二面角專題習(xí)題

1、求二面角專題K如圖，平面E*D 平由ABCD, ADE是等邊三角膨卜ABCD是矩形.F. G分別是AE 內(nèi)口的中點(diǎn)，EC與平面AECD成年30用,求的 E0 L平面ABCD;修）若AD=2,求二面向E-FGG的度私2.如圖.在校長(zhǎng)為a的正方體。ABCOA舊憶，中，E、F分別是極AR、BC 上的動(dòng)點(diǎn)，JIAE=BF.”）求證：A，WCE；（2）當(dāng)三枝錐BJ-BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面先B-EF-B的大小 （結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.3、如圖.已知平行六面體ABCD-A|R|GD|的底面 ABCD是菱形,且NC|CB=/C|CD=/BCD=60Z(1)證明；GCJ_BD;31 假定CD=2t2

2、 ，記面GBD為逍，血CBD為b,求二面角 d-BD-b的平面角的余弦值：CD0)當(dāng) 1的值為多少時(shí)，能使C L平血C|BD?CD如圖BODTBC 口是長(zhǎng)方體，側(cè)極品樂(lè)長(zhǎng)為1,底面為正方體且邊長(zhǎng)為2, E是極EC 中點(diǎn),求面UDE與面CDE所成二面角的正切值.如圖：已知四棱錐PABCD的底面為直作梯形，AD仆BC./ RCD=90,PA=PB. PC=PD.D訐明平面PAR_L平面ARCD：2）如果CD=AD+BC 二面角PBCA等于,求二面侑P-CD-A的 人小.11,過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作%人平血4BCD,設(shè)PA=AR二口 .求二面角iPC-。的大小.如何用空間向量求解二面角求解二面角

3、大小的方法很多，諸如定義法、三垂線法、垂面法、 射影法、向量法等若干種。而這些方法中最簡(jiǎn)單易學(xué)的就是向量法， 但在實(shí)際教學(xué)中本人發(fā)現(xiàn)學(xué)生利用向量法求解二面角還是存在一些 問(wèn)題，究其原因應(yīng)是對(duì)向量法的源頭不盡了解。 本文就簡(jiǎn)要介紹有關(guān) 這類問(wèn)題的處理方法，希望對(duì)大家有所幫助。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題.對(duì)于空 間向量a、b,有COS=，.利用這一結(jié)論，我們可以|a| |b|較方便地處理立體幾何中二面角的問(wèn)題.例1在四棱錐V-ABCB,底面ABC奧正方形，側(cè)面VADM正 三角形，平面VADL底面ABCD求面VAg面VD而成的二面角的大 小.證明：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正

4、方形邊長(zhǎng)為1,依題意得 AB= (0 ,1, 0),是面VAD的法向量,z)是面VDB的法向量，則n VB 0,n VB 0.1,43n = (1 , 1,33;T)o二 COSF面角C- PB-D的大小又由題意知，面 VAD與面VDB所成的二面角為銳角，所以其大小為.21 arccos7例2如圖，直三棱柱ABJABG中，/ACB=90 , AC=1 CB=2,側(cè)棱AA=1,側(cè)面AABB的兩條對(duì)角 線交點(diǎn)為D, BiCi的中點(diǎn)為M求證CDL平面BDM求面BiBD與面CBDJf成二面角的大小.解：略如圖，以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.設(shè)BD中點(diǎn)為G,連結(jié)BiG,則依i，4BD=(-條11)2，2人BiG

5、 =(-4二 BD b1G = 0 , 二 BDL B1G.又CDL BD,.CD與BiG的夾角 等于所求二面角的平面角. TOC o 1-5 h z CD BiG. 3cos =.|CD|BiG|3所以所求二面角的大小等于一arccos與.例3如圖，在四棱錐P ABCDK 底面ABC崖正方形，側(cè)棱PD，底面ABCD PD=DC E是PC的中點(diǎn)，作EF，PB交PB于點(diǎn)F.求二解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC a設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（xo,y0,PA = PBzoa)從而Xoa, V。a,zoPE =iZ(1 )a.所以(a, a, a) ., a a 、，( xo, 二y0, T

6、 zo)(22a,(i)a，(/).由條件EFL PB知，PE- PB =0,即1 (2)a2 (% o,解得3二點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2aT)，且 PE (a6,aFD (一32a3), FD2a23即PBFD ,故 EFD是二面角C-PB- D的平面角.: PE FD =2 a18且 IPEI2 a362 a36IF”.：22a 4a99EFDE應(yīng)|PE |FD |12,EFD所以，二面角C-PB-D的大小為例4已知三棱柱OAB Q AiBi中，平面OBB1O1，平面OAB , /AOB = 90 , / O1OB=60 ,且 OB=OO產(chǎn) 2, OA = a 求二面角OiAB-。的大小.解：以O(shè)

7、為原點(diǎn)，分別以O(shè)A, OB所在 的直線為x, y軸，過(guò)O點(diǎn)且與平面AOB垂直 的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖, 則O(0, 0, 0), Oi(0, 1, V3), A(氐,0, 0), A屋3, 1, O, B(0, 2, 0). AO1 = ( 33 , 1 , 33) , AB = ( 33 , 2, 0).顯然OZ為平面AOB的法向量，取= (0 , 0, 1),設(shè)平面OiAB的法向量為n2 = (x , y, z),則山- AO1 = 0 , 1 - AB = 0 .即“3x y & 0 ,令 y = 73 , x = 2 , z = 1 ,則 n2 = (2 , V3 ,3

8、x 2y 01).二 COS =1 _ 2 2、24即 = arccos 4故二面角o1一AB- O的大小為arccos 2-.二面角例題講解例1.在四面體 ABCD中，AB=AD=BD = 2, BC = DC = 4,二面角 A BD C的大小 為60 ,求AC的長(zhǎng).分析：作出二面角 A-BD-C的平面角在BD上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)幾AB=AD, BC = DC 解：取BD中點(diǎn)E,連結(jié)AE, EC AB = AD, BC = DC AEXBD, ECXBD /AEC為二面角 ABD C的平面角ZAEC = 60 AD = 2, DC = 4AE= v3 , EC= vT5據(jù)余弦定理得：AC= Jl

9、8 3x15 .例題的功能本題的主要作用是讓學(xué)生體會(huì)作二面角的平面角的第一個(gè)方法：由二面角平面角的定義，直接構(gòu)造出平面角.另外讓學(xué)生體會(huì)在立體幾何中，求解線段的長(zhǎng)或求兩條直線的成角，往往是將所求線段或角放到三角形中，利用平面幾何的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.例2.河堤斜面與水平面所成角為 60 ,堤面上有一條直道CD,它與堤角的水平線AB 的夾角為30。，沿著這條直道從堤角向上行走到10米時(shí)，人升高了多少（精確到0.1米）？所求分析：已知河堤斜面與水平面所成角為60。E到地面的距離I1利用E或G構(gòu)造棱上一點(diǎn) F以EG為邊構(gòu)造三角形解：取CD上一點(diǎn)巳設(shè)CE=10 m,過(guò)點(diǎn)E作直線AB所在的水平面的垂線 EG,垂足為G,則線段EG的長(zhǎng)就是所求的高度.在河堤斜面內(nèi)，作EFLAB.垂足為F,連接FG,由三垂線定理的逆定理， 知FGLAB.因此，/ EFG就是河堤斜面與水平面 ABG所成的二面角的平面角，/ EFG = 60由此得：EG= EFsin60=CE sin30 sin601