選修21空間向量復(fù)習(xí)課課件

1、空間向量的復(fù)習(xí)第1頁，共16頁。空間向量與立體幾何求空間距離求空間角立體幾何中的向量方法空間向量的坐標運算共線向量定理空間向量的數(shù)量積運算空間向量的加減運算共面向量定理空間向量的數(shù)乘運算空間向量及其運算空間向量基本定理用空間向量證明平行與垂直問題直線的方向向量與平面的法向量向量夾角與距離平行與垂直的條件知識網(wǎng)絡(luò)第2頁，共16頁。知識歸納1.空間向量的概念及其運算與平面向量類似,向量加減法的平行四邊形法則,三角形法則以及相關(guān)的運算律仍然成立.空間向量的數(shù)量積運算共線向量定理、共面向量定理都是平面向量在課件中的推廣,空間向量基本定理則是由二維到三維的推廣. 是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一,這是運用空間向量研

2、究線線、線面、面面垂直的關(guān)鍵,通常可以與向量的運算法則、有關(guān)運算律聯(lián)系來解決垂直的論證問題.公式 是應(yīng)用空間向量求空間中各種角的基礎(chǔ),用這個公式可以求兩異面直線所成的角,再結(jié)合平面的法向量,可以求直線與平面所成的角和二面角等.第3頁，共16頁。4.直線的方向向量與平面的法向量是用來描述空間中直線和平面的相對位置的重要概念,通過研究方向向量與法向量之間的關(guān)系,可以來確定直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系以及有關(guān)的計算問題.5.用空間向量判斷課件中的位置關(guān)系的常用方法.(1)線線平行:證兩直線的方向向量是共線向量.(2)線線垂直:證兩直線的方向向量垂直,即(3)線面垂直:證直線的方向向量

3、與平面的法向量垂直;證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量共線;利用共面向量定理,即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量來線性變式直線的方向向量.第4頁，共16頁。(4)線面垂直:證直線的方向向量與平面的法向量平行;利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.(5)面面平行:證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量);轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.(6)面面垂直:證明兩個平面的法向量互相垂直;轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題.6.運用空間向量求空間角.(1)求異面直線所成的角: 注意兩異面直線所成的角的范圍(2)求線面角:求直線與平面所成角時,一種方法是先求出直線及射影直線的方向向量,通過數(shù)量積求出直線

4、與平面所成角;另一種方法是借助平面的法向量,先求出直線方向向量與平面法向量的夾角 ,即可求出直線與平面所成的角 ,其關(guān)系是第5頁，共16頁。(3)求二面角:用向量法求二面角也有兩種方法:一種方法市利用平面角的定義,在兩個面內(nèi)先求出與棱垂直的兩條直線對應(yīng)的方向向量,然后求出這兩個方向向量的夾角,由此求出二面角的大小;另一種方法市轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個面的法向量的夾角,它與二面角的大小相等或互補.第6頁，共16頁。例1 已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,ABDC，DAB=90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC= ，AB=1，M是PB的中點 （）證明：面PAD面PCD；（）求AC與PB所成的

5、角；（）求面AMC與面BMC所成二面角的余弦.證明：以A為坐標原點,AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為典例解析（）證明：因由題設(shè)知ADDC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC面PAD 又DC在面PCD上，故面PAD面PCD 第7頁，共16頁。（）解：因（）解：在MC上取一點N(x,y,z)，則存在 使 要使可知當(dāng) 時,N點坐標為 能使 此時 為所求二面角的平面角 第8頁，共16頁。VDCBAxzy例2 如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD底面 ABCD （）證明：AB平面VAD； （）求面VAD與面DB所成的

6、二面角的余弦值. ， 證明： 以D為坐標原點，建立如圖所示的坐標系 （）證明：不妨設(shè)A(1,0,0)，則B(1,1,0)， ， 由 得ABVA，又ABAD，因而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA，AD都垂直 AB平面VAD 第9頁，共16頁。VDCBAxzy（）解：設(shè)E為DV中點，則，由因此，AEB是所求二面角的平面角，解得所求二面角的余弦值為第10頁，共16頁。PDCABzyx例3 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2， E為PD的中點 （）求直線AC與PB所成角的余弦值；（）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE面PAC，解：（）建立

7、如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)、B( ,0,0)、C( ,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0, ,0)，從而設(shè) 的夾角為 ，則與所成角的余弦值為 第11頁，共16頁。PDCABzyx（）由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標為(x,0,z)， ，由NE面PAC可得， 即N點的坐標為 ，從而N點到AB和AP的距離分別為第12頁，共16頁。例4 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中, AD=AA1=1，AB=2,點E在棱AB上移動 （1）證明：D1EA1D；（2）當(dāng)E為AB的中點時，求點E到ACD1面的距離；（3）AE等于何值時，二面角D1-BC-D的大小為 解：以D為坐標原點，直線DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)AE=x，則A1(1,0,1) 、D1(0,0,1) 、E(1,x,0) 、A(1,0,0) 、C(0,2,0)（1）第13頁，共16頁。（2）因為E為AB的中點，則E(1,1,0)，從而 ，設(shè)平面的法向為 ，則 也即 ，得 ，從而所以點到平面的距離為第14頁，共16頁。（3）設(shè)平面D1EC的法向量 ，由 令，依題意 （不合，舍去）， 時，二面角D1-EC-D的大小為 第15頁，共16頁。 由于空間向量兼具“坐標” 、 “幾何”兩種形式,使得空間向量及其平行垂直的充要條件都有坐標形式和幾