高中數(shù)學遞推思想在解題中的應用例析

1、高中數(shù)學遞推思想在解題中的應用例析遞推思想及遞推方法常見于數(shù)列有關題目求解中，然而在實際中卻有許多別的數(shù)學問 題與此思想相結合形成一類“整合性問題”。解決這類問題時如果能融遞推方法于題目之 中，對學生的解題能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是大有裨益的。筆者下面結合教學實際舉例說明 幾種常見情形的應用及求解。一.與有關函數(shù)問題的結合及求解2x例 1.已知函數(shù) fi(X)=2,fn(X)=fifn(X),求 f5(243)的值。1 -X2x-2tan r解析：依據(jù)條件fi(x)=2 ,聯(lián)想到正切函數(shù)的二倍角公式tan29 =2一,于-x21 - tan2 1tan。是條件函數(shù)式可寫成fi(tanH) =- =

2、tan28。所以由條件遞推式 fn (x) =f ifn(x)1 -tan u得：f5(tan e)=tan(258) =tan(32e),所以 f5(2 -3) =f5(tan15 =tan(32x 150) = _套。注：本題靈活的依據(jù)函數(shù) f(x)的結構聯(lián)想三角函數(shù)關系式，類比三角函數(shù)的有關運算規(guī)則結合遞推條件式，應用遞推思想及方法使問題簡易獲解。例2.已知函數(shù)y=f(x)的圖像是自原點出發(fā)的一條折線，當nWyWn+1(nWN)時，該圖像是斜率為bn的線段(其正常數(shù) b#1),設數(shù)列xn,由f(xn) = n。(ne N )定義。(1)求 x1，x2 和 xn。(2)求f(x)的表達式，

3、并寫出其定義域。解析：(1)要求xi,x2，xn只能緊扣題目定義f(xn) = n。探求x1如下：當0Wy W1時，f(xi) -f(0) =b0 =i,f (0)=0, f(x)=1 ,所以 x1 =1。同理 f (x2)-f(xi) = = b。x i _ 0 x 2 _ x i x 2 _ 1所以x2 =1 +1。同理f(xn)f(xn)bn-1,xn 一xn，由此遞推關系可求得： TOC o 1-5 h z bx n _ x n .1b11 一111 bnx n =1 +一 +=。x n2, n 4b b b 1_2b(2 )由 f(xn)=n 知：當 0WyE1 時，f(x)=x ,

4、當 nWyWn+1 時,一一_. n一一_*一、一U、xn Exxn + ,f(x) =n +b(x -xn)(xnxExn 由)(n=N )。(以下略)例3.設f(x)是定義在非零自然數(shù)集上的函數(shù)，滿足 f(1)=2,對任意非零自然數(shù)x有12f (x +1)=(1 +)f (x) +x2 999x 2002。求 f(2002)之值。x 1解：條件等式可轉化為f (x +D -3=x -1001 ,由此遞推關系式可令 x 2 x 1/口 f (2)f(1)f (3)f(2)f (2002) f (2001) TOC o 1-5 h z x =1,2,3, ,2001 得：v v =1 -100

5、1 ov v =2 -1001, V)324320032002= 2001 1001。把上述各式相加得：f(2002)=0。將 f(i)= 2代入得:f (2002) =2003。20032二.與立體幾何某些問題結合及應用71例4.已知底面半徑為r的圓錐，軸截面的頂角為 arccos-71 , 一根繩子由A。用最短的距 72離繞圓錐面一周至 Ai,再由A i用最短的距離繞圓錐面一周至A2。如此下去，求所有繩子長度的總和。ffi 1圖2解：設軸截面頂角為 2a ,母線長為I,側面展開圖中心角為6 ,則2ct=arccos。所72以 cos2ot=71,sino(= 1，又sino( = r= 1

6、。而日=r 360，所以日=30。圖 1 中曲線 AAi 7212I 12 I長為圖 2 中 A0B1 長，從 Ao 作 A0B1 _LSBo 于 B1，作 BA 1 A Bo。再從 A1作 A1B2 _L SB2A0B1 A0B0 SB。 IA1B2 A1B1 SB1 Ic o 第 c og于 B2 ,作 B2A2 _LA0B0 ,由 AA0B1B0 - AA1B2B1 ,所以又 AoBIsinB,且2=%=阻= cose, 0 1A0B1 SA0 SB0所以 A1B2 =A0B1cos日= Isin OcosO ,同理 A2B3 = A1B2 cos日=Isin 8cos2 日=。其中 I

7、 003| cos 6| 0 時 由 kn十一kn =一0。 所 以knkn1 knkn + = ki (工十工十工)k12時，kn 1 0矛盾。當ki k2knk1-kn 1時有bn噂 = bn父0.94 + x , 所以 bn =bn/X0.94 +x(n3)。所以 bn省-bn =(bn -bnJ1) .0.94,所以數(shù)列bn+ bn是以 b2b=x_1.8為首項，以 0.94 為公比的等比數(shù)列。(b2 -b1)(1 -0.94n)b1。bninin)仙-人)(b2-b1)b1 J 0106)bn 1(I _0.94n)=30 0.06當30 xx(x -1.8)=(30 0.060.06)M0.94n。lim bnn_：0.06D 當 30- -0.06x之0即x W1.8時,bn由 bn Wbi =30 ；1.8時，數(shù)列bn是單調lim (30 -n0.060.06)M0.94n, =x-。因為 bn E60即一x- 0.060.0660o 所以 x 3.6 o綜上，每年新增汽車不應超過3.6萬輛?；蛘哂蒪n41 =bn M0.94+x兩邊同除以0.94n*得:bn0.94 n 10.94n以 a b10.9420.94 0.941 b3(),-0.94 0.94b230.9420.94X (-)2 0.94，bnx0.94b1 一M()n。所0.94