拋物線的簡單幾何性質(zhì)綜合

1、一、溫故知新(一) 圓錐曲線的統(tǒng)一定義 平面內(nèi)，到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)e1時(shí)，是雙曲線 .當(dāng)0e0)(2)開口向左y2 = -2px (p0)(3)開口向上x2 = 2py (p0)(4)開口向下x2 = -2py (p0)MFle=1 在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn),直線l 叫拋物線的準(zhǔn)線|MF|=dd 為 M 到 l 的距離準(zhǔn)線焦點(diǎn)d即:拋物線的定義：標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：1拋物線x24y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)

2、A與拋物線焦點(diǎn)的距離為()A2 B3C4 D5解析：點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離就是點(diǎn)A與拋物線準(zhǔn)線的距離，即4(1)5.答案：D答案：BP(x,y)一、拋物線的幾何性質(zhì)拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，y也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。1、范圍由拋物線y2 =2px（p0）而所以拋物線的范圍為關(guān)于x軸對稱 由于點(diǎn) 也滿足 ，故拋物線(p0)關(guān)于x軸對稱.y2 = 2pxy2 = 2px2、對稱性P(x,y)定義：拋物線和它的軸的交點(diǎn)稱為拋物線的頂點(diǎn)。P(x,y)由y2 = 2px （p0）當(dāng)y=0時(shí),x=0, 因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有

3、兩個(gè)頂點(diǎn)不同。、頂點(diǎn)離心率4、P(x,y) 拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。 由定義知， 拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為e=1.5、開口方向P(x,y)拋物線y2 =2px（p0）的開口方向向右。+X，x軸正半軸，向右-X，x軸負(fù)半軸，向左+y，y軸正半軸，向上-y，y軸負(fù)半軸，向下特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無限延伸,但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對拋物線開口的影響.P(x,y)P越大開口越大方程圖

4、形準(zhǔn)線焦點(diǎn)對稱軸x軸x軸y軸y軸xFOylxFOylxFOylxFOyl練習(xí)：填空（頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上） 方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線開口方向開口向右開口向左開口向上開口向下（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖 形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸y軸1xyOFABy2=2px2p過焦點(diǎn)而垂直于對稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p通徑5、2p越

5、大，拋物線張口越大.P越大,開口越開闊 1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長是 . 2、一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，都在拋物線 上，其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積為 。課堂練習(xí)：連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。|PF|=x0+p/2焦半徑公式：焦半徑6、xyOFPx0p/2焦半徑及焦半徑公式拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離P(x0，y0)在y2=2px上， P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,歸納: (1)、拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限

6、延伸，但沒有漸近線； (2)、拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心; (3)、拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線； (4)、拋物線的離心率e是確定的為, 、拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大.因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（，），解:所以設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：例3：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)M（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.三、典例精析作圖：(1)列表（在第一象限內(nèi)列表）x01234y(2)描點(diǎn)：(3)連線：11xyO課堂練習(xí)：求適合下列條件的拋物線的方程：（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F為（0，5

7、）;（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對稱,并且經(jīng)過點(diǎn)M(5,-4).求滿足下列條件的拋物線的方程（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是（0，4）（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線是x4（3）焦點(diǎn)是F（0，5），準(zhǔn)線是y5（4）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)A（2，4）練習(xí)（三）、例題講解：練習(xí)：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)M（4,)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A（三）、例題講解：練習(xí)2：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是X軸，點(diǎn)M（-5, )到焦點(diǎn)距離為6,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A探照燈、汽車前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面：拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置上，通過鏡面反射

8、就變成了平行光束，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)計(jì)原理。平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)。例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。xyO(40,30)解:所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反射鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合, x軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px由條件可得A (40,30),代入方程得:302=2p40解之: p=故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: y2= x,焦點(diǎn)為( ,0)只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩

9、個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)24l例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米. 水下降1米后，水面寬多少？xoAy若在水面上有一寬為2米,高為1.6米的船只，能否安全通過拱橋？思考題2BA（2,2）x2=2yB（1，y）y=0.5B到水面的距離為1.5米不能安全通過y=3代入得例題3 （1）已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線 的焦點(diǎn)的距離是5，則P = 。 （2）拋物線 的弦AB垂直x軸，若|AB|= ， 則焦點(diǎn)到AB的距離為 。 42（3）已知直線x-y=2與拋物線 交于A、B兩 點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是 。 四、課堂練習(xí)34B有困難，找準(zhǔn)線！35已知點(diǎn)P在拋物線y24x上，

10、那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_ 有困難，找準(zhǔn)線！有困難，找準(zhǔn)線！6、已知Q(4,0)，P為拋物線 上任一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為( ) A. B. C. D.C4、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上.(2)焦點(diǎn)在軸x上且截直線2x-y+1=0所得的弦長為解析：y24x，2p4，p2.由拋物線定義知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.故選A.答案：A【變式訓(xùn)練】直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為( )（A）1 （B）1或3（C）0 （D）1或0【解析

11、】選D.由 得ky28y160，若k0，則y2，若k0，則0，即6464k0,解得k1，此時(shí)直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上,k0或k1.D題后感悟求拋物線焦點(diǎn)弦長的一般方法用直線方程和拋物線方程列方程組；消元化為一元二次方程后，應(yīng)用韋達(dá)定理，求根與系數(shù)的關(guān)系式，而不要求出根；若弦過焦點(diǎn)，則據(jù)定義轉(zhuǎn)化為x1x2|AB|p或y1y2|AB|p.結(jié)合中的結(jié)果可求解；3.過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，求AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離 五、歸納總結(jié)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；拋物線只有一

12、條對稱軸,沒有對稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于；拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；拋物線的通徑為2P, 2p越大，拋物線的張口越大.1、范圍：2、對稱性：3、頂點(diǎn)：4、離心率：5、通徑：6、光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，通過拋物線反射就變成了平行光束.2.焦半徑與焦點(diǎn)弦拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)F的連線的線段叫做焦半徑，過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交所得弦叫做焦點(diǎn)弦，設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P(x0，y0)，焦點(diǎn)弦端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則四種標(biāo)準(zhǔn)形式下的焦點(diǎn)弦，焦半徑公式為試試看!x1x2p px1x2 y1y2p py1y2 判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序：把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對稱軸平行相交（一個(gè)交點(diǎn)） 計(jì) 算 判 別 式0=00，X20，2p0,X1=x2. 由此可得|y1|=|y2|,，即線段AB關(guān)于x軸對稱。因?yàn)閤軸垂直于AB，且 ，所以 答案：C3頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且通徑長為6的拋物線方程是_答案：y26x4設(shè)拋物線y2mx的準(zhǔn)線與直線x1的距離為3，求拋物線方