數(shù)列的應(yīng)用題課件

1、數(shù)列的應(yīng)用題 1.數(shù)列常與不等式結(jié)合，如比較大小、不等式恒成立、求參數(shù)范圍等，需熟練應(yīng)用不等式知識解決數(shù)列中的相關(guān)問題 2.數(shù)列作為特殊的函數(shù),在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用,如增長率、銀行信貸、分期付款、合理定價等. 3.解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟 (1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意 (2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言,將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征. (3)求解求出該問題的數(shù)學(xué)解 (4)還原將所求結(jié)果還原到原實際問題中 舊知回顧 4. 數(shù)列應(yīng)用題常見模型 (1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少) 的量就是公差 (2)等比模

2、型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比 (3)分期付款模型：設(shè)貸款總額為a，年利率為r，等額還款數(shù)為b，分n期還完，則 .舊知回顧例題講解例題講解例題講解例2.例題講解解：根據(jù)題意，經(jīng)過n年后綠化面積為例題講解例題講解例3.為保護我國的稀土資源，國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過80噸，該礦區(qū)計劃從2010年開始出口，當(dāng)年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%. (1)以2010年為第一年，設(shè)第n年出口量為an噸，試求an的表達式； (2)因稀土資源不能再生，國家計劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問2010年最多出口多少噸？（保留一位小數(shù)）參考數(shù)

3、據(jù)：0.9100.35.例題講解解: (1)由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，(2)10年出口總量S1080，10a(1-0.910)80，故2010年最多出口12.3噸.且首項a1=a, 公比q=1-10%=0.9,an=a0.9n-1.例題講解4.用分期付款的方式購買家用電器一件,價格為1150元,購買當(dāng)天先付150元,以后每月這一天都交付50元,并加付所欠款的利息,月利率為1,若以付150元后的第一個月開始作為分期付款的第一月,問分期付款的第十個月該交付多少錢?全部貸款付清后,買這件家電實際花了多少錢? 解:因為購買當(dāng)天付150元,所以欠款為1000元,依題意共分20次付清,設(shè)每次交款數(shù)

4、分別為a1,a2,an,則有a1=50+10001=60,a2=50+(1000-50)1=59.5,a3=50+(1000-250)1=59,例題講解 an=50+1000-(n-1)501 an構(gòu)成以60為首項,-0.5為公差的等差數(shù)列.=1105(元).a10=60-90.5=55.5（元) 第十個月該付55.5（元）實際付款1105+150=1255(元). 20次分期付款的總和： =60+(n-1)(-0.5)例題講解5.某企業(yè)投資1000萬元于一個高科技項目，每年可獲利25%。由于企業(yè)間競爭激烈，每年年底需要從利潤中取出資金200萬元進行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤

5、增長率，問經(jīng)過多少處后，該項目的資金可以達到或超過翻兩番（4倍）的目標(biāo)？取（1g2=0.3）.例題講解例題講解例6. 某外商到一開發(fā)區(qū)投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠,第一年各種經(jīng)費12萬美元,以后每年增加4萬美元,每年銷售蔬菜收入50萬美元.設(shè)f(n)表示前n年的純收入(f(n)=前n年的總收入前n前的總支出投資額)（1）從第幾年開始獲取純利潤？（2）若干年后,外商為開發(fā)新項目,有兩種處理方案：年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；純利潤總和最大時,以16萬美元出售該廠,問哪種方案最合算？解:由題意知，每年的經(jīng)費是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列，例題講解例題講解例7:甲型H1N1型流行性感

6、冒是由甲型H1N1流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。今年4月份發(fā)生流感，據(jù)資料記載，4月1日，新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人，到4月30日止，在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問4月幾日，感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。例題講解解：由題意，4月1日到n日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成一等差數(shù)列an:a1=20,d1=50,4月n日新感染者人數(shù)an=50n30；從n+1日到30日，每天新感染者人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列bn,b1=5

7、0n-60,d2=30，故共感染者人數(shù)為：=8670， 化簡得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即4月12日這一天感染者人數(shù)最多，為570人。例題講解例8:某企業(yè)投資1千萬元于一個高科技項目，每年可獲利25%，由于企業(yè)間競爭激烈，每年底需要從利潤中取出資金200萬元進行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，問經(jīng)過多少年后，該項目的資金可以達到或超過翻兩番（4倍）的目標(biāo)？ 設(shè)經(jīng)過n年后，該項目的資金為an萬元， 解： 由題，an =an-1（1+25%）-200（n2）， 即an = an-1-200， an -800= （an-1-800）， 即an -8

8、00成一個等比數(shù)列， a1=1000(1+25%)-200=1050, a1-800=250， an -800=250（）n-1， an =250（ ）n-1+800 令an4000，得（ ）n16 n12.4,即至少要過13年才能達到目標(biāo)。 例9：某城市2000年底人口為500萬，人均居住面積為6平方米，如果該城市每年人口平均增長率為1%，每年新增住房面積為150萬平方米，求2010年底該城市人均住房面積是多少平方米？（精確到0.1平方米,1.0151.05）【解】設(shè)某城市2000年底、2001年底2010年底的總?cè)丝跀?shù)（單位：萬人）和住房總面積數(shù)（單位：萬平方米）分別組成數(shù)列， 由題意知為

9、等比數(shù)列，且，公比， 則2010年底城市的總?cè)丝跀?shù)為 為等差數(shù)列，且，公差， 則2010年底城市的住房總面積數(shù)為故2010年底該城市人均住房面積為 8.2平方米 答：2010年底該城市人均住房面積為8.2平方米例4：某縣為迎戰(zhàn)即將到來的洪峰，需要在24小時內(nèi)加高一堤壩，經(jīng)計算，某工程相當(dāng)于一臺挖土機挖480小時，該縣僅有2臺挖土機可以立即投入挖土，其余挖土機需要從他處緊急調(diào)用，若每隔30分鐘可有一臺挖土機投入工作，且所有挖土機都是同一型號，問至少應(yīng)調(diào)用多少臺挖土機才能確保工程如期完成。解：1臺需要挖480小時，所以總工程量為480（臺時），這里每臺時即是一臺機器挖一小時的量， 最開始是兩臺挖半

10、小時 即21/2 然后增加一臺再挖半小時 即31/2 依此類推 設(shè)至少調(diào)n臺投入使用, 所以總工程量列方程為： 答:至少應(yīng)調(diào)用25臺挖土機才能確保工程如期完成.例5：小張在暑假勤工儉學(xué)，得到了5000元人民幣的勞動收入，他打算把這筆錢存入銀行，作為五年后讀研究生時的費用。存款方案 有多種選擇，問下列哪種存款方案可使小張獲利較大。方案一：存五年期的定期存款；方案二：連續(xù)存五次一年期的定期存款；方案三：連續(xù)存一次三年期、一次兩年期的定期存款。（設(shè)五年期的定期存款年利率是2.79, 一年期的定期存款年利率是1.98, 三年期的定期存款年利率是2.52, 二年期的定期存款年利率是2. 25）解：方案一

11、：存五年期的定期存款到期的本利和為： 5000（1+2.795)=5697.5(元）方案二：連續(xù)存五次一年期的定期存款到期的本利和為：5000（1+1.98）55514.99方案三：連續(xù)存一次三年期、一次兩年期的定期存款到期的本利和為： 5000（1+2.523）（1+2. 252）=5620（元）通過比較，可知方案一可使小張獲利較大。例10：用分期付款方式購買家用電器一件，價格為1150元，購買當(dāng)天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150元以后的第一個月開始分期付款，問分期付款的第10個月應(yīng)付多少？(等本還款)解: 購買時付出150元后，余欠款10

12、00元，按題意應(yīng)分為20次付清，設(shè)每次交付欠款的數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列 ，則 20次分期付款總和: 1105+150=1255（元）。綜上，第10個月應(yīng)交付55.5元，全部付清后實際共付款額為1255元。例題講解例11、購買一件售價為5000元的商品，采用分期付款的方式，每期付款數(shù)相同，購買后1個月第1次付款，再過1個月第2次付款，如此下去，共付款5次還清，如果按月利率0.8，每月利息按復(fù)利計算（上月利息要記入下月本金），那么每期應(yīng)付款多少？（精確到1元）。深化研究一般性結(jié)論：你能否給出分期付款問題的一般計算公式呢？解：設(shè)每月還款x元， 得1024（元）答:每期應(yīng)付款1024元.例題講解例12購買一件

13、售價為a元的商品，采用分期付款的方法，每期付款數(shù)相同，要求在m個月內(nèi)將款全部付清，月利率為p，分m次付款，求每次付款的計算公式。解：設(shè)每期付款x元， 由題意得例題講解購買一件售價為a元的商品，采用分期付款的方法，每期付款數(shù)相同，要求在m個月內(nèi)將款全部付清，月利率為p，分n（n是m的約數(shù)）次付款，求每次付款的計算公式。由題意得解：設(shè)每期付款x元， 例題講解例13一對夫婦為了給獨生孩子支付將來上大學(xué)的費用，從嬰兒出生，每年孩子的生日都要到銀行儲蓄一筆數(shù)額相等的錢。設(shè)上大學(xué)四年費用共需用10萬元，銀行儲蓄利息為年息2.25%，每年按復(fù)利計算，為使孩子到18歲上大學(xué)時，本利和共有10萬元，求他們每年應(yīng)

14、存多少錢？（1.0225171.4597, 1.0225181.4926）【解】該夫婦總共存了18筆錢； 若每年存則第一筆錢到取款時存了18年， 本利和為 元； 第二筆錢到取款時本利和為元； 最后一筆到取款時本利和為元， 18筆錢的本利和構(gòu)成等比數(shù)列，由題意得：即解之得：x=4467答：這對夫婦每年應(yīng)存入4467元元，例14:某煤礦從開始建設(shè)到出煤共需5年,每年國家投資100萬元, 如果按年利率為10來考慮,那么到出煤的時,國家實際投資總額是多少?解:第一年投資本利和是 100(1+10) 萬元, 答:到出煤時,國家實際投資總額是671.561萬元。 第二年投資的本利和是100(1+10)2萬

15、元. 第五年投資的本利和是100(1+10)5萬元an是以a1=100(1+10),q=1+10的等比數(shù)列例題講解例15:水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題,全國有 9100萬畝的坡耕地需要退耕還林,其中西部地區(qū)占70,2000 年國家確定在西部地區(qū)退耕土地面積為515萬畝,以后每年 退耕土地面積遞增12 （1）試問從2000年起到哪一年,西部地區(qū)基本解決退 耕還林問題?解:從2000年起,西部地區(qū)每年退耕還林的坡地畝數(shù)構(gòu)成一個 首項為515,公比為1+12的等比數(shù)列, 設(shè)x 年以后基本解決退耕還林問題,則 515+515(1+12)+515(1+12%)x=910070% 根據(jù)等比數(shù)

16、列求和公式得: 1.12 x+12484， x7 所以，到2007年西部地區(qū)基本解決退耕還林問題。例題講解（2）為支持退耕還林工作，國家財政補助農(nóng)民每畝300斤糧食， 每斤糧食按07元計算，并且每畝退耕地補助20元，試問：到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時，國家財政共需支 付約多少億元？（可以使用計算器）解：從2000年起到2007年每年退耕還林的畝數(shù)構(gòu)成一個等比 數(shù)列an，由題意得上一張a1+a2+a8=910070%104到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時，國家財政共需支付： （a1+a2+a8）（30007+20） =（a1+a2+a8）23014651010（元）=1465（億元）答：國家

17、財政共需支付約1465億元例題講解例16;用分期付款的方式購買家用電器一件,價格為1150元,購買 當(dāng)天先付150元,以后每月這一天都交付50元,并加付所欠款 的利息,月利率為1,若以付150元后的第一個月開始作為分 期付款的第一月,問分期付款的第十個月該交付多少錢?解:因為購買當(dāng)天付150元,所以欠款為1000元,依題意共分20 次付清,設(shè)每次交款數(shù)分別為a1,a2,.,an,則有a1=50+10001=60a2=50+(1000-50) 1=595a3=50+（1000250）1=59 an=50+1000（n1）501an構(gòu)成以60為首項，05為公差的等差數(shù)列。 .a10=60905=5

18、55（元) 第十個月該付555（元）全部貸款付清后,買這件家電實際花了多少錢? 20次分期付款的總和： S20=60+601905/ 2 20=1105（元） 實際付款1105+150=1255（元）例題講解例17 某縣位于沙漠邊緣，當(dāng)?shù)鼐用衽c風(fēng)沙進行著艱苦的斗爭，到2008年底全縣的綠地已占全縣總面積的30%.從2009年起，市政府決定加大植樹造林、開辟綠地的力度，則每年有16%的原沙漠地帶變成了綠地，但同時，原有綠地的4%又被侵蝕，變成了沙漠. (1)在這種政策之下，是否有可能在將來的某一年，全縣綠地面積超過80%？ (2)至少在多少年底，該縣的綠地面積才能超過全縣總面積的60%？ 例題講

19、解【分析】 本題為實際問題，首先應(yīng)該讀懂題意，搞清研究對象，然后把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.不難看出，這是一道數(shù)列型應(yīng)用問題.因此，我們可以設(shè)全縣面積為1，記2008年底的全縣綠地面積占總面積的百分比為 ，經(jīng)過n年后全縣綠地面積占總面積的百分比為 ，則我們所要回答的問題就是： 是否存在自然數(shù)n，使得 80%？ 求使得 60%成立的最小的自然數(shù)n. na例題講解【解析】即全縣綠地面積不可能超過總面積的80%.例題講解所以，從2008年底開始，5年后，即2013年底，全縣綠地面積才開始超過總面積的60%. 例題講解【分析】作為解決這個問題的第一步，我們首先需要明確的是：如果不考慮其他因素，同等款額的錢在不

20、同時期的價值是不同的.比如說，現(xiàn)在的10元錢，其價值應(yīng)該大于1年后的10元錢.原因在于現(xiàn)在的10元錢，在1年的時間內(nèi)要產(chǎn)生利息. 例18某人計劃年初向銀行貸款10萬元用于買房.他選擇10年期貸款，償還貸款的方式為：分10次等額歸還，每年一次，并從借后次年年初開始?xì)w還，若10年期貸款的年利率為4%，且每年利息均按復(fù)利計算(即本年的利息計入次年的本金生息)，問每年應(yīng)還多少元？(精確到1元)例題講解解法1 如果注意到按照貸款的規(guī)定，在貸款全部還清時，10萬元貸款的價值，與這個人還款的價值總額應(yīng)該相等.則我們可以考慮把所有的款項都轉(zhuǎn)化到同一時間(即貸款全部付清時)去計算.10萬元在10年后(即貸款全部

21、付清時)的價值為 元.設(shè)每年還款x元.則第1次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為 ；第2次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為 ；第10次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為x元.于是，由等比數(shù)列求和公式可得,例題講解從另一個角度思考，我們可以分步計算.考慮這個人在每年還款后還欠銀行多少錢.仍然設(shè)每年還款x元.則第一年還款后，欠銀行的余額為 元.如果設(shè)第k年還款后，欠銀行的余額為 元，另一方面，按道理，第10次還款后，這個人已經(jīng)把貸款全部還清了，故有由此布列方程，得到同樣的結(jié)果.解法2例題講解例題19 某種產(chǎn)品具有一定的時效性，在這個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知：在不作廣告宣傳且每件獲利a元的前

22、提下可賣出b件；若作廣告宣傳，廣告費為n(nN*)千元時比廣告費為n-1千元時多賣出 件.設(shè)作n千元廣告時銷售量為Sn.(1)試寫出銷售量Sn與n的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a=10,b=4000時，廠家應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品，作幾千元廣告，才能獲取最大利潤？例題講解(1)據(jù)題意(2)b=4000時， ,設(shè)銷售量為Sn時獲利Tn，欲使Tn最大，故n=5,此時Sn=7875.故該廠家生產(chǎn)7875件產(chǎn)品，作5千元廣告，能使獲利最大.例20.某市2009年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計，11月1日該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該

23、種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30日內(nèi)感染該病毒的患者總共8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)例題講解前n天中，每天流感病毒患者構(gòu)成等差數(shù)列，而后30n天也是等差數(shù)列，求兩數(shù)列的和.分析例題講解【解】設(shè)第n天新患者人數(shù)最多，則從n1天起該市醫(yī)療部門采取措施，于是，前n天流感病毒感染者總?cè)藬?shù)，構(gòu)成一個首項為20，公差為50的等差數(shù)列的n項和，Sn20n 5025n25n(1n30，nN)，而后30n天的流感病毒感染者總?cè)藬?shù)，構(gòu)成一個首項為20(n1)503050n60，公差為30，項數(shù)為30n的等差數(shù)列的和，Tn(30n)(50n60) (30)65n22445n1485