概率論和數(shù)理統(tǒng)計(第三學(xué)期)第8章參數(shù)估計課件

1、第8章 參數(shù)估計 點估計 點估計的評選標準 參數(shù)的區(qū)間估計參 數(shù) 估 計 在實際問題中，對于一個總體往往是僅知其分布的類型，而其中所含的一個或幾個參數(shù)的值卻是未知的，因此只有在確定這些參數(shù)后，才能通過其分布來計算概率，如何確定這些參數(shù)的數(shù)值呢？這就是統(tǒng)計推斷中的“參數(shù)估計”問題。 本章只研究總體分布是連續(xù)型或離散型兩種情形。為簡便起見，我們引入一個對這兩種情形通用的概念：概率函數(shù)。我們稱隨機變量的概率函數(shù)為f(x)是指： 在連續(xù)型情形，f(x)是的密度函數(shù)。 在離散型情形，f(x)是=x的概率。定義 構(gòu)造一個統(tǒng)計量 作定值的估計稱為參數(shù)的點估計。8.1 點估計一、矩估計法（1）列出估計式。步驟

2、為:（2）求解關(guān)于估計量的方程組。（3）求出矩估計。解例1（1）列出估計式。（2）求解關(guān)于估計量的方程組。（3）求出矩估計。注意：只要總體的期望和方差存在，此結(jié)果對任何總體均適用。解例2 定義 二、順序統(tǒng)計量法即樣本中位數(shù)。即例3 有一個樣本為 1 453，1 650，1 367，1 502解 將樣本的觀察值按大小順序排列為 1 367，1 453，1 502，1 650定義三、極大似然估計法（最先出現(xiàn)的是概率最大的）注意：極大似然估計。具體步驟：1)總體為離散型分布。2)總體為連續(xù)型分布。似然方程例4解從而得p的極大似然估計量為：例5解即相應(yīng)的極大似然估計量為：點估計的方法：一、矩估計法（也

3、稱數(shù)字特征法） 直觀意義比較明顯，但要求總體k階矩存在。二、順序統(tǒng)計量法 使用起來方便，無需多大計算，但準確度不高。三、極大似然估計法。 具有一些理論上的優(yōu)點，但要求似然函數(shù)可微。定義8.2 點估計的評選標準例1解例2證明 由于方差是度量隨機變量落在它的均值E的鄰域內(nèi)的集中或分散程度的。所以一個好的估計量，不僅應(yīng)該是待估參數(shù)的無偏估計，而且應(yīng)該有盡可能小的方差。定義證明例3我們不僅希望一個估計是無偏的，且具有較小的方差，有時還希望當子樣容量無限增大時，即觀察次數(shù)無限增多時，估計能在某種意義下越來越接近被估計的參數(shù)的真實值，這就是所謂一致性的要求。定義一致性注意：下面證明：證明（1）（2）（3）

4、定義8.3 參數(shù)的區(qū)間估計有：隨機區(qū)間(1,2)包含的概率為1。注意：單個正態(tài)總體的區(qū)間估計1、2已知，求的置信區(qū)間例1解2、2未知，求的置信區(qū)間在例1中若滾珠直徑的方差2未知，用同樣的數(shù)據(jù)求的置信概率為0.95的置信區(qū)間。解例2 分析例1和例2的結(jié)果會發(fā)現(xiàn)，由同一組樣本觀察值，按同樣的置信概率，對計算出的置信區(qū)間因為2的是否已知會不一樣。這因為：當2為已知時，我們掌握的信息多一些，在其他條件相同的情況下，對的估計精度要高一些，即表現(xiàn)為的置信區(qū)間長度要小些。反之，當2為未知時，對的估計精度要低一些，即表現(xiàn)為的置信區(qū)間長度在大一些。3、已知，求2的置信區(qū)間構(gòu)造變量例3解4、未知，求2的置信區(qū)間兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計兩臺機床生產(chǎn)同一個型號的滾珠，從甲機床、乙機床生產(chǎn)的滾珠中分別抽取8個、9個，測得這些滾珠的直徑（單位:mm）如下:甲機床 15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8乙機床 15.2，15.0，14.8，15.1，15.0，14.6，14.8，15.1，14.5 兩臺機床生產(chǎn)的滾珠直徑服從正態(tài)分布，求這兩臺機床生產(chǎn)的滾珠直徑均值差12 的置信區(qū)間，置信概率為0.90，設(shè)（1）已知甲、乙機床