單因素方差分析課件

1、 方差分析(analysis of variance)就是采用數(shù)理統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以鑒別各種因素及因素間的交互作用對研究對象某些試驗指標(biāo)的影響大小的一種有效方法.第一節(jié) 方差分析一、問題的提出注：方差分析簡記為ANOVA. 例1 檢驗不同飼料對雞增重的效應(yīng)。選用三種飼料：A1 以魚粉為主，A2 以槐樹粉為主，A3 以苜蓿粉為主。特選 24 只相似雛雞隨機(jī)分三組，每組各喂一種飼料，60 天后觀察其重量，試驗結(jié)果如下10481029103210221021108010291093A31001112210741090110999010921107A2102810091012100210011

2、06010091073A1雞重（g)飼料 A幾個概念：（1）所考察的試驗結(jié)果（如產(chǎn)品質(zhì)量、數(shù)量、銷量、成本等）稱為試驗指標(biāo)，簡稱指標(biāo)。例中為雞的重量。（2）在試驗中對所關(guān)心的“指標(biāo)”有影響的、要加以考察改變狀態(tài)的原因稱為因子, 用 A，B，C 等大寫英文字母表示。例中為飼料。（3）因素在試驗中所取的各種不同狀態(tài)稱為因子的水平. 因素 A 的 r 個水平常用 A1，A2，Ar 表示，其中 r 稱為因素 A 的水平數(shù)。例中有 1 個因素，3 個水平。（4）若只考察一個因素對指標(biāo)的影響，這種試驗稱為單因素試驗，相應(yīng)的方差分析就稱為單因素方差分析; 例中為單因素試驗。 若一個試驗中同時考察兩個因素，則

3、這時對試驗所作的方差分析稱為雙因素方差分析；因素多于兩個，相應(yīng)的稱為多因素方差分析. 試驗中，使用配方 Ai下第 j 只雞的重量記為 yij, i=1,2,3; j =1,2,8.我們的目的是研究不同飼料對雞增重的影響是否相同。 例1(續(xù)) 對原始數(shù)據(jù)作如下變換：每個數(shù)-1000 （為了處理更加簡便）4829322221802993A311227490109-1092107A2289122160973A1雞重（g)飼料A(圖形分析散點圖)二、單因素方差分析的統(tǒng)計模型 考慮的因素記為 A，假定它有 r 個水平，記為 A1，A2, , Ar . 在每一水平下考察的指標(biāo)可看成一個總體,共有 r 個總

4、體. 作如下假定:(1)每一總體服從正態(tài)分布 N(i , i2), i=1, 2, r ;(2)各總體同方差, 即 12 =22=r2= 2;(3)從每個總體中抽取的樣本是相互獨立的, 即所有試驗結(jié)果 yij 都獨立.簡而言之, 每一總體獨立地服從同方差的正態(tài)分布. 且這些假定的成立與否都可用統(tǒng)計方法進(jìn)行驗證. 單因素方差分析(single factor analysis of variance)是要判斷因素對指標(biāo)是否有顯著影響，歸結(jié)為判斷不同總體是否有相同分布的問題.因為各總體方差相同，所以要判斷因素對指標(biāo)是否有顯著影響，就化為比較各水平下的均值是否相同即檢驗其備擇假設(shè)為:,2 ,r 不全相

5、同.(常省略不寫)對水平 Ai 作了 m 次觀察，第 i 水平的第 j 次觀察為yij ，這樣可得觀察資料(若各水平觀察次數(shù)不同時，略有不同，后敘） 合計yr1, yr2 ,., yrmr.y21, y22 ,., y2my11, y12 ,., y1m試驗數(shù)據(jù)水平 稱第 i 水平下的均值與總均值的差 為因子 A 的第 i 水平的主效應(yīng), 簡稱 Ai 的效應(yīng). 易見記總均值為設(shè) 是來自總體 的簡單隨機(jī)樣本,則單因子方差分析的統(tǒng)計模型為其中ij = yij -i稱為 隨機(jī)誤差單因子方差分析的統(tǒng)計模型可改寫為:可改寫為 方差分析是通過對誤差的分析研究來檢驗具有相同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等的一

6、種統(tǒng)計方法.對水平 Ai 作了 m 次觀察，第 i 水平的第 j 次觀察為yij ，這樣可得觀察資料(若各水平觀察次數(shù)不同時，略有不同，后敘） T合計Tryr1, yr2 ,., yrmr.T2y21, y22 ,., y2mT1y11, y12 ,., y1m平均和試驗數(shù)據(jù)水平記總觀察次數(shù) ，組平均值 ，三. 平方和分解總平均值 及1. 組內(nèi)偏差與組間偏差與(圖形分析散點圖)組間偏差:反映了組內(nèi)數(shù)據(jù)與組內(nèi)平均的隨機(jī)誤差組內(nèi)偏差:反映了隨機(jī)誤差和第 i 個水平的效應(yīng) 則2. 偏差平方和與自由度設(shè)有 k 個數(shù)據(jù) x1, x2 , .,xk ,且 ,偏差平方和:反映了數(shù)據(jù)的集中或分散程度,即數(shù)據(jù)波

7、動的大小自由度:平方和中獨立的隨機(jī)變量的個數(shù).由于 ,所以平方和中獨立的偏差個數(shù)為 k-1,的自由度為 fQ = k-1因此均方和:反映了每個自由度上數(shù)據(jù)的離散程度,排除了自由度的干擾3. 總平方和分解公式總偏差平方和: 它反映了觀測數(shù)據(jù)總的變異程度組間(因子A的)偏差平方和: 反映因子A的不同水平效應(yīng)間的差異組內(nèi)(誤差)偏差平方和:反映了隨機(jī)誤差ij對試驗結(jié)果影響的總和ST =SA +Se , f T = f A +f e 平方和分解公式 定理1:(1) Se /2 2 (n - r), 從而 E(Se)=(n-r)進(jìn)一步,若0成立，則定理2:(2) SA /2 2 (r-1), (3) S

8、A 與 Se 獨立.對水平 Ai 作了 m 次觀察，第 i 水平的第 j 次觀察為yij ，這樣可得觀察資料(若各水平觀察次數(shù)不同時，略有不同，后敘） T合計Tryr1, yr2 ,., yrmr.T2y21, y22 ,., y2mT1y11, y12 ,., y1m平均和試驗數(shù)據(jù)水平4. 檢驗方法 若SA顯著地大于Se，說明 間的差異顯著地大于隨機(jī)誤差，那么 H0 可能不成立.取檢驗統(tǒng)計量當(dāng) H0 成立時,因此拒絕域為5、方差分析表 (analysis of variance table):f T= n - 1ST總和MSe=Se / fef e= n - rSe誤差F=MSA / MSe

9、MSA=SA / fAf A = r - 1SA因素比均方和自由度平方和方差來源注：數(shù)據(jù)復(fù)雜時，采用EXCEL軟件可得到分析結(jié)果，并可給出檢驗的 p 值即 p=P(XF), 其中X F(r-1,n-r)判斷： 例1(續(xù)1） 試驗結(jié)果如下,試檢驗不同飼料對雞增重的效應(yīng)。10481029103210221021108010291093A31001112210741090110999010921107A210281009101210021001106010091073A1雞重（g)飼料A解(1)列出數(shù)據(jù)計算表（對原始數(shù)據(jù)作一個線性變換（yij-1000)合計4829322221802993A3112

10、27490109-1092107A22891221609731數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)-1000)水平線性變換不影響方差分析的結(jié)果取=0.05.得0.95(2,21)=3.47, 而F=3.5953.47.拒絕 0.故認(rèn)為因子A是顯著的,即三種飼料對雞的增重有明顯差別.四. 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式及其參數(shù)估計1. 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式其中為總體均值，i為第 i 個水平的效應(yīng), 且ij 為試驗誤差,在上述結(jié)構(gòu)式下,i=1,r, j=1, ,m 且獨立2. 點估計 用最大似然估計法可求出一般平均,各主效應(yīng)i 和誤差方差2的估計.總平均的估計:主效應(yīng)i 的估計:誤差方差2 的估計:各水平均值i 的估計:由于它不是2 的無偏估計,

11、實用中采用:MSe置信區(qū)間 由于且兩者獨立, 故故,各水平均值i 的1- 置信區(qū)間為, Se /2 2 (n - r),注：單因子試驗的統(tǒng)計分析可得如下三個結(jié)果:(1) 因子 A 是否顯著.(2) 試驗的誤差方差 2 的估計.(3)各水平均值i 的點估計與區(qū)間估計.(此項在因子A不顯著時無需進(jìn)行)五. 重復(fù)數(shù)不等情形下的方差分析1. 數(shù)據(jù)略有不同 TTn合計Tryr1, yr2 ,., yrmrmrr.T2y21, y22 ,., y2m2m2T1y11, y12 ,., y1m1m1平均和試驗數(shù)據(jù)重復(fù)數(shù)水平 設(shè)因素 A 有 r 個水平A1，A2, , Ar . 且第 i 水平Ai下重復(fù)進(jìn)行m

12、i 次試驗, i=1, ,r, 獲如下數(shù)據(jù):2. 基本假定、平方和分解、方差分析及判斷準(zhǔn)則相同計算公式稍有不同。特別注意 SA 的計算公式！統(tǒng)計模型為:記則各平方和公式為：例2 茶是一種飲料，它含有葉酸（folacin），這是一種維他命B。如今要比較各種茶葉中的葉酸含量?，F(xiàn)選定綠茶，這是一個因子，用A表示。又選定四個產(chǎn)地的綠茶，記為A1, A2, A3, A4，它是因子A的四個水平。測定試驗誤差，需要重復(fù)。選用不平衡設(shè)計，即A1, A2, A3, A4分別制作了7,5,6,6個樣品，共有24個樣品。試對之進(jìn)行方差分析，從中可得到什么結(jié)果？若取顯著性水平=0.05查表可得由于F3.10，故應(yīng)拒絕

13、原假設(shè)即認(rèn)為四種綠茶的葉酸平均含量有顯著差異從方差分析表上還可以獲得諸均值的參數(shù)估計故均值的95%的置信區(qū)間是7.13，9.41思考： 方差分析中的檢驗與兩個獨立正態(tài)總體（方差未知且相等）中均值差的檢驗有何異同？補(bǔ)充一：多重比較 在確認(rèn)因子 A 的 r 個水平均值間有顯著差異的情況下，進(jìn)一步要問：哪些水平均值間確有顯著差異，那些水平均值間無顯著差異，這就要進(jìn)行多重比較 同時比較任意兩個水平間有無顯著差異的問題稱為多重比較問題譬如，r=3 時，同時檢驗如下三個假設(shè)若r較大，要同時檢驗 個假設(shè)，即:多重比較因此拒絕域形式：同時考慮考察因子A的r個水平，每個水平下重復(fù)數(shù)為mi .假設(shè)諸試驗數(shù)據(jù)，則樣本均值應(yīng)是的良好估計，若假設(shè)為真， 不應(yīng)過大，過大就應(yīng)拒絕下面討論臨界值 cij 的確定：（分兩種情況）(1)重復(fù)數(shù)相等情況的多重比較 (Tukey 法)經(jīng)計算，對給定顯著性水平,其中 是統(tǒng)計量 的抽樣分布的1- 分位數(shù)。拒絕域形式：在各水平試驗次數(shù)相同時，諸臨界值可認(rèn)為相同，記為c 例（第一節(jié)中例續(xù)）檢驗不同飼料對雞增重的效應(yīng)中，飼料因子顯著試進(jìn)行多重比較（）重復(fù)數(shù)不等情況的多重比較(Scheffe法)考察因子A的r 個水平均值，每個水平下的重復(fù)數(shù)分別為 且有當(dāng) 成立時，有且Fij不應(yīng)過大，過大應(yīng)拒絕 . 在各mi不同時