優(yōu)秀教案25-兩條直線的交點坐標

1、3.3 直線的交點坐標與距離公式兩條直線的交點坐標教材分析本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學必修2 第三章 直線與方程3.3 直線的交點坐標與距離公式 的第一課時本節(jié)課是在學習了二元一次方程組的解、 直線的位置關系和直線的方程后進行的， 是對前面學習內(nèi)容的延續(xù)與深入，也是后繼學習距離公式、圓錐曲線以及曲線與曲線的交點的基礎 本節(jié)課通過利用代數(shù)的方法來解決兩條直線相交的交點坐標問題，滲透數(shù)形結合、坐標法的思想，通過探究過定點的直線系的方程問題進一步培養(yǎng)學生轉化化歸的思想課時分配本節(jié)內(nèi)容用 1 課時的時間完成，主要講解兩條直線的位置關系、兩條相交直線的交點坐標以及二元一次方程組的解與兩條直線位置的對應關系教學目標重

2、點 : 能 判斷兩條直線的位置關系，會求兩直線的交點坐標難 點：二元一次方程組的解與兩條直線的位置的對應關系，過兩條直線的交點的直線系方程知識點：兩條直線的交點的求法，二元一次方程組的解與兩條直線的位置的對應關系，過兩條直線的交點的直線系方程能力點：通過學習兩條直線交點坐標的求法，以及判斷兩直線位置的方法，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力，通過研究兩條直線的位置與它們對應方程組的解的關系，進一步滲透坐標法及轉化化歸的思想教育點：通過兩直線交點與二元一次方程組的解的關系，認識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，能用辯證的觀點看問題；在探究和解決問題的過程中，培養(yǎng)學生細心觀察、勇于探索、互相合作的精神，自主探究點：二元一次

3、方程組的解與兩條直線的位置對應關系的探究與發(fā)現(xiàn)，過兩條直線的交點的直線系方程問題考試點：求兩直線的交點坐標，判斷兩條直線的位置關系，易錯易混點：利用直線系方程求解直線方程、求未知參拓展點：探究直線恒過定點問題，探究對稱與最值問題教具準備課件、幾何畫板、三角板課堂模式學案導學一、引入新課知識回顧：（教師出示多媒體課件并提出問題）問題1.直線的一般式方程與二元一次方程之間有什么關系？問題2.如何求二元一次方程組的解 ？二元一次方程組的解有幾種情況？問題3:直角坐標系中兩條直線的位置關系有幾種？【師生活動】師：展示課件、提出問題.生：思考、討論并回答問題.師：每一個關于x,y的二元一次方程都表示條直

4、線，而二元一次方程組的解有三種情況，直角坐標系中兩條直線的位置關系也有三種，那么試想兩條直線的位置關系與對應二元一次方程組解的情況有關系嗎？如果有，那么又有怎樣的對應關系呢？【設計意圖】 復習鞏固，以舊帶新；簡單的知識回顧，為學生自主探究鋪平道路，喚起學生的記憶，引發(fā)學生探究新知識的的學習興趣和學習熱情，并自然導入新課.二、探究新知探究1:兩條直線的交點坐標問題1：教師引導學生從點與直線的位置關系入手完成下表，并討論直線上的點與對應方程Ax By C 0的解有怎樣的關系？幾何元素及關系代數(shù)表示點AA(a,b)直線ll : Ax By C 0點A在直線l上點A坐標（x, y）滿足方程Ax0 By

5、 C 0直線11與12的交點是AAx Biy Ci 0點A坐標(x0,y0)滿足方程組A2x B2y0 C20生：獨立思考，小組交流，完善表格.A% Biy。Ci 0, Ax。 B2 y0 C2 0.師：因為直線li與12的交點是 A,故點A在直線li ,也在直線I2.所以點A坐標（x0,y0）既滿足li的方程，又滿足直線12的方程，即: 問題2:由上述問題可知，兩條直線的交點坐標滿足由兩條直線方程所組成的方程組.那么，如果兩條直線li : Ax Bi y Ci 0 , I2 ： A2X B2y C2 0相交，如何求這兩條直線的交點坐標？生：交流，討論.師生共同總結：要求兩條直線的交點坐標，只

6、需寫出這兩條直線的方程，然后聯(lián)立求解.【設計意圖】 設置問題串，以舊帶新，通過對熟悉知識點的溫故討論，引發(fā)學生探究新知的興趣，培養(yǎng)學 生發(fā)現(xiàn)、歸納、概括數(shù)學問題的能力.探究2:兩條直線的位置關系師：求解下列方程組，判斷對應兩條直線是否相交（教材例 2變式）.x y 0,3x 3y 10 0.3x y 4 0,6x 2y 1 0.3x 4y 5 0,6x 8y 10 0. TOC o 1-5 h z 生：自主完成練習，并請學生到前面板演解題過程5 55 5（1）萬程組有唯一解（,），所以直線11 : x y 0與l2：3x 3y 10 0即為相交，交點（,）3 33 3（2）方程組無解.（3）兩

7、個方程可化為同一個方程，所以方程組有無數(shù)解.師：（1）中方程組有唯一解對應直線11與12相交；（2）中方程組無解，兩個方程就沒有公共解，那么方程對應的兩條直線有交點嗎？它們具有怎樣的位置關系？生：沒有.兩條直線平行.師：（3）中方程組有無數(shù)解，兩條直線具有怎樣的位置關系？生：兩條直線重合.【設計意圖】 通過動手操作，直觀感知，深入理解方程組的解與直線的位置之間的關系.問題：兩條直線方程所組成的二元一次方程組的解的個數(shù)與直線的位置關系有什么聯(lián)系？已知 11 ： A1x B1y C10, l2： A2x B2y C20,Ax B1y C10將方程聯(lián)立，得，對于這個方程組解的情況分三種討論：A2x

8、B2y C2 0（1）若方程組有唯一解，則11、l2相交，有唯一的公共點；（2）若方程組無解，則11、12沒有公共點，即平行;(3)若方程組有無數(shù)多個解，則 11、12有無數(shù)多個公共點，即重合.【設計意圖】 通過學生獨立思考、師生共同總結加強對知識的理解；由具體問題的解通過思考、感悟得到 一般性結論，循序漸進，符合學生的認知規(guī)律，便于理解記憶；在問題探究的過程中，讓學生體會數(shù)形結 合的思想.三、理解新知師：如何求解兩條直線的交點？如何判斷兩條直線的位置關系？生：寫出兩條直線方程，聯(lián)立求解：方程組有唯一解兩直線相交方程組無解兩直線平行方程組有無窮多解兩直線重合師：如何根據(jù)兩直線的方程的系數(shù)之間的

9、關系來判定兩直線的位置關系呢？請大家完成下列表格：11：AxByC10(A,B1,C10),12: A2xB2yC2 0(A2,B2,C20)兩直線的位置關系方程組解的個數(shù)方程系數(shù)的關系相交有唯一解A1B1A2B2平行無解_A1且QA2 B2C2重合后尢數(shù)個解A旦&A2B2C2如果A1,B1,C1, A,B2,C2中有等于零的情況，方程較簡單，兩條直線的位置關系容易確定.【設計意圖】理解運用兩條直線的交點個數(shù)判定兩直線的位置關系與用斜率、截距判定兩直線位置關系的 一致性.四、運用新知例1求下列兩條直線的交點坐標 ：:3x 4y 2 0：4x 2y 2 0生：分析解題思路，獨立完成解題步驟.師：

10、板書解題過程，引導學生校對自己的答案.解：解方程組3x 4y 2 0,4x 2y 2 0.得:x 2,y 2.所以li與12的交點是M ( 2,2).幾何畫板作圖驗證.設計意圖鞏固所學知識，提高學生分析問題、解決問題的能力；通過問題分析，強化求解兩條直線交點的方法；教師板書示范，規(guī)范解題步驟.例2判斷下列各對直線的位置關系.如 果相交，求出交點的坐標:(1) 11 :x y 0, 12：3x 3y 10 0； 11 :3x y 4 0 , 12 ：6x 2y 1 0 ；(3) 11 ：3x 4y 5 0 , 12: 6x 8y 10 0 .學生自主完成例2,并請學生到前面板演解題過程 .教師引

11、導學生共同批改學生答案，探討解題中出現(xiàn)的問題和解題的關鍵點，并校對自己的答案.設計意圖進一步鞏固兩直線位置關系與直線組成的方程組解的個數(shù)的對應關系；學生板書便于及時發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，并規(guī)范學生的解題步驟；通過對答案的批改、校對，培養(yǎng)學生反思、總結的習慣.例3(補充)求經(jīng)過兩條直線x 2y 4 0和xy2 0的交點，且和直線2x y 6 0平行的直線1的方程.分析：由直線1與直線2x y 6 0平行，可以求得直線1的斜率；又因為直線1經(jīng)過兩條直線x 2y 4 0和x y 2 0的交點，所以求出兩直線的交點即可由點斜式求得直線1的方程.解法一：,直線2x y 6 0的斜率為2,且直線1與直線2x

12、 y 6 0平行，直線1的斜率為：K 2 .左、工口小 x 2y 4 0,x 0,解方程組 y ,得，x y 2 0.y 2.直線x 2y 4 0和x y 2 0的交點坐標為 M (0,2).直線l的方程為y 2 2(x 0),即2x y 2 0.解法二：設與直線2x y 6 0平行的直線l的方程為2x y C 0(C 6)左、工口小 x 2y 4 0,x 0,解方程組 y ,得， x y 2 0.y 2.直線x 2y 4 0和x y 2 0的交點坐標為 M (0,2).丫直線l經(jīng)過兩條直線x 2y 4 0和x y 2 0的交點M (0,2),2 0 2 C 0,即 C 2.直線l的方程為2x

13、 y 2 0 .點評：解法一中中利用了平行直線的設法：與直線Ax By C 0平行的直線方程可設為Ax By 0(0),其中待定.設計意圖通過對問題的分析、解決過程，培養(yǎng)學生綜合分析問題和轉化化歸的能力；通過方法探究，一題多解，發(fā)散思維，有益于溝通知識和方法，開拓解題思路.【拓展提升】問題：當 變化時，x 2y 4(x y 2) 0表示什么圖形呢？圖形有何特點？師：方程x 2y 4(x y 2) 0中的未知數(shù)是什么？可取什么值？生：未知數(shù)是x,y.可取任意實數(shù)，是常數(shù).師：是關于x, y的幾元幾次方程？生：二元一次方程.師：這個二元一次方程 x 2y 4(xy2) 0表示什么圖形？生：表示直線

14、.師：這個二元一次方程 x 2y 4(x y 2) 0能夠表示多少條直線？生：無數(shù)條，一個的值就對應一條直線.師：這些直線有什么共同特點嗎？如何研究呢？既然一個的值就對應一條直線，那么能否通過給定的特殊值進行研究呢？例如取1,0,1,2.生：計算探究1時,方程為:0時，方程為：x 2y 4 01 時，方程為：x 2y 4 (x y 2) 0 ,即 2x y 2 02時，方程為：x 2y 4 2(x y 2) 0,即 x 0作出圖形可知，所有直線都過一個定點，該點為M (0,2),即為例 3中兩條直線 x 2y 4 0和x y 2 0的交點.由此猜測：方程 x 2y 4(x y 2) 0表示的直

15、線都經(jīng)過 M (0,2)點.動畫演示，驗證猜想.師：方程x 2y 4(x y 2) 0能表示x y 2 0這條直線嗎？生：思考回答.結論：方程x 2y 4(x y 2) 0表示除直線x y 2 0以外且經(jīng)過兩條直線 x 2y 4 0和x y 2 0交點的直線.師：像這種具有某種共同性質的所有直線的集合，稱為直線系；它的方程叫直線系方程.總結提高：若l1：A1xB1yC10、l2：A2xB2yC20相交，則方程(Ax Biy Ci)(A?x B2y C2) 0表示過l1與12交點的直線系(不包括直線應用：(例3另解)解：設經(jīng)過兩條直線 x 2y 4 0和x y 2 0的交點的直線l方程為x 2y

16、 4(x y 2) 0,則(1 )x (2)y 4 20 . 一 1_丫直線l與直線2x y 6 0平行，- 2,即 1.2直線l的方程為2x y 2 0 .五、課堂小結教師提問：本節(jié)課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學思想方法？學生總結：1.知識點：兩條直線的交點的求法；二元一次方程組的解與兩條直線的位置的對應關系;2.思想：由特殊到一般的思想；轉化化歸的思想； 數(shù)形結合的思想.教師強調：過兩條直線交點的直線系方程.設計意圖通過學生總結，培養(yǎng)學生的口頭表達能力、歸納概括能力，教會學生學習方法，讓學生再次回 顧本節(jié)課的活動過程、重點、難點所在，對所學知識加以思考延伸.使學生對本節(jié)課所學知識結構

17、有一個 清晰的認識，形成知識體系.六、布置作業(yè).書面作業(yè)必做題：P09 A組13,選做題：y kx 2k2y 40的交點在第四象限，則k的取值范圍是(A.( 6,2)B.(16，0)C.(1D.(2，)P(0,1)作直線m,使它被兩條直線11 : x3y100,l2: 2x y0所截得線段以P為中點，求直線m的方程.答案：1. C ; 2. x 4y 4 0.課外思考思考1：求證：不論 取什么實數(shù)，直線(21)x(3)y (3)0都過一個定點，并求這個定點坐標.思考2：已知直線l :3xy 1 0 及點 A(4,1), B(0,4), C(2,0),(1)試在l上求求一點P ,使 |PA|+|

18、PC|最小;(2)試在l上求求一點Q,使|QA| ?QB|最大.設計意圖書面作業(yè)的布置，以不同層次出現(xiàn)，對不同層次學生有不同的要求，體現(xiàn)了分層教學的教學思 想.設置“必做題”是為了進一步鞏固所學，加強學生學習的自信心；課外思考探究活動進一步激勵學生 學習的熱情，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的能力.七、教后反思本節(jié)課在設計上注重課堂的開放性，在學習過程中讓學生主動參與，使學生在參與活動的過程中感受“數(shù)”與“形”的相互轉換，深化坐標法的應用.通過討論兩直線方程聯(lián)立方程組的解來研究兩直線的交點問題，培養(yǎng)了學生的數(shù)形結合與運動轉化的數(shù)學思想.在探究兩直線的位置關系與對應二元一次方程組解的個數(shù)問題的過程中，把學習的

19、主動權還給學生，讓學生自主經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的學 習過程，使數(shù)學課堂生動起來.通過探究討論，動畫展示，加深對解析法的理解，培養(yǎng)學生勇于探索的科 學精神.在直線系的探究過程，還是老師的啟發(fā)過多、講的多，可以嘗試讓學生分析講解，老師 補充完善，這樣更有益于學生學習興趣培養(yǎng)和對知識的理解.八、板書設計2. 3. 3直線與平囿垂直的性質.兩直線的交點坐標.兩直線的位置關系與對應方程組的解的個數(shù)的關系例1例2學生板書例3拓展提升復習課：第三章函數(shù)的應用教學目標重點：利用零點存在定理判斷函數(shù)零點的個數(shù)，利用二分法求方程的近似解；掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)、一次函數(shù)這四種函數(shù)模型的增長差異

20、難 點：（1）利用函數(shù)性質討論函數(shù)的零點，二分法的基本思想；（2）實際問題的函數(shù)刻畫能力點：能充分利用數(shù)形結合及等價轉化的數(shù)學思想解決問題教育點：培養(yǎng)學生解決問題中思維的嚴密性自主探究點：通過函數(shù)圖像研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)、一次函數(shù)這四種函數(shù)模型的增長差異.易錯點：（1）應用零點存在定理，不注意函數(shù)圖像的連續(xù)性，對定理理解不透徹（2）函數(shù)性質掌握不牢固，根據(jù)函數(shù)性質，數(shù)形結合解決問題能力弱，分類討論的標準不明確，不能做到補充不漏學法與教具.學法：自主學習、合作探究；注重結合函數(shù)圖像，利用數(shù)形結合和轉化的思想解決問題.教具：多媒體，投影儀，三角尺一、【知識結構】I更占的生I零點存在定理二

21、、【知識梳理】.掌握方程的根與函數(shù)零點的關系 .能夠熟練利用零點存在定理判斷函數(shù)的零點的個數(shù).掌握用二分法求函數(shù)的零點近似值(方程近似解)的步驟.掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)、一次函數(shù)這四種函數(shù)模型的增長差異y ax(a 1)爆炸增長，y xn(n 0)快速增長，y kx b(k 0)勻速增長，y log a x(a 1)緩慢增長.掌握建立確定性函數(shù)模型和擬合函數(shù)模型解決實際問題的程序三、【范例導航】例1 (提高題)已知a是實數(shù)，函數(shù)f (x) 2ax2 2x 3 a .如果函數(shù)y f(x)在區(qū)間1,1上有零點， 求a的取值范圍.【分析】函數(shù)f (x) 2ax2 2x 3 a的二次項系數(shù)未知

22、，因此要討論二次項系數(shù)是否等于0.當二次項系數(shù)2a 0,即a 0時，函數(shù)y f(x)是一次函數(shù)，直接求函數(shù)的零點；當二次項系數(shù)2a 0,即a 0 時，函數(shù)y f(x)是二次函數(shù)，再利用數(shù)形結合討論函數(shù)的零點 3【解答】解：當a 0時，函數(shù)f(x) 2x 3,零點為x不符合題意.2當a 0時，函數(shù)f(x) 2ax2 2x 3 a在區(qū)間1,1上有零點分為兩種情況:4 8a(所以(f( 1)f(1) (a3 a) 05)(a 1) 04 8a( 3 a) 01 12a解得：1 a 5或a奪點)8a( 3a) 0 a 01 12af( 1) 0f(1) 01 12af( 1) 0f(1) 0一.3斛得

23、：a 5或a 37綜上所述，若函數(shù) y f(x)在區(qū)間1,1上有零點，則a的取值范圍a Ka 32【點評】解決二次函數(shù)零點問題要注意結合圖像，從各個方面去考慮使結論成立的所有條件，考慮的方 面有：判別式、韋達定理、對稱軸、函數(shù)值的大小、開口方向等數(shù)圖彳t與x軸交點的橫坐標.函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸交點三者間有著內(nèi)在的本質聯(lián)系,從數(shù)上說，函數(shù) y f(x)的零點就是方程f(x)=0的根；從形上說，函數(shù) y f(x)的零點就是函高考中有許多問題涉及三者的轉化，思考時要注意變式訓練1：二次方程x2 2(k 4)x 2(k22)0的兩個根都是正數(shù)，求實數(shù) k的取值范圍.答案：2 k72或

24、J2 k 10(分析：XiX20),XiX2變式訓練2：設集合A (x,y)|x2mx y0B (x, y)| y x 1,0 x 2 , AB ，求實數(shù)m的取值范圍.答案：m 1例2.某單位計劃用圍墻圍出一塊矩形場地.現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為l .如果要使圍墻圍出的矩形場 地的面積最大，問矩形的長、寬各等于多少? TOC o 1-5 h z I_ ,lOl【分析】若設矩形的長為x,則范為(l2x),從而矩形的面積為S x (l2x) x2x,222是關于x的二次函數(shù)，建立二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的方法解決實際問題【解答】解：設矩形的長為 x,則寬為L(l 2x),矩形的面積為l2S x (

25、l 2x) x2lx2x 416(0 x -) 22l , _c l 2所以，當x 時，函數(shù)取得最大值，即 Smax 一, 416l 2x此時，矩形的寬為 2ll2 / , 、/所以，當這個矩形的邊長為L時，所圍成的面積最大為 二，此時矩形為正方形. TOC o 1-5 h z 416【點評】 對于求實際問題的最值，應先建立函數(shù)模型，然后對函數(shù)求最值，最后要回扣實際問題，解決實際問題應注意不要忽略定義域.變式訓練：矩形 ABCD中，已知 AB a, BC b,b a,在AB, AD,CD,CB上分別截取E,H,G,F ,且AE AH CG CF x,當x為何值時，四邊形 EFGH的面積最大？并

26、求出最大面積？答案：當 a 3b,x ab 時，Smax (a b);482當 a 3b, x b 時，Smax ab b .例3.旅行社為某旅游團包飛機去旅游，其中旅行社的包機費為15000元，旅游團中的每人的飛機票按以下方式與旅行社結算：若旅游團的人數(shù)在30人或30人以下，飛機票每張收費 900元；若旅游團的人數(shù)多于30人，則給與優(yōu)惠，每多 1人，機票費每張減少 10元，但旅游團的人數(shù)最多有75人，那么旅游團的人數(shù)為多少時，旅行社可獲得的利潤最大？【分析】根據(jù)不同的人數(shù)有不同的票價，需要分段列出函數(shù)關系式，然后根據(jù)列出的分段函數(shù)分析解決問題.其中，利潤=收入(飛機票的總收費)一支出(包機費

27、)【解答】設旅游團的人數(shù)為 x人，飛機票為y元，由題意得:當 1 x 30時，y 900；10 x 1200 ;當 30 x 75 時，y 900 10(x 30)所以所求函數(shù)為y90010 x 1200(1 x 30)(30 x 75)設禾潤為Q,貝U Q y x 15000900 x 15000_2 10 x2 1200 x 15000(1 x 30)(30 x 75)當 1 x 30 時，Qmax900 30 15000 12000,當 30 x 75 時，Q2_2_10 x1200 x 1500010(x 60)21000,所以當 x 60 時，Qmax 2100012000,答：當旅

28、游團人數(shù)為 60人時，旅行社可獲得最大利潤 21000元.【點評】 本題是由一段一次函數(shù)、一段二次函數(shù)構成的分段函數(shù)的最值問題，對于分段函數(shù)的最值，應先在各自的定義域上求出各段的最值，然后加以比較，確定出分段函數(shù)的最值.分段函數(shù)主 要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將各段的變化規(guī)律找出來，再將其合到一起，要注意各段變量的取值范圍，尤其要注意端點值變式練習：某服裝廠生產(chǎn)一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單元，根據(jù)市場調查，銷售商一次訂購量不會超過500 件.x 100 x 500(

29、2)當銷售商一次訂購 450件時,該服裝廠獲得的利潤是5850元.(1)設一次訂購量為 x件，服裝廠的實際出廠單價為p元，寫出p f(x)的表達式;(2)當銷售商一次訂購 450件時，該服裝廠獲得的利潤是多少元60,0答案：(1) p f(x)x62 ,10050四、【解法小結】.利用零點存在定理判斷函數(shù)零點的步驟；.利用二分法求方程近似解和函數(shù)近似零點的步驟；.方程的根、函數(shù)的零點、函數(shù)圖象與x軸的交點能夠進行相互轉化;函數(shù)性質解決函數(shù)零點問題時，可以畫出函數(shù)草圖進而數(shù)形結合解決問題;5.建立確定性函數(shù)模型和擬合函數(shù)模型解決實際問題的程序 五、【布置作業(yè)】必做題： TOC o 1-5 h z .方程x 1 lg x必有一個根的區(qū)間是()A. (0.1,0.2)B. (0.2,0.3)C. (0.3,0.4)D.(0.4,0.5).實數(shù)a,b,c是圖像連續(xù)不斷的函數(shù)y f(x)定義域中的三個數(shù)，且滿足a b c,f(a) f(b) 0, f (b) f (c) 0,則函數(shù)y f(x