數(shù)學(xué)建模初等模型課件

1、初等模型 中國(guó)地質(zhì)大學(xué)數(shù)學(xué)建?；爻醯饶Ｐ腿绻芯繉?duì)象的機(jī)理比較簡(jiǎn)單，一般用靜態(tài)、線性、確定性模型描述就能達(dá)到建模的目的時(shí)，我們基本上可以用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)構(gòu)造和求解模型。通過(guò)下面的幾個(gè)實(shí)例我們能夠看到，用很簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法就可以解決一些有趣的實(shí)際問(wèn)題。2 第二章 初等模型2.1 艦艇的會(huì)合2.2 公平的席位分配2.3 雙層玻璃窗的功效2.4 汽車剎車距離2.5 崖高的估算3某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方 向，問(wèn)護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。2.1 艦艇的會(huì)合4令：則上式可簡(jiǎn)記成 ：A(0,b)XYB(0

2、,-b)P(x,y)O航母 護(hù)衛(wèi)艦 1 2 即：可化為：記v2/ v1=a通常a1 則匯合點(diǎn) p必位于此圓上。 （護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程 ）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和2 的值。本模型雖簡(jiǎn)單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用 52.2 公平的席位分配設(shè)有A、B兩個(gè)單位，各有人數(shù) 、 個(gè)，現(xiàn)在要求按人數(shù)選出 個(gè)代表召開(kāi)一次代表會(huì)議。那么怎樣分配這 個(gè)席位呢？一般的方法是令： 若 恰好是兩個(gè)整數(shù)，就以 分別作為A，B兩個(gè)單位的席位數(shù)，即可以獲得一個(gè)完全合理的分配方案。當(dāng) 不是兩個(gè)整數(shù)時(shí)，那么怎樣分配才合理呢？下面我們就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。 6公平的席位分配系別 學(xué)生 比例 20席的分配 人數(shù) （%） 比

3、例 結(jié)果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0總和 200 100.0 20.0 2021席的分配 比例 結(jié)果10.815 6.615 3.570 21.000 21問(wèn)題三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103, 63, 34, 問(wèn)20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對(duì)丙系公平嗎系別 學(xué)生 比例 20席的分配 人數(shù) （%） 比例 結(jié)果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 總和 200 100.0 2

4、0.0 20系別 學(xué)生 比例 20席的分配 人數(shù) （%） 比例 結(jié)果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4總和 200 100.0 20.0 2021席的分配 比例 結(jié)果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 217“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo) 人數(shù) 席位 A方 p1 n1B方 p2 n2當(dāng)p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配公平 p1/n1 p2/n2 對(duì)A的絕對(duì)不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1

5、/n1=105p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對(duì)不公平度相同若 p1/n1 p2/n2 ，對(duì) 不公平A p1/n1 p2/n2=58公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小設(shè)A, B已分別有n1, n2 席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給A, 還是B不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即對(duì)A不公平 對(duì)A的相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類似地定義 rB(n1,n2) 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配, 即“公平”分配方法若 p1/n1 p2/n2 ，定義91）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，則這

6、席應(yīng)給 A2）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1)若rB(n1+1, n2) p2/n2 問(wèn)：p1/n1rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給 B10當(dāng) rB(n1+1, n2) 車身的平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米)“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應(yīng)時(shí)間司機(jī)狀況制動(dòng)系統(tǒng)靈活性制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候 最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。車速常數(shù)反應(yīng)距離制動(dòng)距離常數(shù)18假 設(shè) 與 建 模 1. 剎車距離 d 等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離 d2 之和2. 反應(yīng)距離 d1與車速 v成

7、正比3. 剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能的改變;F d2= m v2/2F mt1為反應(yīng)時(shí)間且F與車的質(zhì)量m成正比19 反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒?yún)?shù)估計(jì) 利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k模 型最小二乘法 k=0.06計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間車速(英里/小時(shí)) (英尺/秒)實(shí)際剎車距離（英尺）計(jì)算剎車距離（英尺）剎車時(shí)間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）3

8、47.13.680117.3464（506）444.84.320“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)則”模 型車速(英里/小時(shí))剎車時(shí)間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時(shí)）010104040606080t（秒）1234212.5 崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽(tīng)回聲的方法來(lái)估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)推算 山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問(wèn)題。我有一只具有跑 表功能的計(jì)算器。22方法一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)計(jì)算。例如， 設(shè)t

9、=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h78.5米。 我學(xué)過(guò)微積分，我可以做 得更好，呵呵。 23除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng) 屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系 數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始條件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再積分一次，得： 24若設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h73.6米。 聽(tīng)到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了 反應(yīng)時(shí)間 進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng) 為3.9秒，代入 式，求得h69.9米。 多測(cè)幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條 件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式： 將e-kt用泰勒公式展開(kāi)并 令k 0+ ，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。25還應(yīng)考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。為此，令石塊下落 的真正時(shí)間 為t1，聲音傳回來(lái)的時(shí)間記 為t2，還得解一個(gè)方程組： 這一方程組是非線性的，求解不太容易，為