2022年初二動點問題解析與專題訓練

1、初二動點問題解析1. 如圖，在直角梯形 ABCD中， AD BC，B=90 ， AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點 P 從 A 開始沿 AD邊向 D以 1cm/s 的速度運動；動點 Q從點 C開始沿 CB邊向 B以 3cm/s 的速度運動 P、Q分別從點 A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設運動時間為 ts （1）當 t 為何值時，四邊形 PQCD為平行四邊形？（2）當 t 為何值時，四邊形 PQCD為等腰梯形？（3）當 t 為何值時，四邊形 PQCD為直角梯形？分析：（1）四邊形 PQCD為平行四邊形時 PD=CQ（2）四邊形 PQCD為等腰梯形時

2、 QC-PD=2CE（3）四邊形 PQCD為直角梯形時 QC-PD=EC所有的關系式都可用含有 t 的方程來表示，即此題只要解三個方程即可解答：解：（1）四邊形 PQCD平行為四邊形PD=CQ 24-t=3t 解得： t=6 即當 t=6 時，四邊形 PQCD平行為四邊形（2） 過 D作 DEBC于 E 則四邊形 ABED為矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四邊形 PQCD為等腰梯形 QC-PD=2CE 即 3t- （24-t ）=4 解得： t=7 （s）即當 t=7 （s）時，四邊形 PQCD為等腰梯形（3）由題意知： QC-PD=EC時，四邊形 PQCD為直角梯形即 3t-

3、 （24-t ）=2 解得： t=6.5 （s）即當 t=6.5 （s）時，四邊形 PQCD為直角梯形 點評： 此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中（3） 如圖， ABC中，點 O為 AC邊上的一個動點， 過點 O作直線 MN BC，設 MN交 BCA的外角平分 線 CF于點 F，交 ACB內(nèi)角平分線 CE于 E（1）試說明 EO=FO；（2）當點 O運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；（3）若 AC邊上存在點 O，使四邊形 AECF是正方形，猜想分析：ABC的形狀并證明你的結(jié)論（1）根據(jù) CE平分 ACB，MN BC，找到相等的角，即 OEC=ECB

4、，再根據(jù)等邊對等角得 OE=OC，同理 OC=OF，可得 EO=FO（2）利用矩形的判定解答，即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答解答：解：（1） CE平分 ACB， ACE=BCE， MN BC， OEC=ECB， OEC=OCE，OE=OC，同理， OC=OF，OE=OF（2）當點 O運動到 AC中點處時，四邊形 AECF是矩形如圖 AO=CO，EO=FO，四邊形 AECF為平行四邊形， CE平分 ACB， ACE= ACB，同理， ACF= ACG， ECF=ACE+ACF= （ACB+ACG）= 180 =90 ，四邊形 AECF是矩形（3） ABC

5、是直角三角形四邊形 AECF是正方形， ACEN，故 AOM=90 ，MN BC， BCA=AOM， BCA=90 ， ABC是直角三角形點評：1），再利用結(jié)論（ 1）和矩形的判定證明 本題主要考查利用平行線的性質(zhì)“ 等角對等邊” 證明出結(jié)論（結(jié)論（ 2），再對（ 3）進行判斷解答時不僅要注意用到前一問題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一問 題提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運用1.如圖，直角梯形 ABCD中，AD BC，ABC=90 ，已知 AD=AB=3，BC=4，動點 P 從 B 點出發(fā)，沿線段 BC 向點 C作勻速運動；動點 Q從點 D出發(fā)，沿線段 DA向點 A

6、作勻速運動過 Q點垂直于 AD的射線交 AC于點 M，交 BC于點 NP、Q兩點同時出發(fā)，速度都為每秒 點同時停止運動設點 Q運動的時間為 t 秒（1）求 NC，MC的長（用 t 的代數(shù)式表示）；（2）當 t 為何值時，四邊形 PCDQ構成平行四邊形；1 個單位長度當 Q點運動到 A點，P、Q兩（3）是否存在某一時刻，使射線QN恰好將 ABC的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t 的值；若不存在，請說明理由；（4）探究： t 為何值時，PMC為等腰三角形分析：（1）依據(jù)題意易知四邊形 ABNQ是矩形 NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知， DQ就是 t ，即解；AB

7、 QN， CMN CAB， CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根據(jù)勾股定理可求 CA=5，即可表示 CM；四邊形 PCDQ構成平行四邊形就是PC=DQ，列方程 4-t=t即解；t（3）可先根據(jù) QN平分 ABC的周長，得出MN+NC=AM+BN+AB，據(jù)此來求出 t 的值然后根據(jù)得出的的值，求出MNC的面積，即可判斷出MNC的面積是否為ABC面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的 t 值（4）由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進行討論：當 MP=MC時，那么 PC=2NC，據(jù)此可求出 t 的值當 CM=CP時，可根據(jù) CM和 CP的表達式以及題設的等量關系來求出 t 的值

8、當 MP=PC時，在直角三角形 MNP中，先用 t 表示出三邊的長，然后根據(jù)勾股定理即可得出 t 的值綜上所述可得出符合條件的 t 的值解答 : 解：（1） AQ=3-tCN=4-（3-t ）=1+t 在 Rt ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AC=5 在 Rt MNC中， cosNCM= = ，CM= （2）由于四邊形 PCDQ構成平行四邊形PC=QD，即 4-t=t解得 t=2 （3）如果射線 QN將 ABC的周長平分，則有： MN+NC=AM+BN+AB 即：（1+t ）+1+t= （3+4+5）解得： t= （5 分）而 MN= NC= （1+t ）S MNC= （1+t

9、）2= （1+t ）2 當 t= 時，S MNC=（1+t ）2= 4 3 不存在某一時刻 t ，使射線 QN恰好將 ABC的面積和周長同時平分（4）當 MP=MC時（如圖 1）則有： NP=NC 即 PC=2NC4-t=2 （1+t ）解得： t= 當 CM=CP時（如圖 2）則有：（1+t ）=4-t 解得： t= 當 PM=PC時（如圖 3）則有：在 Rt MNP中， PM2=MN2+PN2 而 MN= NC= （1+t ）PN=NC-PC=（1+t ）- （4-t ）=2t-3 （1+t ）2+ （2t-3 ）2=（4-t ）2 解得： t1= ，t2=-1 （舍去）當 t= ，t=

10、，t= 時， PMC為等腰三角形點評：此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)考查學生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法2.如圖，在矩形 ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從 A，B，C，D出發(fā)沿 AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止已知在相同時間內(nèi)，若 BQ=xcm（x 0），則 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）當 x 為何值時，以 PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（ AD或 BC）的一部分為第三邊構成一個三角形；（2）當 x 為何值時，以 P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；（3）

11、以 P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求 分析：x 的值；如果不能，請說明理由以 PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（ AD或 BC）的一部分為第三邊構成一個三角形的必須條件是點 P、N重合且點 Q、M不重合，此時 AP+ND=AD 即 2x+x2=20cm，BQ+MC BC即 x+3x 20cm；或者點 Q、M重合且點P、N不重合，此時 AP+ND AD即 2x+x2 20cm，BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm所以可以根據(jù)這兩種情況來求解 x 的值以 P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的話，因為由第一問可知點 Q只能在點 M的左側(cè)當點 P在點 N的左側(cè)時， AP=M

12、C，BQ=ND；當點 P 在點 N的右側(cè)時， AN=MC，BQ=PD所以可以根據(jù)這些條件列出方程關系式如果以 P，Q，M，N 為頂點的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+ND AD即 2x+x2 20cm，BQ+MC BC即 x+3x 20cm，AP=ND即 2x=x2，BQ=MC即 x=3x，x 0這些條件不能同時滿足，所以不能成為等腰梯 形解答：解：（1）當點 P 與點 N重合或點 Q與點 M重合時，以 PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（ AD或 BC）的一部 分為第三邊可能構成一個三角形當點 P與點 N重合時，由 x2+2x=20，得 x1= -1 ，x2=- -1 （舍去）因為 BQ+CM=

13、x+3x=4-1 ） 20，此時點 Q與點 M不重合所以 x= -1 符合題意當點 Q與點 M重合時，由 x+3x=20，得 x=5此時 DN=x2=2520，不符合題意故點 Q與點 M不能重合所以所求 x 的值為-1 （2）由（ 1）知，點 Q只能在點 M的左側(cè)，當點 P在點 N的左側(cè)時，由 20- （x+3x）=20-（2x+x2），解得 x1=0（舍去），x2=2當 x=2 時四邊形 PQMN是平行四邊形當點 P在點 N的右側(cè)時，由 20- （x+3x）=（2x+x2）-20 ，解得 x1=-10（舍去），x2=4當 x=4 時四邊形 NQMP是平行四邊形所以當 x=2 或 x=4 時，

14、以 P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形E，F(xiàn)（3）過點 Q，M分別作 AD的垂線，垂足分別為點 由于 2xx，所以點 E一定在點 P的左側(cè)若以 P，Q，M，N為頂點的四邊形是等腰梯形，則點 F 一定在點 N的右側(cè)，且 PE=NF，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0（舍去），x2=4由于當 x=4 時，以 P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，所以以 P，Q，M，N為頂點的四邊形不能為等腰梯形點評：本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點3.如圖，在梯形 ABCD中，AD BC， B=90 ， AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，點 M從點 A開始，沿邊

15、 AD向點 D運動，速度為 1cm/s；點 N從點 C開始，沿邊 CB向點 B運動，速度為 2cm/s、點 M、N分別從點A、C出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為 t 秒（1）當 t 為何值時，四邊形 MNCD是平行四邊形？（2）當 t 為何值時，四邊形 MNCD是等腰梯形？分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊相等，求得 t 值；（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，下底減去上底等于 12，求解即可解答：解：（1） MD NC，當 MD=NC，即 15-t=2t ，t=5 時，四邊形 MNCD是平行四邊形；（2）作 DEBC，垂足為 E，則 CE=21-15=6，當 CN-M

16、D=12時，即 2t- （15-t ）=12，t=9 時，四邊形 MNCD是等腰梯形點評：考查了等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)，動點問題是中考的重點內(nèi)容4.如圖，在直角梯形 ABCD中， AD BC，C=90 ， BC=16，DC=12，AD=21，動點 P從點 D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒 2 個單位長的速度運動， 動點 Q從點 C出發(fā)，在線段 CB上以每秒 1 個單位長的速度向點 B運動， P、Q分別從點 D、C同時出發(fā)，當點 Q運動到點 B 時，點 P隨之停止運動，設運動時間為 t（s）（1）設 BPQ的面積為 S，求 S與 t 之間的函數(shù)關系；（2）當 t 為何值時，以 B、P、Q三點為

17、頂點的三角形是等腰三角形？分析：（1）若過點 P作 PMBC于 M，則四邊形 PDCM為矩形，得出 PM=DC=12，由 QB=16-t，可知： s= PMQB=96-6t；（2）本題應分三種情況進行討論，若 入，可將時間 t 求出；PQ=BQ，在 Rt PQM中，由 PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，將各數(shù)據(jù)代若 BP=BQ，在 Rt PMB中，由 PB2=BM2+PM2，BP=BQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時間 t 求出；若 PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時間 t 求出解答：解：（1）過點 P作 PMBC于 M，則四邊形 PDCM為矩形PM=DC=12QB=16

18、-t，s= ?QB?PM= （16-t ） 12=96-6t （0t ）（2）由圖可知， CM=PD=2t，CQ=t，若以 B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：若 PQ=BQ，在 Rt PMQ中，PQ2=t2+122，由 PQ2=BQ2得 t2+122=（16-t ）2，解得；若 BP=BQ，在 Rt PMB中，PB2=（16-2t ）2+122，由 PB2=BQ2得（16-2t ）2+122=（16-t ）2，此方程無解， BP PQ若 PB=PQ，由 PB2=PQ2得 t2+122=（16-2t ）2+122得，t2=16（不合題意，舍去）綜上所述，當或時，以 B、P、Q

19、為頂點的三角形是等腰三角形點評：本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理在解題（現(xiàn)漏解現(xiàn)象2）時，應注意分情況進行討論，防止在解題過程中出5.直線 y=- 34x+6 與坐標軸分別交于 A、B兩點，動點 P、Q同時從 O點出發(fā)，同時到達 A 點，運動停止點Q沿線段 OA運動，速度為每秒 1 個單位長度，點 P 沿路線 O? B? A 運動（1）直接寫出 A、B兩點的坐標；（2）設點 Q的運動時間為 t （秒）， OPQ的面積為 S，求出 S 與 t 之間的函數(shù)關系式；（3）當 S= 485 時，求出點 P 的坐標，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標分析：（1）分別令 y=0

20、，x=0，即可求出 A、B 的坐標；（2）因為 OA=8，OB=6，利用勾股定理可得 AB=10，進而可求出點速度是 2，從而可求出，Q由 O到 A 的時間是 8 秒，點 P 的當 P 在線段 OB上運動（或 0t 3）時， OQ=t，OP=2t，S=t2，當 P 在線段 BA上運動（或 3t 8）時，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t ，作 PDOA于點 D，由相似三角形的性質(zhì)，得 PD=48-6t5 ，利用 S= 12OQ PD，即可求出答案；（3）令 S= 485，求出 t 的值，進而求出 OD、PD，即可求出 P 的坐標，利用平行四邊形的對邊平行且相等，結(jié)合簡單的計算即可寫出

21、M的坐標解答：解：（1）y=0，x=0，求得 A（8，0）B（0，6），（2） OA=8，OB=6，AB=10點 Q由 O到 A的時間是 81=8（秒），點 P的速度是 6+108=2（單位長度 / 秒）當 P在線段 OB上運動（或 Ot 3）時，OQ=t，OP=2t，S=t2當 P在線段 BA上運動（或 3t 8）時，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t ，如圖，做 PDOA于點 D，由 PDBO=APAB，得 PD= 48-6t5 S= 12OQ?PD=- 35t2+245t（3）當 S= 485 時， 485 12 3 6點 P在 AB上 當 S= 485 時， - 35t2+24

22、5t= 485 t=4 PD= 48-6 45= 245，AD=16-2 4=8 AD= 82-(245)2= 325 OD=8- 325= 85 P（ 85 ， 245 ）M1（ 285 ， 245 ），M2（- 125 ， 245 ），M3（ 125 ，- 245 ）點評：本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理在解題（現(xiàn)漏解現(xiàn)象2）時，應注意分情況進行討論，防止在解題過程中出動點問題專題訓練1、如圖，已知ABC 中，AB AC 10 厘米，BC 8 厘米，點 D 為 AB 的中點（1）如果點 P 在線段 BC上以 3 厘米/ 秒的速度由 B 點向 C點運動，同時，點 Q 在線段 CA上由 C點向

23、A 點運動若點 Q的運動速度與點 P的運動速度相等，經(jīng)過 1 秒后，B D A Q C BPD與CQP是 否全等，請說明理由；若點 Q 的運動速度與點P 的運動速度不相等，當點QP 的運動速度為多少時， 能夠使BPD與CQP全等？的運動速度從點B 同時（2）若點 Q 以中的運動速度從點C出發(fā)，點 P 以原來出發(fā)，都逆時針沿ABC三邊運動， 求經(jīng)過多長時間點P與點 Q 第一次在ABC的哪條邊上相遇？2、直線y3x6與坐標軸分別交于A、B兩點，動點 P、Q同時從 O 點出發(fā)，同時到達A 點，運動停4止點 Q 沿線段OA運動，速度為每秒1 個單位長度，點P 沿路線 O B A 運動M 的（1）直接寫

24、出A、B兩點的坐標；（2）設點 Q的運動時間為t 秒，OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關系式；（3）當S48時，求出點P的坐標，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點5坐標y B P 3 如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y=2xO Q A x 8 分別與 x 軸， y 軸相交于 A，B 兩點，點 P（0，k）是 y 軸的負半軸上的一個動點，以 P為圓心， 3 為半徑作 P. （1）連結(jié) PA，若 PA=PB，試判斷 P 與 x 軸的位置關系，并說明理由；（2）當 k 為何值時，以 P 與直線 l 的兩個交點和圓心P 為頂點的三角形是正三角形？4 如圖 1，在平面直角坐標

25、系中，點 O 是坐標原點，四邊形 ABCO是菱形，點 A 的坐標為（ 3，4），點 C在 x 軸的正半軸上，直線 AC交 y 軸于點 M，AB邊交 y 軸于點 H（1）求直線 AC的解析式；（2）連接 BM，如圖 2，動點 P 從點 A 出發(fā)，沿折線 ABC方向以 2 個單位秒的速度向終點 C勻速運動，設PMB 的面積為 S（S 0），點 P 的運動時間為 t 秒，求 S 與 t 之間的函數(shù)關系式（要求寫出自變量 t 的取值范圍）；（3）在（ 2）的條件下，當t 為何值時， MPB 與 BCO互為余角，并求此時直線OP與直線 AC所夾銳角的正切值5 在 Rt ABC中，C=90，AC = 3，

26、AB = 5點 P 從點 C出發(fā)沿 CA以每秒 1 個單位長的速度向點 A勻速運動， 到達點 A 后立刻以原來的速度沿AC返回；點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AB 以每秒 1 個單位長的速度向點 B 勻速運動伴隨著P、Q 的運動， DE保持垂直A Q D B 平分 PQ，且交 PQ于點 D，交折線 QB-BC-CP于點 E點 P、Q 同時出發(fā)，當點 Q 到達點 B時停止運動，點P 也隨之停止設點P、Q 運動的時間E 是 t 秒（ t0）（1）當 t = 2 時，AP = ，點 Q 到 AC的距離是；（2）在點 P從 C向 A 運動的過程中， 求 APQ的面積 S與t 的函數(shù)關系式；（不必寫出 t

27、的取值范圍）（3）在點 E從 B 向 C運動的過程中，四邊形 QBEDC 能否成為直角梯形？若能，求t 的值若不能，請說明理由；（4）當 DE經(jīng)過點 C 時，請直接寫出 t 的值P 圖 16 l 6 如 圖 ， 在 RtABC 中 ，A C B 9 0，B 6 0 ，E C BC 2 點 O 是O AC 的中點，過點 O 的直線 l 從與 AC 重合的位置開始，繞點O作逆時針旋A D B 轉(zhuǎn)，交AB邊于點D過點C作CEAB 交直線l于點E，設直線l的旋轉(zhuǎn)角為C O （1）當 度時，四邊形EDBC是等腰梯形，此 時 AD 的 長為；A （備用圖）B 當 度時，四邊形 EDBC 是直角梯 形，此時

28、 AD 的長為；（2）當 90 時，判斷四邊形 EDBC 是否為菱形，并說明理由7 如圖，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD 3，DC 5，AB 4 2，B 45動點 M 從 B 點出發(fā)沿線段BC以每秒 2 個單位長度的速度向終點C 運動；動點A D N 同 時 從 C 點 出發(fā)沿線段CD以每秒 1 個單位長度的速度向終點D 運動設運動的時間 N C 為 t 秒（1）求BC的長B M （2）當MNAB時，求t的值E 作 EFBC交CD于點（3）試探究： t 為何值時，MNC為等腰三角形8 如圖1，在等腰梯形ABCD 中， ADBC，E是AB的中點，過點F AB4，BC6，B60.（1）求點E

29、到BC的距離；（2）點P為線段EF上的一個動點， 過 P 作 PMEF 交 BC 于點 M ，過 M 作 MNAB交折線ADC于點N，連結(jié)PN，設EPx . PMN的周長；若當點N在線段AD上時（如圖 2），PMN的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出改變，請說明理由；當點N在線段DC上時（如圖 3），是否存在點P，使PMN 為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的 x 的值；若不存在，請說明理由 . A D A N D A D N E F E P F E P F B C B C B C M M 圖 1 圖 2 圖 3 A D （第 25 題）A D E F E F B C B C 圖 4（備用）

30、圖 5（備用）9 如圖，正方形 ABCD中，點 A、B的坐標分別為（ 0，10），（8，4），點 C在第一象限動點 P 在正方形 ABCD的邊上，從點 A出發(fā)沿 ABCD勻速運動，同時動點 Q以相同速度在 x 軸正半軸上運動，當P 點到達 D點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為 t 秒(1) 當 P 點在邊 AB上運動時，點 Q的橫坐標x（長度單位）關于運動時間t （秒）的函數(shù)圖象如圖所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P 運動速度；(2) 求正方形邊長及頂點C的坐標；(3) 在（1）中當 t 為何值時，OPQ的面積最大，并求此時P點的坐標；(4) 如果點P、Q保持原速度不變，當點P 沿 A

31、BCD勻速運動時， OP與 PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件的t 的值；若不能，請說明理由1 數(shù)學課上，張老師出示了問題：如圖 1，四邊形 ABCD是正方形，點 E 是邊 BC的中點AEF90且 EF交正方形外角 DCG 的平行線 CF于點 F，求證： AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB 的中點 M ，連接 ME，則 AM=EC，易證AMEECF，所以AE EF 在此基礎上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖 2，如果把“ 點 E是邊 BC的中點” 改為“ 點 E是邊 BC上（除 B，C外）的任意一點” ，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF” 仍然成立，你

32、認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖 3，點 E 是 BC的延長線上（除 C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“ AE=EF”仍然成立你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由A D A D F 90A 圖 3 D G F F B E C B C E B E C G G 圖 1 圖 2 11 已知一個直角三角形紙片OAB ，其中AOB，OA2，OB4如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB 交于點 C ，與邊 AB 交于點 D （）若折疊后使點 B 與點 A 重合，求點 C 的坐標；B （

33、）若折疊后點O A x y ，試寫出 y 關于 x 的函數(shù)解析式，B 落在邊 OA 上的點為 B ，設 OBx ， OC并確定y的取值范圍；y B （）若折疊后點B 落在邊 OA 上的點為 B ，且使 B DOB，求此時點C的坐標y B 12 問題解決O A x A M F D 上一點E（不與點如圖（ 1），將正方形紙片ABCD 折疊，使點 B 落在 CD 邊C ， D 重合），壓平后得到折痕MN 當CE1時，求B N 圖（ 1）E AM BN的值C CD2類比歸納若在圖（ 1）中，若CE CD1，則AM BN的值等于；若CE1，則AM BN的值等于；3CD4CE CD1 n（ n 為整數(shù)），

34、則AM BN的值等于（用含 n 的式子表示）聯(lián)系拓廣如圖（ 2），將矩形紙片ABCD 折疊，使點 B 落在 CD 邊上一點 E （不與點 C，D重合），壓平后得到折痕MN ，設AB1m1CE，CD1 n，則AM BN的值等于（用含 m，n的式子表示）BCm1 解：（1）t1秒，BPCQ3 13厘米，AB 10 厘米，點 D 為 AB 的中點，BD 5 厘米又PC BC BP，BC 8 厘米，PC 8 3 5 厘米，PC BD 又AB AC ，B C ，BPDCQPv P v ， BP CQ ，又BPDCQP，B C ，則 BP PC 4，CQ BD 5，點 P ，點 Q 運動的時間 t BP

35、4秒，3 3v Q CQt 54 154 厘米 / 秒3（ 2）設經(jīng)過 x 秒后點P與點 Q 第一次相遇，由題意，得 15 x 3 x 2 10，4解得 x 80 秒點 P共運動了 80 3 80 厘米80 2 28 24 ，點 P 、點 Q 在 AB 邊上相遇， 經(jīng)過803 3 3秒點P與點 Q 第一次在邊 AB 上相遇2 解（ 1）A（8，0） B（0，6）（2）OA 8，OB 6 AB 10點 Q 由 O 到 A 的時間是8 18（秒）點P的速度是6102（單位 / 秒）2t, 8當 P 在線段 OB 上運動（或0t3）時，OQt，OP2tSt2當 P 在線段 BA 上運動（或3t 8）

36、時，OQt，AP6102t16如圖，作PDOA 于點 D ，由PD BOAP，得PD4856t，ABS1OQPD3t224t25524（ 3）P8，245I18 24，5 5，M212，245，M312，55553 解：（1） P 與 x 軸相切 .直線 y=2x8 與 x 軸交于 A（4，0），與 y 軸交于 B（0， 8），OA=4，OB=8. 由題意， OP=k，PB=PA=8+k.在 Rt AOP 中， k 2+4 2=(8+k) 2， k=3， OP 等于 P 的半徑， P 與 x 軸相切 .（ 2）設 P 與直線 l 交于 C，D 兩點，連結(jié)PC，PD當圓心 P在線段OB 上時 ,

37、作 PECD 于 E.PO PCD為正三角形，DE= 1 2CD= 3 2，PD=3，PE=3 3. AOB=PEB=90， ABO=PBE， AOB PEB，23 3AOPE,即4=2，PB3 15 , 2ABPB4 5PBBOPB83 15，2P(0,3 158)，k3 158.22當圓心 P 在線段 OB 延長線上時 ,同理可得 P(0,3 15 28)，k=3 15 28，當 k= 3 15 28 或 k=3 15 28 時，以 P 與直線 l 的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形 .NGCDBC同理，四邊形ABNG 也是平行四邊形AGBN5 4MNBE，EBCBNM90EBCM

38、NGNGBC，MNGBNM90，在BCE 與NGM 中EBC MNG，BC NG，BCENGM，EC MG分C NGM 90AM AG MG，AM = 51 16 分4 4AM 17 分BN 5類比歸納2（或4 10）；9 17；n1210 分2 n15聯(lián)系拓廣2 n m222 n112 分2 n m1解：（1）1，8 5； （2）作 QFAC于點 F，如圖 3， AQ = CP= t，AP3t t )B 4t ，由 AQF ABC，BC2 52 34， 得QFt 5QF4t S1 2(3455即S2t26t 55E （ 3）能當 DE QB 時，如圖 4Q D DEPQ， PQQB，四邊形

39、QBED是直角梯形此時 AQP=90由 APQ ABC，得AQ ACAP，A Q 圖 5 B AB即t35t 解得t938E 如圖 5，當 PQ BC時， DEBC，四邊形 QBED是直角梯形此時 APQ =90由 AQP ABC，得AQAP AC，D P C AB即t33t 解得t1558Q B （ 4）t5或t45214點 P 由 C向 A 運動， DE經(jīng)過點 CG 連接 QC，作 QGBC于點 G，如圖 6PC t ，QC 2 QG 2 CG 2 5 3 (5 t ) 24 45 (5 t ) 2A P D C(E) 由 PC 2 QC 2，得 t 2 3(5 t ) 24 4(5 t

40、) 2，解得 t 5圖 6 B 5 5 2點 P 由 A 向 C運動， DE經(jīng)過點 C，如圖 7Q G (6 t ) 2 3(5 t ) 24 4(5 t ) 2，t 45】5 5 14 D C(E) 解（ 1） 30，1； 60，1.5 ；A P 圖 7 （2）當 =90 0 時，四邊形 EDBC是菱形 . = ACB=90 0， BC/ ED. CE/ AB, 四邊形 EDBC是平行四邊形 . 在 Rt ABC中， ACB=90 0， B=60 0, BC=2, A=30 0. AB=4, AC=2 3 . AO=1 AC = 3 . A D 2在 Rt AOD中， A=30 0， AD=

41、2. BD=2. BD=BC. 又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形B M D N DHBC 于H，則C 7 解：（ 1）如圖，過A 、 D 分別作AKBC 于 K ，四邊形ADHK是矩形4KHAD3在 RtABK中，AKABsin 452 4 22BKABcos4542242在 RtCDH中，由勾股定理得，HC2 52 43BCBKKHHC43310A D A N B K H C B G M C （2）如圖，過D 作 DGAB交 BC 于 G 點，則四邊形ADGB 是平行四邊形 MNAB MNDGBGAD3GC1037由題意知，當M 、 N 運動到 t 秒時，CNt，CM102

42、tDGMNNMCDGC又CCMNCGDCCN CDCM CG即t1072t解得，t50517（3）分三種情況討論：當NCMC 時，如圖，即t102t t10M D C 3A D A B M N N H E C B 當 MN（圖）（圖）NC 時，如圖，過N 作 NEMC 于 E解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得ECECt1MC1 10 22 t5tcCH32在RtCEN中，cos c5t又在RtDHC中，cosNCCD55tt3解得t2558解法二：CC，DHCNEC90NECDHCNC DCECtHC即t53tt25M 作 MFCN 于 F 點.FC1NC158當MNMC 時，如圖，過22解法

43、一：（方法同中解法一）1cos C FC 2 t 3 解得 t 60 A D MC 10 2 t 5 17解法二：N CC，MFC DHC 90 F B C H M MFCDHCFC MC（圖）HC DC即 12 t 10 2 tt 603 5 1710 25 60綜上所述，當 t、t 或 t 時，MNC 為等腰三角形3 8 178 解（ 1）如圖 1，過點E作EG BC 于點G1 分 E 為 AB 的中點，BE 1AB 2A D 2E F 在RtEBG 中，B 60，BEG 30BG 1BE 1，EG 2 21 23B G C 2 圖 1 即點 E 到 BC 的距離為 3（2）當點 N 在線

44、段 AD 上運動時，PMN 的形狀不發(fā)生改變PM EF，EG EF， PMEGEFBC， EP GM ，PM EG 3同理 MN AB 4如圖 2，過點 P 作 PH MN 于 H ， MNAB，NMCB 60，PMH 30PH 1PM A 3N D 2 2E P F MH PM cos30 3H 2B G M C 3 5 圖 2 則 NH MN MH 42 22 2在RtPNH 中，PN NH 2PH 2 5 3 72 2PMN 的周長 = PM PN MN 3 7 4當點 N 在線段 DC 上運動時，PMN 的形狀發(fā)生改變，但MNC 恒為等邊三角形當 PM PN 時，如圖 3，作PRMN

45、于 R ，則 MRNRD 當 MPMN 時，類似，MR3MN2MR32MNC是等邊三角形，MCMN3此時，xEPGMBCBGMC61 32A D A D A F（P）E P N E P F E F R N N B G M C B G 圖 4 M C B G 圖 5 M C 圖 3 如圖 4，這時MCMNMP3此時，xEPGM6 1353當 NPNM 時，如圖 5，NPMPMN30則PMN120，又MNC60，PNMMNC180因此點P與F重合，PMC為直角三角形MCPMtan301此時，xEPGM61 14綜上所述，當x2或 4 或 53 時，PMN為等腰三角形解：（1） Q （ 1，0）點 P 運動速度每秒鐘1 個單位長度（ 2） 過點B作 BFy 軸于點F，BE x 軸于點E，則BF8，OFBE4AF10468262103 分yD在 Rt AFB中，ABC過點 C 作 CG x 軸于點 G ，與 FB 的延長線交于點H ABC90 ,ABBC ABF BCHAPHMBHAF6