高中數(shù)學(xué)高考沖刺立體幾何專題訓(xùn)練

1、直線、平面、簡單幾何體題型一 多面體中平行與垂直的證明【典例1】(2004年天津高考)如圖，在四麴隹P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PDL底面 ABCD, PD=DC, E是PC的中點，作EFL PB交PB于點 F.(1)證明PA/平面EDB;(2)證明PBL平面EFD ;(3)求二面角C PB D的大小.本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知 識，考查空間想象能力和推理論證能力.拓展提升：(1)證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；(2)求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；(3)證明線面垂直只需證此直

2、線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從9(A)證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來【變式訓(xùn)練】1 ( 2006年湖南卷)如圖 4,已知兩個正四棱錐 P-ABCD 與Q-ABCD的高分別為1和2, AB=4.(I )證明PQL平面ABCD;(n )求異面直線AQ與PB所成的角；(出)求點P到平面QAD的距離.(2007全國I 文)四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平 行四邊形，側(cè)面 SBC_L底面ABCD,已知/ABC =45, AB =2, BC=2&, SA=SB = 布.(I)證明：SA_L BC ;(n)求直線SD與平面SBC所成角的大小.(全國1)已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形/DC

3、/DAB =90：PA_L底面 ABCD,且pa=ad=dc=1ab=i,m 是 PB 的中點.2(I )證明：面 PADXW PCD;(n)求AC與PB所成的角;(m)求面 AMC與面BMC所成二面角的大小.本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識及思維能力和空間想象能力 考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.題型二結(jié)論探索性問題【典例2】(2006年江西高考)如圖,在三錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD = J3 , BD = CD = 1,另一個側(cè)面是正三角形(1)求證：AD_LBC(2)求二面角 B ACD的大小(3)在直線AC

4、上是否存在一點 E,使ED與面BCD成30嘀？若存在 確定E的位置；若不存在，說明理由.分析：本題考查了線線關(guān)系，線面關(guān)系及其相關(guān)計算，考查了 余弦定理尤為突出的是本題采用探索式、開放式設(shè)問方式，對學(xué)生靈活運用知識解題提出了較高要求。拓展提升：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論：2.聯(lián)想平面幾何命題，運用類比猜想得出結(jié)論，或先利用條件特例 得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算?！咀兪接?xùn)練】1. (2006年湖北卷)如圖，在棱長為1的正方體ABCD - AiBiCi Di中，p是側(cè)棱CCi上的一點，CP=m.(I)試確定 m ,使得直線 AP與平面BDDiBi所成角的 正切值為3金;(n)在線段

5、 AiCi上是否存在一個定點 Q ,使得對任意的m , DiQ在平面APDi上的射影垂直于 AP.并證明你的結(jié)論點評：本小題主要考查線面關(guān)系、 直線于平面所成的角的有 關(guān)知識及空間想象能力和推理運算能力，考查運用向量知識解 決數(shù)學(xué)問題的能力。ACBC , D是AB的中點AC = BC = a求證VAB 平面 VCD(II)試確定角使得直線 BC與平面VAB所成的角為-6如圖，在三麴隹V ABC中，VC，底而ABCBCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明拓展提升：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中般來說平面內(nèi)氨展開問題(2006年遼寧高考)已知正方形 ABCD . E、F分別是AB、CD的

6、中點，將ADE沿DE折起，如圖所示A -DE -C的大小為6(0(I)證明BF /平面ADE;(II)若UACD為正三角形，試判斷點A在平面你的結(jié)論，并求角日的余弦值【點評】本小題考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識考查空間想象能力和思維能力1(05湖南)如圖1,已知ABCDOj_ Ci變化，翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。下底邊長分別為 2和6,高為J3的等腰梯形，將它沿對稱軸OOi折成直二面角，如圖2.(I)證明：ACXBOi；(n)求二面角 oacOi的大小2.如圖，在直角梯形 PiDCB 中，P1D/CB, CDXPiD, PiD=6, BC=3, DC = J6 , A

7、 是PiD的中點，E是線段AB的中點，沿AB把平面PiAB折起到平面 PAB的位置，使二面角 P-CD- B成45 角.(I )求證：PAL平面ABCD;(II)求平面PEC和平面PAD所成的銳二面角的大 小.【典例4 (2006年重慶高考)如圖，在正四棱柱ABCDABCD 中，AB=I,BB = J3+I , E 為 BB1上使 B1E = I 的點 平面 AEG 交DDi于F ,交Ad的延長線于G ,求:(I)異面直線 AD與CiG所成角的大小;分析：本題以棱柱為載體考查了空間線線角、面面角。屬于考(n )二面角 A -CiG A的正切值;拓展提升：作異面直線所成角的常用方法有：(i)平移

8、法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另外一條直線 的平行線或利用中位線；(2)補形法：把空間圖形補成熟悉的 幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系。一般來 說平移是最常用的，應(yīng)作為求兩異面直線所成角的首選方法;(3)向量法 解與二面角有關(guān)問題時要注意：(1)找出二面角的平面角，主 要是用三垂線定理或其逆定理(2)求二面角，主要是解三角形 或是用射影法。【變式訓(xùn)練】 如圖，已知ABCD ABC1是棱長為3的正方體,點 E 在 AA 上，點 F 在 CCU：,且 AE = FC1 =i.(i)求證：E, B, F, D四點共面；(4分)2(2)若點G在BC上，BG =，點M在BB

9、上，3GM BF ,垂足為H ,求證：EM，平面BCCB； (4分)(3)用6表示截面EBFD1和側(cè)面BCCB所成的銳二面角的大小，求 tan6 . (4分)本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識和基本運算,考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力.滿分 12分.題型六求空間距離【典例5 （2004福建卷）在三棱錐 S ABC中， ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC，平面 ABC, SA=SC=2 J3 , M、N 分別為 AB、SB 的中點.（I）證明：ACXSB;（n）求二面角 N CM B的大??； （m）求點B到平面CMN的距離.分析：本小題主要考查直線與

10、直線、直線與平面、二面 角、點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力.若按常規(guī)方法解，（1）需作輔助線再構(gòu)造一平面， 可得線面垂直結(jié)論，即可證得線先垂直；（2）由三垂線定理作出二面角的平面角，再由直角三角形知識即可求解；（3）由等體積轉(zhuǎn)換VB CMN =VNCMB即可求解.但解此題用 下面的空間向量知識解更簡捷 .解析：本小題主要考查直線與直線 ，直線與平面，二面角，點到平面的距離等基礎(chǔ)知識：考查空間想象能力和邏輯推理能力.拓展提升：此題三個小問題層層深入，由（1）證明線線垂直，（2）又利用三垂線定理及勾股定理求二面角，（3）由三角形等面積轉(zhuǎn)換求線段，進而由等體積求點到平面距離

11、.這是一道 考查立體幾何知識較全面立體幾何中的求距離， 也是高考中的命題熱點， 其中點到平面的距離的計算是立體幾何中的 一個難點.求點到平面距離，一般方法是先由該點向平面引垂線確定垂足，把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為解三角形求解，需要作輔助線，然后通過邏輯推理論證及計算，（一作，二證，三計算）或用向量法。 【變式訓(xùn)練】.（07 遼寧）如圖，在直三棱柱 ABCA1B1G 中，NACB=900, AC = BC = a , D, E 分 別為棱AB, BC的中點，M為棱AA上的點，二面角 M - DE A為30 .證明：AB 1C1D ；（II）求MA的長，并求點 C到平面MDE的距離.本小題主要考查空間

12、中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力與思維能力.BE.（ 06福建）如圖，四面體 ABCD中，O、E分別BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2 （I ）求證：AOL平面BCD ;（n ）求異面直線 AB與CD所成角的大??； （出）求點E到平面的距離.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力 .3. （2006湖北高考）如圖,已知正三棱柱 ABC-A舊iCi的側(cè)棱長和底面邊長均為 1,M是 底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CCi上的點，且CN=2CiN.（I ）求二面角 Bi AM N的平面角的余弦

13、值；（n）求點Bi到平面AMN的距離.本小題主要考查線面關(guān)系、二面角和點到平面距離的有關(guān)知識及空間想象能力和推理運算能 力.考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.方法與技巧（一）位置關(guān)系：.兩條異面直線相互垂直證明方法：證明兩條異面直線所成角為90。；能證明兩條異面直線的方向量相互垂直。.直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個平面內(nèi)的一條直線相互平行；（2）證明這條直線的方向量和這個平面內(nèi)的一個向量相互平行；（3）證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。.直線和平面垂直證明方法：證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，（2）證明直線的方向量與這個平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直；（3證明直線

14、的方向量與這個平面的法向量相互平行。.平面和平面相互垂直證明方法：d證明這兩個平面所成二面角的平面角為90。； （2）證明一個平面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個平面；證明兩個平面的法向量相互垂直。（二）求距離：求距離的重點在點到平面的距離， 直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到 平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。.兩條異面直線的距離.| AB n |-求法：利用公式 d =一 （其中a、b分別為兩條異面直線上的一點，n為這兩|n|條異面直線的法向量）.點到平面的距離求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。等體積法。向量法，利r -,| AB

15、n|用公式d = 一 （其中a為已知點，b為這個平面內(nèi)的任意一點，n這個平面的法向|n|量）（三）求角.兩條異面直線所成的角求法：先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得； 通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是（0/,向量所成的角范圍是0,n,如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成2相應(yīng)的銳角。.直線和平面所成的角求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。向量法，先求直線的方向量于平面的法向量所成的角 “，那么所要求的角為 工a或口 工。223.平面與平面所成的角求法：“一找二證三求”，找出這個二面角的平面角，然后再來證明我們找出來的這個角是我們要求的二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。（2）通過射影面積來求. S 射影 一一 ，一一,. 一, COSa = （在其中一個平面內(nèi)找出一個二角形，