高三數(shù)學(xué)猜題談與向量有關(guān)的高考題型

1、2008年猜題談與向量有關(guān)的高考題型 河北省井隆一中向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，有著極其豐富的實(shí)際 背景，用向量證明幾何中有關(guān)平行、共線和垂直的命題，用向量計(jì)算 角度和距離，用向量表示點(diǎn)的軌跡，以及用向量處理三角恒等變形， 證明不等式，求解函數(shù)的最值，較之傳統(tǒng)方法更為簡(jiǎn)捷。作為中學(xué)數(shù) 學(xué)的一個(gè)新的知識(shí)“交匯點(diǎn)”，向量與三角函數(shù)、解析幾何、平面幾 何、數(shù)列、方程的綜合題成為各類考試中考查的一個(gè)新熱點(diǎn)。下面通 過2006年高考試題作一說明：進(jìn)而可以運(yùn)用代數(shù)方法求解.向量1.平面向量與函數(shù)(主要是三角函數(shù))的交匯 利用向量的數(shù)量積可以把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)形式,與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的一個(gè)熱

2、點(diǎn)，它常常包括向量與三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值與證明的交匯、向量與解三角形的交匯、向量與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的交匯等幾個(gè)方面.一. 一一.一， ， 一 41兀兀例 1.(全國(guó)卷 II )已知向重 a = (sin 0 , 1), b = (1 , cos 0 ) , 0 0,y 0) B . 3x - y =1(x0,y 0)22C x2 -3y2 =1(x 0, y 0) D . x2 + 3 y2 = 1(x 0, y 0) 22解：點(diǎn)P(x, y),盧Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，所以Q(-x, y),設(shè)A(x1,0), B(0, y2)根據(jù)T TBP=2PA且OQMB=1 ,根據(jù)定比分點(diǎn)公式及向量的數(shù)

3、量積公式可得0 2x1 2x1x3x帶入 x|_x1 + yLy, = 1 得到 x2 + 3y2 = 1,1 23 = =萬y2 + 2 M0 y2 rqy =一-=-42 =3y1+23由于過點(diǎn)P（x, y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于 A, B兩點(diǎn),故x 0, y 0 ,故選DF為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn),評(píng)析：考查圓錐曲線方程求解，定比分點(diǎn)公式的應(yīng)用，以及平面向量的數(shù)量積的計(jì)算。例4.（江西卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OA_AF = -4 ,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（(1,2) D. (2,2 . 2)A. (2, -2 .2) B. (1,-2) C.解：設(shè)點(diǎn) A(m

4、,m) F(1,0),則 AF =(1-m，m) , oAjAF =m(1-m )_m2 = _4 ,4444有 m4 +12m2 64 =0 ,得 m =也。選 B評(píng)析：考查拋物線的性質(zhì)及向量的運(yùn)算。合理設(shè)出未知數(shù)，建立方程求出未知數(shù)的解, 是一項(xiàng)基本運(yùn)算能力，也是本題的關(guān)鍵。例5.(陜西卷)如圖，三定點(diǎn)A(2,1),B(0, 1),C( -2,1); 三動(dòng)點(diǎn)D,E,M滿足危漏,BE= t BCT, DM=t DE , t 0,1. ( I )求動(dòng)直線 DE斜率的變化范圍；(n )求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.分析：向量的方向向量實(shí)際上是繼直線的斜率、傾斜角以后的第三個(gè)表示直線方向的重要概念。要學(xué)會(huì)并

5、善于運(yùn)用它來求解。解法一:如圖，(I )設(shè) D(X0,y 0),E(x E,y E),M(x,y).由AD=tAB,BE= t BcT ,知(xd2,y d1)=t( -2, -2).xe= - 2ty E=2t 1yE- yDxe- xd t C 0,1,2t - 1 - ( -2t+1) =12t ( 2t+2)1kDEC 1,1.-2t.(n ) D=t DE(x+2t 2,y+2t 1)=t(-2t+2t 2,2t 1+2t 1)=( 2t,4t2 2t).,x=2(1 -2t)r_2y=(1 -2t)即所求軌跡方程為 解法二：(I)同上2x y=7 ,:x 2=4y, x即 x2=4

6、y.C 2,2,. t 6 0,1, x=2(1-2t) -2,2.(n )如圖，od=Oa+Ad= oa +tAB = OA+ t(OB OA = (1t) oa +tOB,不能正確對(duì)t的取值范OE= OB+BE = OB +tBC = OB+t(OC OB=(1 -t) OB +tOC, 一， ， 一， 一， 一一OM= OD +D附 OD+ tDE = OD+t(OE OE)=(1 - t) OD + tOE=(1 t2) OA + 2(1 t)toB +t 2OC.設(shè) M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),由OA=(2,1), OB =(0, -1), OC =(2,1)&=(1 t2) 2+2(1

7、 -t)t 0+t2 ( 2)=2(1 -2t) ty=(1 -t) 2 - 1+2(1 -t)t( 1)+t 2 1=(1 -2t) 2洎得 x2=4y, -. t e 0,1, x e -2,2.故所求軌跡方程為：x 2=4y, x C -2,2評(píng)析：考查直線方程的概念，向量的運(yùn)算性質(zhì)，以及求點(diǎn)的軌跡方程方法。以及容易忽視已知中的數(shù)量關(guān)系利用向量的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化成所需要的形式, 圍是本題易錯(cuò)之處。3.平面向量與平面幾何的交匯平面向量與平面幾何的交匯試題，既考查平面向量的概念與運(yùn)算，也考查了平面幾何知識(shí)，同時(shí)考查了向量知識(shí)在平面幾何問題中的干用1 ） jAB = a, AD = b, AN

8、例6.（安徽卷）在RABCD中, MN=。（用t b表示）= 3NC , M為BC的中點(diǎn)，則分析：由 AN =3NC 得 4AN =3AC=3（a+b）,/=a+”，所以2T1 3J 1,.11，MN = 一（a+b） -（a+ b） =- a+-b。4244. .,一，一一,一ABAC一 一麗 AC 1 一例7.（陜西卷）已知非零向量A*AC蔭足（+ ） BC=0且7-=2 ,則 ABC為（）A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形ABA C分析： +%-，此向量的方向和 /BAC的角平分線的方向一致, AB AC 一 .又由（-g- + 茜） BC=0,可得

9、LI ABC中2A的角平分線也是BC邊上的高,AB AC 1所以LI ABC為等腰三角形，又有 = 2,由向量的數(shù)量積可得 2A=60。，U ABC為等邊三角形，選 D另解：特殊化思想，在四個(gè)答案中，最特殊的是等邊三角形，構(gòu)造邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形，直接帶入條件中，滿足選 D評(píng)析：近三年的高考中，都出現(xiàn)了這種向量的題目，需要結(jié)合具體圖形的幾何性質(zhì)。復(fù)習(xí)中一定要掌握住向量的基本概念, 它對(duì)應(yīng)的幾何關(guān)系是錯(cuò)誤原因。4.平面向量與數(shù)列的交匯重視向量工具性的應(yīng)用。 不能正確理解向量的數(shù)量積與例8.（江西卷）已知等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為若 OB = a1OA+a20010c,且A B、C三點(diǎn)共

10、線（該直線不過點(diǎn)O）,則S200等于（）A. 100B . 101 C. 200D. 201分析：由 A、B、C 三點(diǎn)共線可知 a1 +a200 = 1 ,所以 S200 = 200g + a200）= 100 ,選 A2評(píng)析：本題中數(shù)列和向量的結(jié)合再次向我們傳遞這樣的信息：向量作為一種工具，已經(jīng)逐步滲透到高中數(shù)學(xué)的每個(gè)角落，復(fù)習(xí)中應(yīng)重視向量的應(yīng)用 .未能將題中三點(diǎn)共線條件 正確轉(zhuǎn)化是做不出來的主要原因。1,一*例9.（天津卷）設(shè)函數(shù) f（x）= ，點(diǎn)與表示坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) An（n, f （n）（nw N ）.若x 1T 一 一,T4 八T &向量an =AA +AA2 +. +入4入,可是an

11、與i的夾角（其中i =（10）,設(shè)Sn = tan01 +tan為 +tanHn,貝U lim Sn =n/ n二T -一 一 .1 、分析:由已知得十明+小人=/從S即(不,Sn = tan % tan 12 . tan ;11+12 2 31+n (n 1)-(=1 n n)11111=(1- ) ( T22334tan6n的幾何意義及裂lim Sn = lim(1 n 舉二n_:二評(píng)析：本題為向量、解析幾何和數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用。正確理解 項(xiàng)法數(shù)列求和是解本題的關(guān)鍵。5.平面向量與方程的交匯例10.(湖南卷)已知iai=2|bi#0,且關(guān)于x的方程x2+|x+ab=0有實(shí)根, 則a與b的夾

12、角的取值范圍是 ()2 二 rA. 0, B .一，冗C . , D .633 36I 彳24 43|24 4W 彳 d 2分析：由題意知，小=忖 -4a|_b = 4 b -4a_b 0 , 所以a_ bb ,而c otS = -441 = 見.又 H 三0, ?!,二 8 e m,所以選 Boa b 2Hb 23評(píng)析：三角函數(shù)基本知識(shí)是高考的熱點(diǎn)問題，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)徹底掌握.不易由余弦函數(shù)圖像得出角的范圍是解不出本題的主要原因。另外舉題說明：一、向量與三角函數(shù)結(jié)合起來考查的題型：例 1:已知向量 a=(小 sin cox, cosco x), b=( cosco x, cos cox),其中

13、w 0,記函數(shù)兀f(x)= a b,又f(x)的最小正周期為 兀.(1)求3； 當(dāng)0vxwq時(shí)，試求f(x)的值 3域.分析：對(duì)于向量在這兒只是起了運(yùn)算的作用，考查了向量的點(diǎn)積的概念，主要考查了三角恒等變形能力。2. 31解：(1) f (x) =V3 sin W xcosw x+ cos2wx = -sin2wx+- (1+cos2 wx)兀 1=sin(2 w x+- )+ 22兀 30, T=兀=-,3=1 .2co 兀1兀兀兀 5兀(2)由(1)，得 f (x) =sin(2x+)+ - ,0 x , .0,因此 | a+b | = 2 cos x2 -f (x) = a b- 2 兒

14、 | a+b | 即 f (x) =2(cosx 九)21 一2九2TT：xW0，T /. 0 cos x1,則當(dāng)且僅當(dāng) cos x=1時(shí)，f (x)取得最小值14九，35由已知付1一4九=一解得：九=,這與九1相矛盾.28綜上所述，二工為所求.2三、向量與幾何結(jié)合起來考查的題型：例3.如圖，在RtAABC中，已知BC=a,若長(zhǎng)為2 a的線段P Q以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問PQ與BC的夾角0取何值時(shí)BP ,CQ的值最大？并求出這個(gè)最大值。方法一：以直有項(xiàng)點(diǎn) 直角坐標(biāo)系。A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面設(shè)|AB|=c, |AC|=b，則 A (0, 0) , B (c, 0) ,

15、C (0, b)且 |PQ |=2a , | BC |二a。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),則Q(-x,-y)。BP =(x-c,y),CQ =(-x,-y-b),BC =(-c,b), PQ=(-2x,-2y)o BP CQ(x -c)(-x) y(-y -b)=_(x2 y2) cx by。PQ BC cx - by- cos日= =2 ；| PQ | | BC | a2cx - by = a cos6。BP CQ = -a2 a2 cosi o故當(dāng)cose =1,既h=0(PQ與BC方向相同)時(shí)，bp cq最大，其最大值為 0。方法二：AB1AC, AB*AC = 0 TOC o 1-5 h z 武四、崩一甌4/短B BP CQ = (AP - AB) ,(AQ - AC)=AP AQ AP AC AB AQ + AB ACA4= -a2 - AP AC AB AP= -a2 - AP (AB - AC)=-a2 1PQ BC22