(guān)于二階常微分方程特征值問題的一些結(jié)論7/26/20221基本思想： 首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動問題、熱傳導問題、穩(wěn)定場問題等特點：a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化。一、有界弦的自由振動7/26/20222令代入方程：令代入邊界條件1、 求兩端固定的弦自由振動的規(guī)律7/26/20223特征

2、（固有）值問題：含有待定常數(shù)的常微分方程在一定條件下求非零解的問題特征（固有）值：使方程有非零解的常數(shù)值特征（固有）函數(shù)：和特征值相對應的非零解分情況討論：1）2）3） 令 ， 為非零實數(shù) 7/26/202247/26/202257/26/202267/26/20227分離變量求特征值和特征函數(shù)求另一個函數(shù)求通解確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。 7/26/202282 解的性質(zhì) x=x0時：其中：駐波法 t=t0時：7/26/20229例1：設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦作微小橫向振動時的位移。解：7/26/2022107/26/2

3、02211于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/2022127/26/202213解：例2求下列定解問題7/26/2022147/26/2022157/26/202216初始條件7/26/202217例3 求下列定解問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為7/26/202218這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為于是得到一系列分離變量形式的特解這些特故原問題的解為7/26/202219例4 求下列定解問題令代入方程：解：7/26/2

4、022207/26/202221于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/2022227/26/2022237/26/202224二 有限長桿上的熱傳導令帶入方程：解：7/26/202225由例4知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為滿足方程于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/202226令代入方程：令例5 求下列定解問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為7/26/202227于是得到一系

5、列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/202228例6 求下列定解問題解：令7/26/2022297/26/202230于是得到一系列分離變量形式的特解7/26/202231若 則u為多少？為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思考這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為若7/26/202232分離變量流程圖7/26/202233三 拉普拉斯方程的定解問題1 直角坐標系下的拉普拉斯問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為7/26/202234于是得到一系列分離變

6、量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/2022357/26/202236例7 求下列定解問題解：由例6中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為7/26/202237于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/2022387/26/202239例8 求下列定解問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為7/26/202240于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程

7、的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/2022412 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題7/26/202242例9 求下列定解問題解：（自然邊界條件）（周期性邊界條件）周期特征值問題7/26/202243(歐拉方程) 令周期特征值問題故以上周期特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為7/26/202244（由自然邊界條件）（由自然邊界條件）于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/202245例10 求下列定解問題解：（周期性邊界條件）周期特征值問題7/26/202246歐拉方程 這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。

8、由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/202247其他為零7/26/202248例11 求下列定解問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為（自然邊界條件）7/26/202249（由自然邊界條件）7/26/202250例11 求解下列二維熱傳導方程的定解問題解：由例1中的方法知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為7/26/202251于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/202252例12 求下列熱傳導方程的定解問題解法一：令7/26/202253解法二：令由例1中的方法

9、知，以上特征值問題的特征值和特征函數(shù)分別為7/26/202254于是得到一系列分離變量形式的特解這些特解滿足方程和齊次邊界條件，但不滿足初始條件。由線性方程的疊加原理，設(shè)原問題的解為7/26/202255常用特征值問題周期特征值問題7/26/202256四 非齊次方程的解法求下列定解問題方程是非齊次的，是否可以用分離變量法？思考7/26/202257由線性方程的疊加原理，令：7/26/202258令：為什么？非齊次方程的特征函數(shù)展開法7/26/202259用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方程的初值問題7/26/202260例13 求下列定解問題解：先解對應的齊次問題其特征值和特征函數(shù)為7/

10、26/2022617/26/202262例14 求下列定解問題解：令其特征值和特征函數(shù)為7/26/2022637/26/202264用常數(shù)變易法或拉普拉斯變換法求常微分方程的初值問題7/26/202265例15 求定解問題解：將原問題變換到極坐標系下：周期特征值問題7/26/202266非齊次方程的特征函數(shù)展開法7/26/2022677/26/202268例16 求定解問題周期特征值問題7/26/202269非齊次方程的特征函數(shù)展開法7/26/2022707/26/202271五 非齊次邊界條件的處理解：首先要想辦法將非齊次條件齊次化。令取其中輔助函數(shù)滿足7/26/2022727/26/202

11、273常見非齊次邊界條件齊次化所使用輔助函數(shù)非齊次邊界條件齊次化所使用輔助函數(shù)以上方法適用于波動方程、熱傳導方程和位勢方程。7/26/202274例17 求下列定解問題解：令可以用非齊次方程的特征函數(shù)展開法求解以上問題。7/26/202275若f(x,t)和非齊次邊界條件都與t無關(guān)，則此時W僅是x的函數(shù)W(x)此方法在使得非齊次邊界條件齊次化的同時將導致方程的非齊次化。能否做到兩者同時齊次化？若能從中求出W(x,t)，就可以實現(xiàn)兩者同時齊次化。但一般很難求出!7/26/202276例18 求下列定解問題解：令請與例17比較，研究其優(yōu)缺點。7/26/202277例19 求定解問題解：令可以用分離變量法求解以上問題。7/26/202278例20 求定解問題解：令可以用分離變量法求解以上問題。7/26/202279例21 求定解問題解：令7/26/202280定解問題選擇合適的坐標系邊界條件非齊次，轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件非齊次方程，齊次邊界條件齊次方程，齊次邊界條件直接用分離變量法非齊次方程，齊次定解條件特征函數(shù)展開法應用分離變量法求解定解問題的步驟