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文檔簡介

1、生活中的優(yōu)化問題舉例1 生活中經(jīng)常會遇到求什么條件下可使用料最省,利潤最大,效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題.這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題.其中不少問題可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一有力工具加以解決.2復(fù)習(xí):如何用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最值? 一般地,若函數(shù)y=f (x)在a,b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則求f (x) 的最值的步驟是:(1)求y=f (x)在a,b內(nèi)的極值(極大值與極小值);(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f (a)、f (b) 比較, 其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值. 特別地,如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),則這個(gè)極值一定是最值。3規(guī)格(L)21.2

2、50.6價(jià)格(元)5.14.52.5問題情景一:飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品,若它們的價(jià)格如下表所示,則(1)對消費(fèi)者而言,選擇哪一種更合算呢?(2)對制造商而言,哪一種的利潤更大?4 1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料,瓶子的制造成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半徑,單位是厘米,已知每出售1ml的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm,則每瓶飲料的利潤何時(shí)最大,何時(shí)最小呢?r(0,2)2(2,6f (r)0f (r)-+減函數(shù)增函數(shù)-1.07p解:每個(gè)瓶的容積為:每瓶飲料的利潤:5解:設(shè)每瓶飲料的利潤為y,則r(

3、0,2)2(2,6f (r)0f (r)-+減函數(shù)增函數(shù)f (r)在(2,6上只有一個(gè)極值點(diǎn)由上表可知,f (2)=-1.07p為利潤的最小值-1.07p 1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料,瓶子的制造成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半徑,單位是厘米,已知每出售1ml的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm,則每瓶飲料的利潤何時(shí)最大,何時(shí)最小呢?6解:設(shè)每瓶飲料的利潤為y,則當(dāng)r(0,2)時(shí),而f (6)=28.8p,故f (6)是最大值答:當(dāng)瓶子半徑為6cm時(shí),每瓶飲料的利潤最大,當(dāng)瓶子半徑為2cm時(shí),每瓶飲料的利潤最小. 1、 某制造商制造并出售球形

4、瓶裝的某種飲料,瓶子的制造成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半徑,單位是厘米,已知每出售1ml的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm,則每瓶飲料的利潤何時(shí)最大,何時(shí)最小呢?7解決優(yōu)化問題的方法之一: 通過搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),提出優(yōu)化方案,使問題得到解決在這個(gè)過程中,導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有力的工具,其基本思路如以下流程圖所示優(yōu)化問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案8問題情景二:汽油使用效率何時(shí)最高 我們知道,汽油的消耗量 w (單位:L)與汽車的速度 v (單位:km/h) 之間有一定的關(guān)系,汽車的消

5、耗量 w 是汽車速度 v 的函數(shù). 根據(jù)實(shí)際生活,思考下面兩個(gè)問題:(1)是不是汽車的速度越快, 汽油的消耗量越大?(2)當(dāng)汽車的行駛路程一定時(shí),是車速快省油還是 車速慢的時(shí)候省油呢?一般地,每千米路程的汽油消耗量越少,我們就說汽油的使用效率越高(即越省油)。 若用G來表示每千米平均的汽油消耗量,則這里的w是汽油消耗量,s是汽車行駛的路程如何計(jì)算每千米路 程的汽油消耗量?9 2、通過研究,人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中,汽油的平均消耗率 g(即每小時(shí)的汽油消耗量, 單位: L / h)與汽車行駛的平均速度v(單位: km)之間,有如圖的函數(shù)關(guān)系 g = f (v) ,那么如何根據(jù)這個(gè)圖象中的數(shù)據(jù)來解

6、決汽油的使用效率最高的問題呢?v(km/h)g (L/h)O12090305051015分析:每千米平均的汽油消耗量 ,這里 w是汽油消耗量,s是汽車行駛的路程w=gt,s=vtP(v,g) 的幾何意 義是什么?如圖所示, 表示經(jīng)過原點(diǎn)與曲線上的點(diǎn) P(v,g)的直線的斜率k所以由右圖可知,當(dāng)直線OP為曲線的切線時(shí),即斜率k取最小值時(shí),汽油使用效率最高10 3、經(jīng)統(tǒng)計(jì)表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為:若已知甲、乙兩地相距100千米。 (I)當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地要耗油為 升; (II)若速度為

7、x千米/小時(shí),則汽車從甲地到乙地需行駛 小時(shí),記耗油量為h(x)升,其解析式為: . (III)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?17.5 11 3、經(jīng)統(tǒng)計(jì)表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為:若已知甲、乙兩地相距100千米。 (III)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?解:設(shè)當(dāng)汽車以x km/h的速度行駛時(shí),從甲地到乙地的耗油量為h(x) L,則1213練習(xí):已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為若要使平均成本最低,則每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?解:設(shè)平均成本為y元,每天生

8、產(chǎn)x件產(chǎn)品,則每天應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品14練習(xí):已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為變題:若受到設(shè)備的影響,該廠每天至多只能生產(chǎn)800件產(chǎn)品,則要使平均成本最低,每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢?解:設(shè)平均成本為y元,每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品,則15練習(xí):已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為變題:若受到產(chǎn)能的影響,該廠每天至多只能生產(chǎn)800件產(chǎn)品,則要使平均成本最低,每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品呢?函數(shù)在(0,1000)上是減函數(shù)故每天應(yīng)生產(chǎn)800件產(chǎn)品16基本不等式法: “一正、二定、三相等、四最值”;導(dǎo)數(shù)法: 一定義域、二導(dǎo)數(shù)符號、三單調(diào)性、四最值”。17小結(jié): 在日常生活中,我們經(jīng)常會遇到求在什么條件下可使用料最省,利潤

9、最大,效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題. 在解決優(yōu)化問題的過程中,關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù);要認(rèn)真審題,盡量克服文字多、背景生疏、意義晦澀等問題,準(zhǔn)確把握數(shù)量關(guān)系。在計(jì)算過程中要注意各種數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)用,特別是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用。181、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料,瓶子的制造成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半徑,單位是厘米,已知每出售1ml的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm,則每瓶飲料的利潤何時(shí)最大,何時(shí)最小呢?解:設(shè)每瓶飲料的利潤為y,則當(dāng)r(0,2)時(shí),而f (6)=28.8p,故f (6)是最大值答:當(dāng)瓶子半徑為6cm時(shí),每瓶飲料

10、的利潤最大,當(dāng)瓶子半徑為2cm時(shí),每瓶飲料的利潤最小.19變題2:若產(chǎn)品以每件500元售出,要使得利潤最大,每天應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?練習(xí):已知某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為203、統(tǒng)計(jì)表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量 y (L)關(guān)于行駛速度 x (km/h)的函數(shù)解析式可以表示為:若甲、乙兩地相距100 km,則當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?解:設(shè)當(dāng)汽車以x km/h的速度行駛時(shí),從甲地到乙地的耗油量為h(x) L,則211、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料,瓶子的制造成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半徑,單位是厘米,已知每出售1ml的飲

11、料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm,則每瓶飲料的利潤何時(shí)最大,何時(shí)最小呢?解:設(shè)每瓶飲料的利潤為y,則r(0,2)2(2,6f (r)0f (r)-+減函數(shù)增函數(shù)-1.07p221、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料,瓶子的制造成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半徑,單位是厘米,已知每出售1ml的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm,則每瓶飲料的利潤何時(shí)最大,何時(shí)最小呢?當(dāng)r(0,2)時(shí), ,f (r)是減函數(shù)當(dāng)r(2,6時(shí), ,f (r)是增函數(shù)23242、通過研究,人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中,汽油的平均消耗率 g(即每小時(shí)的汽油消耗量, 單

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