通信技術(shù)概論信號(hào)能量譜密度與功率譜密度

1、2.2.3功率譜密度我們定義信號(hào)f(t)的能量(作用歸一化處理)：由電壓f(t )(或者電流f(t )在1。電阻上消耗的能量：E =匚 f2(t)dt,(注釋?zhuān)篍 = u i = u2 / R= u2)積分值存在，信號(hào)的能量為有限值，稱(chēng) f(t)為能量信號(hào)。對(duì)于能量無(wú)限大的信號(hào)(如周期性信號(hào))，我們考慮能量的時(shí)間平均值，這顯然就是信號(hào)的平均功率。這種信號(hào)稱(chēng)作(平均)功率信號(hào)。瞳愈潤(rùn)屬彩瘞附歷尻賴(lài)。我們定義信號(hào)f(t)的平均功率，為電壓3在1。電阻上消耗的平均功率 (簡(jiǎn)稱(chēng)功率)：T. oS = lim T2 f2 t dtT T _ 2式中，T是為求平均的時(shí)間區(qū)間。為了更好地描述能量信號(hào)、功率信

2、號(hào)，我們引入能量譜密度和功率譜密 度概念。能量譜密度、功率譜密度函數(shù)表示信號(hào)的能量、功率密度隨頻率變化的 情況。我們知道，非周期性信號(hào)的頻譜寬度是無(wú)限的， 然而，實(shí)際上信號(hào)的大部 分功率是集中在某個(gè)有限的頻譜寬度內(nèi)。通過(guò)研究功率譜密度，可以幫助了解信號(hào)的功率分布情況，確定信號(hào)的頻 帶等。對(duì)于能量信號(hào)f什)，根據(jù)付里葉反變換有f t 二工 F ej %二一則信號(hào)的能量：= f (t) 1 F ej % dt 2 -F f t ej %t d =_： 一 d當(dāng)f (t)為實(shí)信號(hào)時(shí)，F(xiàn)(e)= F (0)今后如無(wú)特別說(shuō)明，都是指實(shí)信號(hào),20這樣則得到:E =二 f 2 (t)出=od12-二 2,：

3、F d式中，令，F(xiàn)) 2 = E(s), (J / Hz),稱(chēng)E3)為能量譜密度。信號(hào)的能量又可以表示為：1EE ( ) d2二-二上式就是能量信號(hào)的parsverl公式。公式表明：信號(hào)的總能量等于各個(gè)頻 率分量單獨(dú)貢獻(xiàn)由的能量的連續(xù)和。能量譜密度 e 反映了信號(hào)能量在頻率 軸上的分布情況。 溝熠金富愛(ài)建譴凈。對(duì)于功率信號(hào)，其功率譜密度可按下面方法求得：f (t )在間隔|t | A T以外的部分截去，得到截短函數(shù)：fT (t)=，如下圖示，只要T為有限值,T t -2其它fT (t)的能量ET也是有限值。二 2Et，二 fT (t)出12n-He21因?yàn)?1 2T ,2J (t)出=彳(t)

4、 dt所以有:平均功率 S = lim 1 ：2 f2 t dt = lim 1 : fT2 t dtT ：T - 2T ：T -二 T1 1=lim t T 2 二當(dāng)T增加時(shí),1 lim2 二一T 一二T1d.fT （t ）的能量也增加,2 ，一，ft（6）也增加，Tt 8時(shí),|Ft3 )|2的極限可能存在，令:Ft 9，一， ，一一、lim 匚=PS（。）， 稱(chēng)此極限為（平均）功率譜瓷度 T ）： T信號(hào)f （t ）的（平均）功率又可表示為： TOC o 1-5 h z 11SPSdPSd2二-一二0=2 0 Ps f df（注：Ps （6）功率譜密度是頻率的實(shí)偶函數(shù)）物理意義：信號(hào)的平均

5、功率等于各個(gè)頻率分量單獨(dú)貢獻(xiàn)由的功率之連續(xù)和。功率譜密度E（0）反映了信號(hào)能量在頻率軸上的分布情況。殘鷲樓靜鑄麗藏需要說(shuō)明：功率譜密度只與信號(hào)的幅度譜有關(guān)，與相位譜無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)從功率譜中只能獲得信號(hào)的幅度信息，得不到相位信息。r鋼極鎮(zhèn)檜豬錐。2.2.4自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)在信號(hào)分析中是十分有用的工具。自相關(guān)函數(shù)表征信號(hào)與其本身在時(shí)移工后的關(guān)聯(lián)程度?；ハ嚓P(guān)函數(shù)表征兩個(gè)不同的信號(hào)波形在不同時(shí)刻間的相互關(guān)聯(lián)程度。（1）自相關(guān)函數(shù)22對(duì)于功率信號(hào)f(t/自相關(guān)函數(shù)定義為：R = lim 1T2 f t f t dtJ T 2對(duì)于周期為T(mén)的周期性信號(hào)f(t),自相關(guān)函數(shù)定義為：R T2 f

6、t f t dtT -T2功率信號(hào)f(t ),其自相關(guān)函數(shù)Ri)與功率譜密度Ps(。)構(gòu)成傅立葉變換 對(duì)：(推導(dǎo)見(jiàn)徐佩霞書(shū)P.25)PS9)= J：R9一df付氏正變換10cl_, _.、rh)= - 1 pSg)6用氣6付氏反變換,2 兀 3 S或記為：R 、 Ps利用這一關(guān)系，可通過(guò)自相關(guān)函數(shù)來(lái)求功率譜 pSg)。(2)互相關(guān)函數(shù)對(duì)于功率信號(hào)f1(t )與f2(t )的互相關(guān)函數(shù)定義為：1 TR12K ,尸 limT2 fl t f2 t dtT,T2而f2(t t )的互相關(guān)函數(shù)：R21= lim t2 f2ttit dt21 TUT2 21注：下標(biāo)1、2次序不能顛倒，不滿(mǎn)足交換律實(shí)信號(hào)

7、f1 (t)、f2 (t滿(mǎn)足下列關(guān)系：Rl2) R21 一2.2.5確定信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)所謂線(xiàn)性系統(tǒng)，是用迭加原理表征的，這意味著：f fjt)激勵(lì)函數(shù)f f?(t)激勵(lì)1 2 1rl (t)響應(yīng)函數(shù)l r2(t)響應(yīng)23則:r1t r2tL f1t f2 t r1tr2 t l f1tf 2 t對(duì)確定性信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，表述激勵(lì)與響應(yīng)、輸入輸由之間的 關(guān)系有：（時(shí)域法（利用信號(hào)的時(shí)間特性）：頻域性（利用信號(hào)的頻率特性）時(shí)域分析把激勵(lì)和響應(yīng)都看作時(shí)間函數(shù)頻域分析將時(shí)間變量的函數(shù)經(jīng)付氏變換到頻率變量去分析（1）時(shí)域分析方法時(shí)域法的基本分析手段是把外加的復(fù)雜激勵(lì)信號(hào)，在時(shí)域中分解成一系 列單

8、元激勵(lì)信號(hào)，然后計(jì)算各個(gè)單元信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)的響應(yīng)，最后在輸由端疊 加后得到總響應(yīng)。 彈貿(mào)攝爾霽斃撰磚鹵尻。利用迭加原理：一個(gè)激勵(lì)函數(shù)可表示為一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)之和。 在這里， 考慮另一類(lèi)基本函數(shù)（單元信號(hào)），激勵(lì)函數(shù)f（t）表示為沖激函數(shù)之和。那戢篋飆 鱗戀類(lèi)蔣薔。-Helim二一0 f 工tT=-o二二 f ,）i：t - d式中,t=T時(shí)，沖激強(qiáng)度為f加如果Wt-工）的響應(yīng)是h（t-工）,則激勵(lì)函數(shù)f（t）的總響應(yīng)為:+0r t = lim % If h t - j:f h t - d對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，t 0時(shí)，f（t）= 0,有總響應(yīng)：r t =、 h t - d0時(shí)域分析法示意圖如下圖所示:f(t r激勵(lì)f（2）頻域分析法可以將激勵(lì)函數(shù)f（t）由付氏變換表示為指數(shù)函數(shù)的（連續(xù)）和，獲得系 統(tǒng)的響應(yīng)，稱(chēng)為傅立葉（也可用拉普拉斯方法）方法。廈礴懇蹣駢畤翥繼騷。我們定義特殊類(lèi)型的乘積是卷積：f1（t ）* f2（t ）= f f1（T）f2（t - T dT 則：12.一二.2-Hor t = lim If 1 h t -0二 j二 f h t - d-no=f （t h（t）= h（t ）* f （t）（滿(mǎn)足交換律）利用卷積定理得R9 ）= F9）H9）= H（。）F9）（付氏方法）r tR其中ft- Fh t、 H如果已知輸入激勵(lì)信號(hào)的頻譜 F9）和系統(tǒng)傳輸函數(shù)H3）,利用