高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備精品直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、20092010學(xué)年度高三數(shù)學(xué)(人教版A版)第一輪復(fù)習(xí)資料第34講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.【課標(biāo)要求】.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想；.掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題o.【命題走向】近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、 填空也有涉及，有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會涉及線段中點、弦長等。分析 這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對稱的方法及韋達定理等。預(yù)測2010年高考：.會出現(xiàn)1道關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解答題；.與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標(biāo)軸平移或

2、平移 化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn) 三.【要點精講】.點M(x0, y0)與圓錐曲線C: f(x, y)=0的位置關(guān)系曲線條件結(jié)論幅圓22呷川=遍當(dāng)+卷=1點在曲線上|峭怖啊I2a各+各18.u點在曲線外1岬田呷幼竽帝1點在曲線內(nèi)雙 曲 螳2J|四卜|明|二* 務(wù)一的廠=1點在曲線上g卜隨|2雙卑書1點在曲線外阿卜網(wǎng)|方斗箓1點在曲線內(nèi)搪物線|MF|=d 媼=2 /點在曲線上|MF| d 端2時點在曲線外|MF| d 才0o 相交.(2心b0)，由 Fi(0, 750)得, a2 b2 =50 b2把直線方程y =3x 2代入橢圓方程整理得：(a2 +9b2)x2 _12b2

3、x+b2 (4 a2) = 0。X x2一, / Bi 26b2_ 1a2 9b2 - 2設(shè)弦的兩個端點為 A(xi, y) B(x2，y2),則由根與系數(shù)的關(guān)系得:12b2xi +x2 =2,又AB的中點橫坐標(biāo)為a 9b，a2=3b2,與方程 a2b2=50 聯(lián)立可解出 a2=75,b2=2522故所求橢圓的方程為：x_ +匕 =1。75 25點評：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式，求出中點的橫坐標(biāo)，再由F1 (0, 屈)知，c=J50，,a2 -b2 =50 ,最后解關(guān)于a、b的方程組即可。例3. (2009北京理)點P在直線l:y=x-1上

4、，若存在過P的直線交拋物線 丫 = 乂2于慶2兩點，且| P A=| A B|,則稱點P為“ 點”，那么下列結(jié)論中正確的是 ( )A.直線l上的所有點都是“點”B.直線l上僅有有限個點是“ 點”C.直線l上的所有點都不是“ “山點”D.直線l上有無窮多個點(點不是所有的點)是“點”【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖，設(shè) A(m,n ), P(x, x-1 ),則 B (2m -x,2n -x -2 ), A, B在y = x2上，n = m222n -x 1 = (2 m - x)22消去

5、n,整理得關(guān)于x的萬程x _(4m-1)x+2m 1=0(1)- A=(4m1)2 -4(2m2 1)=8m2 8m+5 a0恒成立，方程(1)恒有實數(shù)解，應(yīng)選 A.【答案】A例4.已知橢圓C的焦點分別為F1 ( - 22 , 0)和F2 (2*5, 0),長軸長為6,設(shè)直 線y=x+2交橢圓C于A、B兩點，求線段 AB的中點坐標(biāo)。22解析：設(shè)橢圓C的方程為 +義7=1 ,2. 2a b由題意a=3, c=2 0,所以直線與橢圓有兩個不同的交點,設(shè) A (x1，y1)，B (x2, y2), TOC o 1-5 h z ,18則 Xi + x2=, 一 9 1故線段AB的中點坐標(biāo)為(，一).5

6、 5點評：本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點坐標(biāo)公式。題型2:直線與雙曲線的位置關(guān)系_22例5. (1)過點P(b,5)與雙曲線L-L=1有且只有一個公共點的直線有725幾條，分別求出它們的方程。(2)直線y = kx+1與雙曲線3x2y2=1相交于A、B兩點，當(dāng)a為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當(dāng) a為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？解析：(1)解：若直線的斜率不存在時，則x = /,此時僅有一個 交點(/0),滿足條件；若直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為y-5 = k(x-77)則x2 (kx 5 k 7)27 一 2525x2-7(kx 5-k ,7)

7、2 = 7 25,(25 -7k2)x2 -7 2kx(5-k .7) (5 -kJ)2 -7 25 = 0,當(dāng)k，57時，方程無解，不滿足條件；7當(dāng)k=-50時，2M5/xm10 = 75方程有一解，滿足條件；725 人-99- 9當(dāng) k2 #了時，令 A=14k(5-kV7)2 -4(25-7k2)(5 -kx/7)2 -165 = 0 ,化簡得：k無解，所以不滿足條件；所以滿足條件的直線有兩條 x =和y =近 x +10。7(2)把 y =kx+1 代入 3x2 -y2 =1 整理得:(3-a2)x2 -2ax-2 = 0(1)當(dāng) a#M3 時，A=244a2。由 0得-J6aG；6且

8、a # J3時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點。2右A、B在雙曲線的同一支，須 xx2=F0 ,所以21一。3或2%3。a -3故當(dāng)J6，；ar/3或03aJ6時，A B兩點在同一支上；當(dāng) J3GJ3時，A B兩點在雙曲線的兩支上。點評：與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交 于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條例5. (1)求直線y*1被雙曲線x2孑二1截得的弦長;2(2)求過定點(0,1)的直線被雙曲線x2- = 1截得的弦中點軌跡方 44. 2 ,一 2(*解析：由ly = x+1 得 4x -(x+1) -4 = 0 得 3x2 -2x

9、-5 = 0、x1 - x2 =2?憶一得,設(shè)方程(*)的解為x1，x2,則有 33 TOC o 1-5 h z d = 2|x1 -x2 卜 J2 （% x2）2 -4x1x2 = 2 4 20 = 8,2 v1 9 33（2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設(shè)直 線的方程為y=kx+1,它被雙曲線截得的弦為AB對應(yīng)的中點為P（x，y）, y = kx 1x2.j122*)由1 4得(4-k2)x22kx 5 = 0 HYPERLINK l bookmark117 o Current Document 22、設(shè)方程(*)的解為 xi，x2,則 A=4k +2(4-k)0. 1

10、6k2 ： 80，|k|一.5 )54 -k22kX 2 = ，*2且4-k21 ,、X = 一 (X1 x2)二22，4 -k1 ,、1 ,、,y 二二(乂y2)=二( =2) 1 =2244 -k2_ kx 24-k24y =-T-24-k22得 4x -y +y =0（y0）。方法二：設(shè)弦的兩個端點坐標(biāo)為A（x，y1），B（x2，y2）,弦中點為p（x，y）, 則224x1 -y1 二4224x2 - y2=4 得：4(x1 +x2)(x1 一 乂2)=(必 + 丫2)( y?),4(x1 -xz)x1的一部分）X24xy-1 ,.22即4x -y +y = 0 (圖象點評：（1）弦長公

11、式|AB|二1+k2 |x1 -x21=1| y1 一丫21 ； （2）有關(guān)中點弦問題的兩種處理方法。例7.過雙曲線的一焦點的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離 心率的范圍。2 x解析：設(shè)雙曲線的方程為 x,aa 的直線方程為 y=-一（xc）,則b一一T =1(a 0，b 0) , F (c,0),漸近線 y = x ,則過 Fba2 22 22 2b x -a y -a b =0ay = - (x -c)b代人得(b4-a4)x2 2a4cx-a4c -a2b4 = 0,U-： 044i 即得 b4a4, x1x2 0b a ,即得到 eV2o點評：直線與圓錐曲線的位置

12、關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對應(yīng)關(guān)系，取值范 圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系題型3:直線與拋物線的位置關(guān)系例8.已知拋物線方程為y2 = 2 p(x +1)( p a 0),直線l : x + y = m過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為 3,求p的值。解析：設(shè)l與拋物線交于A(x1,y1), B(x,y2),則|AB|=3. TOC o 1-5 h z 由距離公式 |AB|= *xi x2)2 +(3 一丫2)2 = ji +二_ | y1 _y2 |=J21 y1 -y21,則有(y1 _y2)2 =-. ,k22p由 J、+y 2,消去 x,彳#y2 +2py - p2 =0.y

13、2 =2p(x 1). 222-(2p) 4p . 0. y1 y2 - -2p, yy2 - -p .從而(y1 _y2)2 =(y1 +丫2)2 4y1y2,即(-2 p)2 +4P2 =2.由于 p0，解得 p =-.24點評：方程組有兩組不同實數(shù)解或一組實數(shù)解則相交；有兩組相同實數(shù)解則相切；無實 數(shù)解則相離。例9. 2003上海春，4)直線y=x 1被拋物線y2=4x截得線段的中點坐標(biāo)是 .答案：(3, 2)解法一：設(shè)直線y=x1與拋物線y2=4x交于A(x1，y1),B (地, y?)淇中點為P (%, y0)。,口工/日 ” =x1, 八 22 c 由題思得,2, ( x1) =4

14、x, x 6x+1=0。y =4x x02)。x2=3.y0=x0 1=2. . . P (3,2解法二：y22=4x2, y12=4x1, y22y12=4x24x1,(y21Vl)(y2yJ=4.y+y2=4,即 y0=2 , x0=y0+1=3。x2 一 x1故中點為P (3, 2)。點評：本題考查曲線的交點與方程的根的關(guān)系.同時應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法。例10. (2009山東卷文)設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2 = ax (a#0)的焦點F,且和y軸交于 TOC o 1-5 h z 點A,若 OAF (O為坐標(biāo)原點)的面積為4,則拋物線方程為(). HYPERL

15、INK l bookmark129 o Current Document 2222A. y = 4x B. y = 8x C. y = 4x D. y = 8x【解析】拋物線y2 =ax (a=0)的焦點F坐標(biāo)為(a ,0)，則直線l的方程為y = 2(x a), HYPERLINK l bookmark123 o Current Document 44 HYPERLINK l bookmark127 o Current Document a、1 aa一它與y軸的父點為A (0,)，所以 OAF的面積為一| | 1 一 |= 4，解得a = 8 .所以拋物線方22 42程為y2 =8x,故選B

16、.【答案】B【命題立意】：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)以及直線的點斜式方程和三角形面積 的計算.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，其中還隱含著分類討論的思想，因參數(shù)a的符號不定而引發(fā) 的拋物線開口方向的不定以及焦點位置的相應(yīng)變化有兩種情況，這里加絕對值號可以做到合二為一.例11. ( 2009全國卷n文)已知直線 y =k(x+2)(k 0)與拋物線C：y2=8x相交a、B兩 TOC o 1-5 h z 點，F(xiàn)為C的焦點。若,FA=2FBk=()222.2A. -B .C .-D . 【解析】本題考查拋物線的第二定義，由直線方程知直線過定點即拋物線焦點(2, 0),由一,. 272FA =2 FB及第二定義知Xa +2 =2(Xb +2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求k=.3【答案】D五.【思維總結(jié)】.加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí)由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì) 和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想來 設(shè)。而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決。這樣就加強了對數(shù)學(xué)各種能力的考查；.關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個參數(shù)表示 動點的坐標(biāo)x、y,間接把它們聯(lián)系起來，減少變量、未知量采用參數(shù)法。