一類矩陣秩的恒等式及推廣高等代數(shù)畢業(yè)論文

1、 編號(hào) 莆田學(xué)院畢 業(yè) 論 文課題名稱：一類矩陣秩的恒等式及推廣系 別 數(shù)學(xué)系 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí) 03級(jí) 指導(dǎo)教師 2007年 5月目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc150508922 0 引言 PAGEREF _Toc150508922 h 1 HYPERLINK l _Toc150508923 1 預(yù)備知識(shí) PAGEREF _Toc150508923 h 1 HYPERLINK l _Toc150508924 2 推導(dǎo)過(guò)程 PAGEREF _Toc150508924 h 2 HYPERLINK l _Toc1505089

2、25 3 主要結(jié)論 PAGEREF _Toc150508925 h 12 HYPERLINK l _Toc150508926 4 結(jié)束語(yǔ) PAGEREF _Toc150508926 h 17 HYPERLINK l _Toc150508927 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc150508927 h 18 HYPERLINK l _Toc150508928 致謝 PAGEREF _Toc150508928 h 19一類矩陣秩的恒等式及推廣摘 要在何種條件下，不等式化為等式是當(dāng)前研究的重點(diǎn)本文利用矩陣及其初等變換對(duì)應(yīng)到分塊矩陣中，使得當(dāng)在滿足一定的條件時(shí)，有【關(guān)鍵詞】：秩；矩陣；初等變換；分塊陣

3、A Class of Matrix Rank Identities and Their GeneralizationAbstractChanging the inequality into equality under what condition is the current research key point. This paper uses the and its elementary operation corresponds the partitioned matrix, prove that when satisfy the certain condition, we have

4、【key words】rank;matrix ; elementary operation ; partitioned matrix莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的作品成果對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)學(xué)位畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）作者簽名：日期： 年 月 日莆田學(xué)院學(xué)士學(xué)位畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是在本人的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所

5、取得的成果除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的作品成果對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明指導(dǎo)教師簽名：日期： 年 月 日 0引言 目前對(duì)不等式推廣研究的一個(gè)重點(diǎn)是如何將不等式化為等式在廈大06年的考研試卷中有這樣一道試題 的充分必要條件是 以及北師大的兩道習(xí)題 與 的充分必要條件分別是 與 ，而這三題剛好是不等式中不等號(hào)化等號(hào)的特例沿著這一研究方向，特別是在參考李書超與王廷明的關(guān)于一類矩陣秩的恒等式及證明的基礎(chǔ)上，本文對(duì)不等式中不等號(hào)化等號(hào)的推廣式進(jìn)行了證明，在一定程度上改進(jìn)王廷明的證法，具有更直觀更具體意義上的效果本文在引入、

6、與 、在實(shí)數(shù)域上分解，并且各自對(duì)他們所構(gòu)成的對(duì)角陣進(jìn)行初等變換后得出定理這個(gè)結(jié)果及其他定理和推論1預(yù)備知識(shí)定義1 設(shè)P為任意數(shù)域，則關(guān)于定理的證明方法很多，我們可以參考文獻(xiàn)1矩陣有初等變換下面變換叫做矩陣的初等變換：（i）矩陣的兩行（列）互換位置，記為 （）；（ii）矩陣的某行（列）乘非零常數(shù)k, 記為 （）；（iii）矩陣的某行（列）加上另一行（列）的倍, 記為 （）而對(duì)應(yīng)分塊矩陣的初等變換如下：（i）對(duì)調(diào)矩陣的兩行（列），記為 （）：（ii）矩陣分塊行（列）乘非退化矩陣, 記為 （）；（iii）將矩陣的某一行（列）的所有子矩陣左乘一個(gè)矩陣加上另一行（列）, 記為 （）；引理 任意一個(gè)非零的

7、的矩陣都等價(jià)于下列形式的矩陣,其中推論1 ，當(dāng) 為兩兩互異的數(shù)時(shí)，有 與 等價(jià)此結(jié)論的證明由引理1顯然可得符號(hào)說(shuō)明：(i) R（A）代表矩陣 A的秩；(ii) 代表對(duì)角矩陣 A；2推導(dǎo)過(guò)程北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)小組編的高等代數(shù)（第三版）中有兩道習(xí)題：習(xí)題1：設(shè),則 的充分必要條件是習(xí)題2：設(shè),則 的充分必要條件是 通過(guò)構(gòu)造和分塊矩陣并分別對(duì)他們進(jìn)行初等變換如下：證明 （習(xí)題1）構(gòu)造矩陣 和 ，對(duì)它進(jìn)行初等變換，得相對(duì)應(yīng)的，對(duì) ，對(duì)它進(jìn)行初等變換 故由 ，有當(dāng)且僅當(dāng) ，證明 （習(xí)題2）構(gòu)造矩陣 和 ，對(duì)它進(jìn)行初等變換，得相對(duì)應(yīng)的，對(duì)，對(duì)它進(jìn)行初等變換 故由 ，有當(dāng)且僅當(dāng) ，在知道冪等與對(duì)合矩陣

8、的秩有將Sylvester不等式的不等號(hào)化為等號(hào)的優(yōu)點(diǎn)后，能否想象如 與 也具有此優(yōu)點(diǎn)呢？不妨看如下的例題：例1設(shè),則 的充分必要條件是證明 構(gòu)造矩陣 和 ，對(duì)它進(jìn)行初等變換得相對(duì)應(yīng)的，對(duì) ，對(duì)它進(jìn)行初等變換 故由 ，有當(dāng)且僅當(dāng) ，例2設(shè),則 的充分必要條件是證明 構(gòu)造矩陣 和 ，對(duì)它進(jìn)行初等變換，得 相對(duì)應(yīng)的，對(duì) ，對(duì)它進(jìn)行初等變換 故由 ，有當(dāng)且僅當(dāng)，例3設(shè),則 的充分必要條件是證明 構(gòu)造矩陣 和 ，對(duì)它進(jìn)行初等變換，得 相對(duì)應(yīng)的，對(duì) ，對(duì)它進(jìn)行初等變換 故由 ，有當(dāng)且僅當(dāng) ，例4設(shè),則 的充分必要條件是 證明 構(gòu)造矩陣 和 ，對(duì)它進(jìn)行初等變換，得相對(duì)應(yīng)的，對(duì) ，對(duì)它進(jìn)行初等變換得 故由，

9、有當(dāng)且僅當(dāng) ，有例5 設(shè),則 的充分必要條件是 證明 構(gòu)造矩陣 和 ，對(duì)它進(jìn)行初等變換，得 相對(duì)應(yīng)的，對(duì) ，對(duì)它進(jìn)行初等變換得 ，故由，有當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，有例6設(shè)，證明：的充分必要條件是證明 構(gòu)造矩陣和對(duì)它們進(jìn)行初等變換如下 對(duì)分塊陣作同樣的初等變換 故由 ，有當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，3主要結(jié)論現(xiàn)在對(duì)上述6個(gè)例題進(jìn)行歸納總結(jié)，即可注意到這樣的結(jié)果：當(dāng)與 等價(jià)，對(duì)分塊初等陣進(jìn)行同樣的初等變換后有 與 等價(jià)此結(jié)果在例1到例6都成立的，那么我們不妨設(shè)當(dāng) 滿足何種條件時(shí)，有如下結(jié)果定理1 ，當(dāng) 為兩兩互異的數(shù)時(shí)，有 與 等價(jià)證明 首先我們先看對(duì)角矩陣與 相對(duì)應(yīng)的三種初等變換1）換行2）倍乘3）倍加用數(shù)學(xué)歸納證明如

10、下當(dāng)t=2時(shí)，由而此時(shí)對(duì)矩陣也進(jìn)行同樣的變換因此 ，此時(shí)由與等價(jià)，得到與也等價(jià)若由 與 等價(jià)，可以得到與 等價(jià)，其中 為復(fù)數(shù)域上兩兩互異的數(shù)那么，我們顯然也易得 與 等價(jià)，其中 、為復(fù)數(shù)域上兩兩互異的數(shù)則由2）對(duì)于矩陣與矩陣 等價(jià)，而我們需要的結(jié)果是 與 能夠等價(jià)因此，它其實(shí)就可以轉(zhuǎn)化成 與 能否等價(jià)所以，首先可以看到 與 等價(jià)，其中 不能整除故用綜合法發(fā)把 表示成的方冪和，即寫成，則，令=，所以有如下結(jié)果 ， 而此時(shí)也會(huì)得到=，故而 ， 所以就有了 與 等價(jià)定理2 設(shè)，對(duì)任意的兩兩互異的數(shù) ，則證明 由 中，兩兩互異，所以得 與 等價(jià) 因此由定理1得 與 等價(jià) 所以有結(jié)果成立推論2 設(shè)，A的

11、多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域的標(biāo)準(zhǔn)分解為 ，若 無(wú)重根 ，則推論3 設(shè)，A的多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域的標(biāo)準(zhǔn)分解 ，若無(wú)重根，且它在實(shí)數(shù)域的標(biāo)準(zhǔn)分解為則 證明 由定理2知：，其中， 且 故所以 定理3 設(shè)，且B可逆，A，B可交換，那么對(duì)任意的兩兩互異，則有 證明 由已知得 依定理2得 而 與 4結(jié)束語(yǔ)本文先通過(guò)對(duì)和型矩陣進(jìn)行實(shí)數(shù)域上的分解，構(gòu)造其分塊對(duì)角陣及相應(yīng)的矩陣，在引入矩陣和分塊陣的初等變換后，分別對(duì)他們進(jìn)行相同的初等變換后，得到平行的等價(jià)結(jié)果由此猜測(cè)：當(dāng)互異時(shí)，有 與 等價(jià)根據(jù)這一結(jié)果得到當(dāng)互異時(shí)，不等式的等號(hào)成立，并且證明的過(guò)程直觀具體易懂，具有一定的聯(lián)系性和過(guò)渡性，并且得到定理1這個(gè)結(jié)果因此本文的優(yōu)點(diǎn)之一是

12、得到了對(duì)角矩陣與對(duì)于各自的初等變換后，得到它們的等價(jià)的矩陣分別為 與 ，并且兩者的初等變換又具有平行性由定理1證明了不等式的等號(hào)成立及其推廣與王廷明的一類矩陣秩的恒等式的證明相比較，在前一部分的證明中這一方法占有優(yōu)勢(shì)，但在王廷明最后一個(gè)定理的推廣當(dāng)中無(wú)法利用這一方法加以推廣，是本文的不足之處，也是本文繼續(xù)往前研究的一個(gè)重要方向而跳出這個(gè)研究范圍，我們來(lái)觀察一下定理1：它描述的是對(duì)角矩陣與初等變換的平行性，那么由引理1知對(duì)于任意的對(duì)角矩陣都與等價(jià)，則是否與等價(jià)呢？如果這一猜想成立，那么就不僅僅可以考慮A+KE的形式，更可拓寬到將用任意型如f(A)的多項(xiàng)式代替，而得到矩陣多項(xiàng)式也具有矩陣的性質(zhì)參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)幾何與代數(shù)研究室代數(shù)小組，高等代數(shù)（第2版）M高等教育出版社，19982 雷雪萍，高等代數(shù)中一道習(xí)題的推廣J大學(xué)學(xué)報(bào)，2006.8（第4期）3 王廷明，黎伯堂一類矩陣秩恒等式的證明J山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）,2007.2（第2期）4 李書超，蔣君，向世斌等一類矩陣秩恒等式及推廣J武漢科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004（第1期）：96-985 朱德高，李桃生，費(fèi)泰生高等代數(shù)M武漢：華中師范大學(xué)出版社20026 樊惲，錢吉林，岑嘉評(píng)，等代數(shù)學(xué)詞典M武漢：華中師范大學(xué)出版社19947 任立順高等代數(shù)研