河流水質(zhì)縱向彌散系數(shù)的頻域反演

1、河流水質(zhì)縱向彌散系數(shù)的頻域反演李蘭(武漢水利電力大學(xué))摘 要 本文考慮水質(zhì)參數(shù)隨空間變化的特點(diǎn)，建立了河流水質(zhì)縱向彌散系 數(shù)反演模型，給出頻域反演計(jì)算模式.為了檢驗(yàn)計(jì)算精度，推導(dǎo)出時(shí)域數(shù)據(jù)的頻 域轉(zhuǎn)換公式，最后給出計(jì)算實(shí)例.本文提出的參數(shù)反問(wèn)顆模型和分布參數(shù)辨識(shí)方 法不僅適用于河流，也適用于水庫(kù)和湖泊的分布參數(shù)辨識(shí).關(guān)鍵詞 水質(zhì)模擬，分布參數(shù)，彌散系數(shù)，頻域反演.1縱向彌散系數(shù)的頻域反演模型污染物質(zhì)在水體中的輸移、轉(zhuǎn)化、累積過(guò)程，可采用偏微分方程來(lái)描述，對(duì) 于均勻混合的河流，常采用一維水質(zhì)方程進(jìn)行描述.由于分子擴(kuò)散、紊動(dòng)擴(kuò)散遠(yuǎn) 小于由于斷面內(nèi)流速分布不均引起的剪切離散，一般不考慮擴(kuò)散系數(shù)D，常

2、用縱 向彌散系數(shù)E表征因斷面脈動(dòng)平均流速分布不均引起的混合過(guò)程.Ex與流速、水 深、斷面面積L污染物濃度分布的關(guān)系密切，這些水力、水質(zhì)要素是距離x的函 數(shù)，因此合理確定分布參數(shù)Ex值必將改善模型的精度.對(duì)于河流中可降解有機(jī)物的水污染問(wèn)題，可提出同時(shí)求解濃度場(chǎng)c(x,t)和 E(x)反問(wèn)題模型如下：If TOC o 1-5 h z c(0,t)=f(t) te0,t c(x,0) = o(x) xG0,1 ,(2)奪 =0，UK工=1作者在此選定附加條件為：c(l,t)=g(t), te0,T .(4)其中g(shù)(t)為下游斷面的可測(cè)函數(shù)，并在t有實(shí)測(cè)值，j=1,2,m,u為實(shí)測(cè)流速， E(x)為E

3、關(guān)于空間x的函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)E.方程組(1)(4)構(gòu)成了對(duì)可降解有機(jī)物求 函數(shù)偶解(E(x)，c(x,t)的一維對(duì)流擴(kuò)散反問(wèn)題模型.根據(jù)附加條件要求有一定 的同步水質(zhì)監(jiān)測(cè)資料，這是水質(zhì)模擬還原檢驗(yàn)都必需的基本資料，本文提出的反 問(wèn)題模型沒(méi)有增加任何新的資料要求.2縱向彌散系數(shù)的頻域反演計(jì)算分布參數(shù)不能用已發(fā)展的求解正問(wèn)題的一系列算法來(lái)直接求解，而要研 究專(zhuān)門(mén)方法來(lái)演算.對(duì)于偏微分方程，只要稍作改變，或邊界條件和附加條件有 稍許差別，都需要重新推導(dǎo)計(jì)算求解公式.1974年Tsien和Chen為識(shí)別一維流體動(dòng)力學(xué)中的理論速度提出了脈沖譜技 術(shù)(Pulse-Spectrum Technique,簡(jiǎn)記為PS

4、T)，這是求解相當(dāng)廣泛一類(lèi)反問(wèn)題行 之有效的迭代方法，PST基本思想是借助于Fourie變換(或Laplace變換)將時(shí)域中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為頻域中的問(wèn)題其信息在時(shí)域中獲得，求解卻在頻域中進(jìn)行.PST 方法已較成功地應(yīng)用于波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程等有關(guān)的工程反問(wèn)題中.& a sc + u -OX OJC(上,0)=扁， 工【0,1LC(l, s)=反($),de(6)首先將上述反問(wèn)題模型取Laplace變換：由l廣現(xiàn)在我們先對(duì)頻域式(5)取離散差分格式，然后采用PST方法推導(dǎo)其反演公 式.在區(qū)域0, 1上建立均勻網(wǎng)格.取xi=ih,i=0,1,N,其中h為x方向的 步長(zhǎng)，h=1/N,下面對(duì)式(5)選擇隱

5、式差分格式：,剝.7) +陽(yáng)=瓦曲(E* ；戶(hù).無(wú)*玲Ml + l況 3) = f(,s)t3(。)= poH溫$)=宜(3)dJ =有 *)設(shè)En ,cn始終滿(mǎn)足下述的迭代公式：eV = R 故,Ek = E? + 配?,(8)且有：II Si? II F II, II 腿了 II II El b為進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，取S為一系列離散值Sj,j=0,1,2,，M，將Sj和式(8)代入差 分方程式(7)，得q對(duì)應(yīng)的正問(wèn)題：由十普（禮-刁）+倒=卜 （E,，代 E之E心.十豚 =，（5）,制0）=如訝+1G）= g（5）ti=1,2,N; j=1,2,M和6 En對(duì)應(yīng)的反問(wèn)題：（ +我節(jié),翌殂國(guó)+倍e

6、牛捋跖=四十1（凱- E?）十隴頊2一1 -訝），（10）端=0,站口 = 0+薯=廣0 i = l,2r .NJ j = L2.,M將單位脈沖函數(shù)Dirac 6函數(shù)取離散值有:對(duì)每個(gè)&，格林函數(shù)G讀（S）滿(mǎn)足差分方程:(11)G?M)- Gg) = 0,取p=l，并利用附加條件，由式（10）和式（11）可得到下式:(i=0,1,2,，N-1.)(12) 其中:勺=點(diǎn) i W* A= (% (Sj) -GL1 () (Sj)一習(xí)().D=(d,d，d ) ,V=(6 En ,6 En，0 En ).1 .2., M T12N T寫(xiě)成矩陣形式：A*V=D,(13)為得到式(13)的穩(wěn)定近似解，取

7、對(duì)應(yīng)的正則方程為:(A A+aG)V=A D,(14)其中，a為光滑參數(shù)，G為光滑矩陣，由式(14)可得到6 En的穩(wěn)定解.將6 En 代入式(8)中可求出En，這樣就完成了一次迭代循環(huán).113數(shù)據(jù)的頻域變換公式由于計(jì)算將在頻域中進(jìn)行，因此相應(yīng)的數(shù)據(jù)也必須是頻域的數(shù)據(jù).本節(jié)將推 導(dǎo)離散數(shù)據(jù)的Z變換和Laplace變換的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系式.3.1離散數(shù)據(jù)的Z變換 實(shí)際的離散信號(hào)的來(lái)源大部分是連續(xù)時(shí)間和空間 信號(hào)的采樣，水質(zhì)數(shù)據(jù)采樣獲得的也是離散數(shù)據(jù).另外，反問(wèn)題計(jì)算比正問(wèn)題復(fù) 雜，而且計(jì)算量大，需通過(guò)計(jì)算機(jī)根據(jù)離散數(shù)據(jù)完成計(jì)算，因此即使獲得連續(xù)信 號(hào)通過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算也必須對(duì)其作離散化處理.Laplac

8、e變換是將時(shí)域的連續(xù)信號(hào) 或方程變換成頻域信號(hào)和方程，與之對(duì)應(yīng)的Z變換便是將時(shí)域的離散采樣信 號(hào)轉(zhuǎn)換成頻域信號(hào).3.2拉氏變換c(S)與Z 換c(Z)的直接變換公式 由于我們計(jì)算是在頻域 中進(jìn)行的，頻域中的公式是根據(jù)Laplace變換得到的連續(xù)公式，而采樣得到的離 散數(shù)據(jù)需通過(guò)Z變換變換成譜域數(shù)據(jù)，因此我們須從連續(xù)信號(hào)的拉氏變換求 對(duì)應(yīng)采樣信號(hào)的正變換或從Z變換求對(duì)應(yīng)連續(xù)信號(hào)的拉氏變換.對(duì)于因果信號(hào) (j0,cij=0)，我們可以直接在復(fù)頻域間進(jìn)行這種變換，而不必通過(guò)時(shí)域的中心 變換.由c(Z)求C(S)設(shè)c(Z)有m個(gè)相異極點(diǎn)Z1，Z2，Zm，根據(jù)留數(shù)定理有:(15)(2)由 c(S) 求

9、C(Z)c(Z)法嚴(yán)T= S 11 - 2(5lnST(16)通過(guò)式(15)或式(16)的逆變換可求出頻域計(jì)算數(shù)據(jù)的時(shí)域值.實(shí)質(zhì)上，上面我們 已推導(dǎo)出時(shí)域值Cij和頻域值c(S)或c(Z)的直接關(guān)系式，數(shù)值計(jì)算中可采用上 面推導(dǎo)的關(guān)系式進(jìn)行頻域和時(shí)域的轉(zhuǎn)換.4頻域反演算法與計(jì)算實(shí)例我國(guó)目前河流污染大多以有機(jī)污染為主.水體有機(jī)污染的自?xún)魴C(jī)理主要包括 稀釋、遷移、混合、沉淀、氧化還原、化合分解、沉降與再懸浮等化學(xué)、物理和 生化過(guò)程.COD是評(píng)價(jià)有機(jī)污染的重要指標(biāo)之一，它是指在一定條件下，用強(qiáng)氧 化劑處理水樣時(shí)所消耗的氧化劑的量，主要反映水體中還原性污染物的指標(biāo)，包 括有機(jī)物、亞硝酸鹽、亞鐵鹽、硫化

10、物等還原性物質(zhì)，特別是水體中溶解氧無(wú)法 反映污染狀況時(shí)，COD指標(biāo)可較好地評(píng)述有機(jī)污染的程度.洛河是黃河上的一條支流，它流經(jīng)洛陽(yáng)市、白馬寺、黑石關(guān)、石灰務(wù)等市、 縣，因其水資源量貧乏，該河沿途納入多個(gè)城鎮(zhèn)排放的大量工業(yè)污水和生活污水， 因此水質(zhì)已嚴(yán)重惡化，受污染的水源已直接影響到沿岸人民的生活和該地區(qū)國(guó)民 經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，有效地控制水污染已迫在眉捷.現(xiàn)有洛河河段1982年的實(shí)測(cè)水團(tuán)追 蹤資料.本節(jié)將根據(jù)作者在本文提出和推導(dǎo)的頻域反演算法給出具體的數(shù)值計(jì)算. 主要步驟是：（1）在區(qū)域。的邊界r上，測(cè)量輸入和輸出信息；（2）將方程進(jìn)行Fonrier 變換或Laplace變換；（3）利用迭代方法化成待求

11、變量對(duì)應(yīng)的正問(wèn)題或待求參數(shù) 對(duì)應(yīng)的反問(wèn)題；（4）給出正問(wèn)題的數(shù)值算法；（5）將反問(wèn)題化為積分方程，并給出 穩(wěn)定化算法；（6）將輸入、輸出信息用離散Fourier變換和Z變換、利用Laplace 變換轉(zhuǎn)換成譜域上的數(shù)據(jù)；（7）求出分布參數(shù)增量，代入迭代公式求出分布參數(shù) 值；（8）根據(jù)所示的分布參數(shù)代入式（4）重新解正問(wèn)題，并計(jì)算范數(shù)部狀=W.-甘1 :和相對(duì)誤差1 X100%，當(dāng)dc和xdcu小于誤差限6和6時(shí)，迭代計(jì)算停止，第n次迭代計(jì)算的參數(shù)即為所求.污染物在水域中的變化規(guī)律常采用對(duì)流擴(kuò)散方程來(lái)描述，對(duì)流擴(kuò)散方程與熱 傳導(dǎo)方程一樣屬于拋物型偏微分方程類(lèi)，其濃度關(guān)于時(shí)間t取一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，若 Fo

12、urier變換，則譜域方程中含虛數(shù)i項(xiàng)，i的存在導(dǎo)致了數(shù)值計(jì)算的難度；若 取Laplace變換則可消除上述困難，但其離散數(shù)據(jù)交換則要用相應(yīng)的Z變換，然 后再將Z變換轉(zhuǎn)換成Laplace變換值.針對(duì)洛河水污染情況，選擇水質(zhì)指標(biāo)COD分3個(gè)河段分別進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算， 所求出的縱向彌散系數(shù)見(jiàn)圖1；各河段下游斷面的預(yù)測(cè)濃度與實(shí)測(cè)濃度的比較見(jiàn) 圖2；縱向彌散系數(shù)分布參數(shù)和取集總參數(shù)時(shí)濃度模擬比較見(jiàn)圖2.m_/lnK*#*士5U 留圖1縱向彌散系數(shù)沿水流方向分布（頻域）F弟一河配 職距杵EE(b)第二河段A/N距霄血蒞)三同股段距M：k0 3 4U20圖2預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比(頻域)5結(jié)語(yǔ)本文提出了一維對(duì)流擴(kuò)

13、散方程中求解分布參數(shù)一一彌散系數(shù)E(x)的反問(wèn)題 模型，并從頻域給出求函數(shù)偶解(E(x), c(x,t)的穩(wěn)定化反演算法，最后給出數(shù) 值計(jì)算實(shí)例.頻域中由于通過(guò)積分變換后使方程維數(shù)得到降低，故數(shù)值計(jì)算具有 計(jì)算量小、占儲(chǔ)存單元少等特點(diǎn).本文還推導(dǎo)出水質(zhì)頻域采樣數(shù)據(jù)的變換公式. 當(dāng)實(shí)測(cè)資料含噪聲較小時(shí)，頻域方法反演效果較好.本文從PST基本思想出發(fā)，研究和發(fā)展了比熱傳導(dǎo)方程更為復(fù)雜的對(duì)流擴(kuò)散 分布參數(shù)反問(wèn)題，結(jié)合正則化方法較好地解決了彌散系數(shù)的反演計(jì)算，首次將 PST方法應(yīng)用于水質(zhì)參數(shù)反演中，做了一些開(kāi)拓性的工作，本文就單參數(shù)彌散系 數(shù)取分布參數(shù)的反演計(jì)算方面取得了一些有意義的研究成果.現(xiàn)行水質(zhì)參數(shù)估算 方法因分別受到技術(shù)條件、經(jīng)濟(jì)條件和測(cè)驗(yàn)條件等的限制，一般取E(x)為常數(shù) E0，本文推導(dǎo)的反演方法能夠獲得隨空間變化的分布參數(shù)離散值，能考慮參數(shù) E(x)與濃度場(chǎng)c(x,t)的相依關(guān)系，在水質(zhì)參數(shù)估值中不失為一種即經(jīng)濟(jì)又切實(shí) 可行的有發(fā)展前途的新方法.分布參數(shù)的