4.7放縮法-教師版

1、放縮法(1)知識梳理_】C=_1_=/_!_/r 4?r 4/f - I I 2?: - 1 2 + 1C,； ( + 1)( - 1) /(/!- I) ( + I)!七HE*洞+仍5( -1) 2(8) 2(J +1 = 2(Vn - J-1)(Yj_ =Ii_2 + 1 2 + 3)2 (2 + 1)-2- (2+ 3) 2!+11,! = _Lfl一k(n + -k) (n + -k k)n + l ( + 1 +幻 k + n + l + A TOC o 1-5 h z (10) _ 1(11) . 2a/2?(,2)擊=危3危=土土心(13) 1 一 _!ln n2 y/n(n -

2、 )(n + ) (伽-1) J( + 1) J J +1 - J-1(i i )Vw+T+Vn i i, I v ,3=3(2w-1)2/,=2/,-! = 32 -134=(16)_ 2” 一 2 = 2(21 -1) = 2an_x,- 2( 2)且坊=1,小=3,也.阻.q2-2.3,C3.(頊-2a、 a.2n-211|12 I 2五.構造和數(shù)列后進行放縮如果數(shù)列不等式?jīng)]有直接的求和的形式，很多時候可以間接的構造和數(shù)列，然后進行放縮處 理?！纠?12】己知- + - + + - - log, n,2 3 n 2a =bO,aH 2)正數(shù)列%滿足證明：注點斯。修之）分析：根據(jù)已知構造關

3、于的遞推關系式,4然后利用“累加法”把不等式的左邊轉(zhuǎn)化為和數(shù)列的形式。證明：v0 an 2時，上=(-an 6)+(-an- ai- an-2a2 ax aK n n-2 b.二4眼+七2 +例。頃0,2ban 2b 2b 2 + /?log2n【例13】已知函數(shù)/(x) = ,定義數(shù)列代:為=0,知產(chǎn)/(x)，cN ,r +2 TOC o 1-5 h z 若 0 玉 V ?(# = 2,3,4,. .),證明:對任意 tn g N都有:xm+k -xj 2時，.。玉5,92云 + 2 云_1 + 2 （x + 2）（+ 2）|云-|&-如阮+知I|璋-心-44.|知-引矛自特心 十I沖咔對

4、V777 G/V*,|x/m+,-X,|=|（Xw+,_ Xm+k-i ）+（-工一2）+ +（工3 -玉）|Xmk 工/n+A-l | + 氐+A-1 -Xm+k-2 n兀Wr甘兀Wr甘+ ,求證：Tnn.Mz+3N2(如+3), 丘 N迭乘得:bn +3 2T0 +3) 2伸22 23 242n+, 2 2n+l 2點評：把握“如+3”這一特征對*=妒_(_2)九+3，進行變形，然后去掉一 個正項，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項或者用數(shù)學歸納法， 似乎是不可能的，為什么？值得體味！2、數(shù)列，=(一1)叫,其前項和為s“12/2求證：$2V手解：kSi = 1_l+l-l

5、+.+-L_ TOC o 1-5 h z 2 3 42/-1令土也的前項和為兀當“2時bn 0)的圖象在(1,/(1)處的切線方程為y = x-用。表示出。,c若f(x) In x在1,+8)上恒成立，求。的取值范圍證明：l + L + . + 1ln(/? + l) + -2 3 n2(+ 1)解：（1） （2）略由(II)知：當a-f(x)nx(x) 令。有/(x)=；(工一上) InxCrN 1). TOC o 1-5 h z 22x且當x 1時 Inx2xkk2k k+2kk+1即 ln(k + 1) In A (i), k = 1,2,3,2 k k + I2(+ 1)將上述n個不等

6、式依次相加得ln( + l) 1解：(1) (2)略由得+(：)+：2314”4”V1-(1-)(1 + -；-)1+ 1 * * 4 4”44_,4 4 42n,1+4/,_,1+i+戶 + + 2- - -1 = 1 4 24” 2+4411 + 1 41 221+F例題解析一、常見的放縮控制當我們選擇了正確的放縮方法后，卻往往會在放縮的過程中不知不覺間失控，導致放縮的過大或過小，達不到欲證的目標。那么如何控制好放縮的尺度呢？【例1】求證：+.1分析1:不等式左邊不能直接求和，我們希望通過合適的放縮后可以求和。 若采取“-42)的方法向右端放大，n /(/?-1)(-1) n貝+.! =

7、1 + (-)1x2 2x3(-l)x 1 22 3z 11、 c 1 c 7+ () = 2 n- n n 4很明顯，放得有點大了，導致傳遞性失敗，不等式鏈中斷，放縮失敗。那怎么 辦呢？1調(diào)整放縮的“量”的大小分析2：分析1中“放”的有點過大，因為上 .2m(2)./() .1x24放大了上，所以可以通過調(diào)整放大的“量”來控制放縮的效果。322x318 在4分母減少了 n,我們可以把分母只減少1,即n n(n -1)4-v- = -(-)32 2)，這樣放的量就少了。n 2 n- n + 1=1+1(1+1_1_L)i+l(i+l)=l2 2 n + l2 2 42調(diào)整放縮的“項”的起點分析

8、3：分析1中從第二項開始放縮，放的最終有點大?？梢哉{(diào)整放縮的項數(shù)，從第三 項開始放縮。證明2：左邊嚀土+1(一 l)xT + f+(，+(42 3/? -1117 17)=3311 11.%a2一心2)W + .+1% % 知 q 如+二虹an妃1-y(x)當 =1時，不等式成立當22時，(1 V1 + I K A1 + hl). i + J_l bn)即證232T%=3”一1=1 +【，l小= 2.2.妲2%+i=3an)16Lk. + 4 + . +J 1 a a2 an 2 3- 332 6V 311 iiii云+云+私二3+云11 ,1() 13.1 16 33-3 34-323 _3

9、心10 _116 24 j_l 16 16 _3二、常見的問題類型數(shù)列型不等式的一邊常與求和有關，所以可以通過放縮后求和(或求和后放縮)來達到欲 證的目標。下面我們通過兒道典型例題來體會常見問題的處理手法。一.放縮與“公式法求和”選擇簡當?shù)姆趴s方法，通過“通項”的渣度放縮使之轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，從而求和 達到簡化證題的目的。【例2】設s, =vn+屋+.+j.(+i),求證：四井s“a尹證明：因為 VUIV Jk(k +1) V & + ； + D , ;.kk(k + l)k + ?f f 八 I、 MH n(n + 0( + l)2k=l&=i ZZZ說明：分別利用“添舍項”和“均值不等

10、式”把通項放縮為等差數(shù)列，然后求和得證?！纠?】求證：-+ - + -+-+-21! 2! 3!！證明：因為婦=燈上一) 212 2221 = 2卜，二二7，# = 12k 21 1 1 1111* +五+/+/函+歹+芬+ 1=2-(-)/,-1 21-1 22說明：把分母適當變小，實現(xiàn)分式的放大，把通項放縮為等比數(shù)列，然后方便求和?！纠?】己知 =2一1 ,證明：蘭一上 色+冬+ .一色二蘭 TOC o 1-5 h z 2 3 但皿2證明：通項=T .v. 4k _ !k + /k 衣+= 2(VT-VrT),(/：2)l + 2(V2-Vr)+ (V3-V2) + -(VH-V)l =

11、l + 2(-l + V?z) = 2V-1 2(V2-VT) + (V3-V2) + -(VzTn-7w) = 2(-1 + V) = 2(Vh + T-1) M lk說明：例1分式、例5根式的放縮后裂項相消求和的處理手法是很多靈活題目的原型，值得 體會。111n1【例6】己知=(，)”,=+，證明：2/7-31 + cq 1 - t/M+1*=i31133n+,證明：b =!+ =W_ + _1.13+1 3/,+| -13+133n+,33” +1 1 3,+|+-1 + 1, c 1bn 2+3 31) = 2 + (1) 2 3 3,+,3 3n+,3(:) TOC o 1-5 h

12、z C11=213 +1 3,+|j j|,萬如 2 + (-亍 + 子)+ (- + 云)+，+(說明：對通項利用“分離變量”化簡至（淤）處是本題的關鍵，根據(jù)式子中各項的符號以及 分母的幕指數(shù)決定放縮為（海）的形式，以實現(xiàn)相消”求和的效果。1 I【例7】己時=$=成）+徹,求證：2柘w證明：/( +1) =+ 11, f( + )=以)典)+1二而T f()+ l1 1/() +1 /() /( +1) 0,由已知可得f（n） 0,/t 4,W+ + + - % 8分析：通項中含有把-+ 口一，捆綁并為一項，然后結合n的奇偶性進行適度 %+i的放縮。證明：當n為奇數(shù)時，113r 11=: %

13、 皿2 2-2 +1I = 22,5-2_V-12 22rt_3+2,r_, -2/,_2-1 23 2=+ 2n-222-3即當n為奇數(shù)時,- + 4時:上+上+.+二上+ (上+上).(-L + AxL。(上 %。5am a4 。5%an- am 22 21 11、+ + + 77 + 7)3宇上)4時:1 11 1+ , , + + +%角a.na4角117+4,都有一+ + +1+蘭。? N2,eN)2 3 42-1 2”2分析：觀察分母的變化規(guī)律，把若干項“捆綁”并為一項后進行放縮，然后求和就很容易實 現(xiàn)欲證的目標。1+1+（1+次+（1+上+1+馬+（上+土+2）+（-+一+上）2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 162rt_, +1 2”1 T J+（L+L）+（J+L+J+L）+L+.+L）+.+.+_L）24 48 8 8 816 1616 162 2n 2”小壬+K共個;)=y四.利用遞推關系式放縮利用遞推關系式本身縊含的不等關系或放縮產(chǎn)生的不等關系，在很多題目中可以起到很好的 放縮效果?！纠?10】已知ak 2ak_. +1(A:2),求證：+-1 + % 1 + a21 + an 2分析：根據(jù)欲證不等式的結構特點，通過遞推關系式構造關于1 + S.的不等式，然后實現(xiàn)對 通項的放縮。證明：v ak 2ak_ +1,.ak+l 2(%