機械優(yōu)化設計題庫

1、緒論1。思考題何為約束優(yōu)化設計問題？什么是無約束優(yōu)化設計問題？試各舉一例說明。機械優(yōu)化設 計問題多屬哪一類？一般優(yōu)化問題的數(shù)學模型包括哪些部分？寫出一般形式的數(shù)學模型。機械優(yōu)化設計的過程是怎樣的？它與常規(guī)的機械設計有什么不同？怎樣判斷所求得的最優(yōu)解是不是全局最優(yōu)解？試簡述優(yōu)化算法的迭代過程。何為可行域？為什么說當存在等式約束則可行域?qū)⒋鬄榭s小?當優(yōu)化問題中有一個等 式約束時可行域是什么？當優(yōu)化問題中有兩個等式約束時可行域是什么?當n維優(yōu)化問題中 有n個等式約束時可行域是什么？什么是內(nèi)點、什么是外點？在優(yōu)化設計中內(nèi)點和外點都可以作為設計方案嗎？為什 么？試寫出第一節(jié)中第三個問題的數(shù)學模型。目標函

2、數(shù)及其等值線（等值面）的意義和特性是什么？2。習題1。設計一容積為v的平底、無蓋圓柱形容器，要求消耗原材料最少，試建立其優(yōu)化設 計的數(shù)學模型，并指出屬于哪一類優(yōu)化問題。當一個矩形無蓋油箱的外部總面積限定為S時，怎樣設計可使油箱的容量最大？試列 出這個優(yōu)化問題的數(shù)學模型，并回答：屬于幾維的優(yōu)化問題？是線性規(guī)劃還是非線性規(guī)劃？3。欲造容積為V的長方形無蓋水箱，問應如何選定其長、寬、高尺寸，才能使用料消 耗最少？試寫出其數(shù)學模型。試求直徑為D的圓內(nèi)所有內(nèi)接三角形面積中的最大值。5c在曲面f （x x x ）-0上我一點P、 在曲面f（x, xx ）-0上我一點P , 使得P與 。f X.，人，Xq）

3、，f （X， A，入） ，A._LJA.A.JA.P2的距離為最短，試建立優(yōu)化問題的數(shù)學模型。6。有一薄鐵皮，寬b-14cm，長乙-24cm，制成如圖29所示的梯形槽，求邊長x和 傾斜角a為多大時，槽的容積最大？試寫出此問題的優(yōu)化設計模型并指出該問題屬于哪一類 的優(yōu)化設計問題。欲制一批如圖2-12所示的包裝紙箱，其頂和底由四邊延伸的折紙板組成。要求紙箱 的容積為2m3,問如何確定。、b和c的尺寸，使所用的紙板最省。試寫出該優(yōu)化問題的數(shù) 學模型.一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形。問應以怎樣的比例截 斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大,試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型.某廠生

4、產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品:A每桶需用煤90kN、電4度、勞動日3個，獲利潤700 元;B每桶需用煤40kN、電5度、勞動日10個,獲利潤1200元.但計劃規(guī)定可用煤3600kN、 電200度、勞動日300個，試問A、B各生產(chǎn)多少桶時利潤最大?列出其教學模型，并說明屬 于何種數(shù)學規(guī)劃問題？某廠生產(chǎn)兩種機器，兩種產(chǎn)品生產(chǎn)每臺所需鋼材分別為2噸和3噸，所需工時數(shù)分別 為4千小時和8千小時，而產(chǎn)值分別為4萬元和6萬元。如果每月工廠能獲得的原材料為 100噸,總工時數(shù)為120千小時?，F(xiàn)應如何安排兩種機器的月產(chǎn)臺數(shù)，才能使月產(chǎn)值最高.試寫 出這一優(yōu)化問題的數(shù)學模型。要將10米長的鋼管截成3米和4米長的各100根，

5、要求設計出用料最省的下料方 法。試寫出其數(shù)學模型。設計一個二級展開式漸開線標準直齒圓柱齒輪減速器，已知總傳動比i=20，高速級 齒輪模數(shù)m1 2=2.5mm,低速級齒輪模數(shù)m3 4=3mm，要求減速器高速軸與低速軸間中心距a 最小，試建立其優(yōu)化設計的數(shù)學模型，并指出屬于哪一類優(yōu)化問題。設計一個展開式二級圓柱齒輪減速器，要求其高、低速軸間的中心距最小。已知總 傳動比i=iXi2=4,齒輪齒數(shù)Z=z3，模數(shù)均為2.5mm，試建立其數(shù)學模型，并說明屬于何種 數(shù)學規(guī)劃問題.自行提出一個數(shù)學規(guī)劃問題，并建立其數(shù)學模型.如圖2-13所示，已知跨距為I、截面為矩形的簡支架，其材料密度為p，許用彎曲 應力為%

6、】，允許撓度為歷，在梁的中點作用一集中載荷尸，梁的截面寬度b不得小于bmin， 現(xiàn)要求設計此梁，使其質(zhì)量最輕.試寫出其優(yōu)化設計數(shù)學模型矩形截面簡支梁，在跨距l(xiāng)的全部長度內(nèi)受到均布載荷g，其材料密度為p，許用彎 曲應力為%。要求梁的寬度不小于bmin，最大撓度不大于0.試寫出此梁重量最輕優(yōu)化設 計的數(shù)學模型.有一圓形等截面的銷軸，一端固定在機架上，另一端作用著集中載荷P和扭矩M, 其簡化模型如圖2-14所示.由于結(jié)構(gòu)的需要，軸的長度l不得小于lmin。已知銷軸材料的許用 彎曲應力/和許用扭剪應力M，允許撓度為歷；設計材料的密度為P和彈性模量為E現(xiàn)w要求設計這根銷軸，在滿足使用要求下使其質(zhì)量為最輕

7、，試寫出其優(yōu)化設計數(shù)學模型。18。試按質(zhì)量最輕的原則選擇平均半徑R和壁厚M設計圖225所示的薄壁圓柱形容 器，要求容積不小于25。0m3，容器內(nèi)壓力p為3.5MPa，切向應力氣不超過210Mpa，應變 量不超過0.001。圖 Z-I5祝示：P - 7&5依阡靜一 0. 3要求：(1)建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型；(2)用圖解法求出最優(yōu)解。三桿懸掛結(jié)構(gòu)(圖15)的材料已經(jīng)選定，其比重為p，彈性模量為礦許用拉應力 為“。此結(jié)構(gòu)的設計載荷為2p.試寫出其重量最輕優(yōu)化設計的數(shù)學模型。底 Z科職I.蚓拘IV1 &平而卉典20。平面桁架(圖1-6)由鋼管組成，承受載荷2p。鋼管的壁厚為M桁架的跨度為2B。 鋼管

8、的直徑d和桁架高度H可以選擇。桁架應滿足強度和剛度的要求。試寫出其重量最輕 優(yōu)化設計的數(shù)學模型。21。當某試驗參數(shù)a為1，2，3,4，5時，其對應結(jié)果f(a)為3,5，4,2，1。試用一個二項 式p(a) =a2X+ax2+x3，去逼近f(a)，求x” x2，x3為多大時，使得當a=2，3,4， 5時各點誤 差平方和為最小，且要求a=1時，p (a)寸(a)。試寫出該問題的優(yōu)化設計數(shù)學模型。22。己知兩個物理量x和j之間的依賴關系為ay=a1+1 + a 1n(1+4)其中a1a5為待定參數(shù).為了確定這些參數(shù)的值，對x和j測得m個實驗點：(呵，為)， (x2，J2)，(xm，Jm)。試將確定參

9、數(shù)的問題表示成最優(yōu)化問題。23.有一個初始的設計電路，內(nèi)有m個可調(diào)整的電阻.如圖1-4所示.要求的響應是電路內(nèi) m個節(jié)點電壓為給定的一組數(shù)，即V1=VD1，V2=VD2，。.，V=Vn，而實際的響應里每一個 節(jié)點的電壓都依賴于這m個可調(diào)的電阻，示為V=U. (R1,R2, o .。，Rm)，i=1 n試建立優(yōu)化的數(shù)學模型.仇佑fU圖1.4有m個可調(diào)電阻的電路某現(xiàn)象的理論公式為:F(t) = x1 + xe-x3 .透過實驗已測得m個F (t)對應于t的值。 要求確定X、x2和x3三個參數(shù)，其中x3N0，使理論公式與實驗數(shù)據(jù)的偏差平方和為最小。試 寫出這個問題的數(shù)學模型.熱敏電阻R= x exp

10、-j,今測得溫度t與R的15組實驗數(shù)據(jù).要求確定參數(shù)X、1+ XJ1x2和x3使電阻R的計算值與實測值的均方差最小。試建立其數(shù)學模型。已知一圓形截面懸臂梁，在其懸臂端作用一集中載荷P和一扭矩M,要求懸伸長度 L=ab，截面直徑d=d0。問在滿足強度和剛度要求的條件下使所需材料最少，應如何建 立該優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型？并示出.試畫出下列約束條件下，x=x1 x2r的可行域：(1)g1(x) =X2+(x2-1) 21W0g2(x) =(x1) 2+x221W0g3(x) =x1+x21W0(2)g1 (x)=2X+x26W0g2(x)=-XW0g3(x)=-x2W0g4(x)=X2+x22-1

11、6W0試畫出下列約束條件下X=x1,x2r的可行域，并說明哪個是不起作用的約束.(1)g1(x)=-x12+x20g2(x) =%x2+3N0g3 (x)=Xx2+8N0(2) g1(x)=x1+x2/23N0g2 (x) =XN0 g3 (x) =x20 h(x)=-X2-x22+16N029o 已知約束條件為g1(x) =-X+X23N0g2(x) =X2X22+9N0試問X = 2,2tX2= 3 3t，X3=3,0 t，X4=1，1 t等四點中有幾個可行點？并 寫出可行點。30.畫出滿足下列約束的可行域。g(x)=483X-2x2N0 g2(x)=18X-x2N0g3(x)=x10 g

12、4 (x)=x2N031o試將優(yōu)化問題min F (x) = x2 + x2 - 4 x + 4x e D u R 2D: g (x) = x - x 2 -1 0g (x) = 3 - x 0g3(x) = x2 0的目標函數(shù)等值線和約束邊界曲線勾畫出來，并回答下列問題：(a)X=1,1 T是不是可行點？(b) X= 5/2,1/2t是不是可行點？(c)可行域D是否為凸集，用陰影線描繪出可行域的范圍.32。已知某約束優(yōu)化問題的數(shù)學模型為min F(x) = (x - 3)2 + (x - 4)2x e D u R 2D: g (x) = 5 - x - x 0g (x) = x - x -

13、2.5 0 212g3(x)=氣 0g 4( x) = x2 0該問題是線性規(guī)劃問題還是非線性規(guī)劃問題？按一定比例畫出目標函數(shù)F (X)的值分別等于1, 2, 3時的三條等值錢，并在圖 上劃出可行域.在圖上確定無約束最優(yōu)解和約束最優(yōu)解。若在該問題中又加入等式約束h (X) =x1x2=0，其約束最優(yōu)解X十、F(X*)又為多 少？33。畫出下列目標函數(shù)的等值線，并指出函數(shù)值為正和負的區(qū)域它有沒有極小值點？1) F (x1，x2)=x1x2; 2) F(x1，x2)=x12-x22; 3) F (xx?) =x12+3x1x2+4x22+634。用圖解法求解下列優(yōu)化問題的最優(yōu)點。min F(x)

14、= (x - 3)2 + (x - 3)2 TOC o 1-5 h z 1)12s.t 2x x 0121 2min F (x) = (x - 2)2 + (x - 2)2s.t x + 2x = 4; x , x 0min F(x) = (x - 3)2 + (x - 3)2 HYPERLINK l bookmark128 o Current Document 3)12s.t x / 2 + x 4; 3x + x 15 x + x 01212121 2A q 10000 N / cm LLkimilO配414箱形蓋板35.如圖所示，設有一箱形蓋板，已知長度l=600cm，寬度b=60cm,

15、側(cè)板厚度亍0。5cm, 翼板厚度為f （cm），高度為h （cm），承受最大的單位載荷療10000N/cm，蓋板的許用彎曲 應力=70MPa，許用剪切應力M =45MPa，單位長度允許撓度簫=0.0025mm，彈 性模量E=7X104MPa,泊松比況0.3.要求在滿足強度、剛度和穩(wěn)定性等條件下，設計一個質(zhì) 量最小的結(jié)構(gòu)方案。5-17搪瓷廠要生產(chǎn)一種容積為785cm3的圓柱形茶杯，試用拉格朗日乘子法設計茶杯 的尺寸使所用的原材料最省。1。設計一曲柄搖桿機構(gòu)（見圖7-16），已知：桿1的長度11=1，桿4的長度14=5 （均 為相對長度）.要求曲柄由4。轉(zhuǎn)到4.十90.時，搖桿的輸出角實現(xiàn)如下給定

16、的函數(shù)關免 V -y,十方（440），式中4。和貝。分別為對應于搖桿在右極限位置時曲柄和搖桿的位置角.運 動過程中的最小傳動角不小于45。，即 7m,.7=45。試建立上述問題的數(shù)學模利，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學可2：=4. 1286，z:=2. 3325）。1 .設計一曲樹魅-料機構(gòu)（見圖7TG）,已知:桿1的長度杯4的長豎（均為相對長度）.要求曲柄由曲轉(zhuǎn)到暮4對時,搗殲的輸出角實現(xiàn)如下給定的函鼓關系：職=嘰+-3火尸式中也利乎*分判為對應于播樣在右極限倬.置時曲柄和援村的位置免.并要求在該區(qū)間的 近動過在中最中伐礪危不小于疝“，即頃立上述間題的數(shù)學E 并遂擇優(yōu)化方法，有條件的同學就上機

17、計算（答第為 右=4.12邱，；,=2.3325 ）,圖7-16平面較小四桿機構(gòu)簡圖2。如圖為一批量生產(chǎn)的壓力容器,其結(jié)構(gòu)方案和有關尺寸已定。內(nèi)部氣壓為p=1275MPa,容器內(nèi)徑A=120mm，安裝螺栓的中心圓直徑D=200mm,壁厚E=H=20mm,用襯墊密封，為保 證拆裝時具有足夠的扳手空間,螺栓間的周向間隔不應小于5d（d為螺栓直徑），同時為保證 螺栓間的密封壓力均勻，不致有局部漏氣,螺栓間的周向間距不應大于10d。螺栓樹料選用 35號鋼，長度為50mm，型式為六角頭半精制螺栓，其單價見下表：101516即單抑”元；o. tit0.252要求合理地選擇緊固螺栓的直徑d和螺栓的數(shù)量，使壓

18、力容器的螺栓總成本最低。試 建立上述優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學可上機計算。（答案為 d=25，n=3）。3.設有一重量PT0000N的物體懸掛在兩根鋼絲繩上，如圖7-18所示。已知鋼絲繩長 Z=14。1m,Z2=11o 5m，許用應力=100Mpa,彈性模量E=2X105MPa。為保證此裝置正常 工作，除鋼絲繩的工作應力不應大于許用應力外，還規(guī)定懸掛點的鉛垂位移不應越過 f4=5mm，現(xiàn)在要求得出鋼絲繩的橫截而積A和42，使承受該載荷的結(jié)構(gòu)重量為最輕。試建 立上述優(yōu)化問題的數(shù)學模型，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學可上機計算。（答案為Al=0.81687, 42=1。15834）o圖字T7壓力宰器小危圖圖了土 .以掃構(gòu)的i!巖前四15.如圖所示的二級斜齒圓柱齒輪減速器，高速軸輸入功率N1=6o 2kW，高速軸轉(zhuǎn)速 n1=1450r/min，總傳動比i=31.5,齒輪的齒寬系數(shù)護0.4;大齒輪材料為45鋼正火HBS=187 207，小齒輪45鋼調(diào)質(zhì)HBS=228255；總工作時間不少于10年。要求設計一個最小體積 二級圓柱齒輪減速器。（3