高中數(shù)學(xué)考前歸納總結(jié)解三角形?？蓟締栴}歸類

1、解三角形常考基本問題歸類正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形類型的重要工具，其主要作用是將已知 條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系。在近幾年高考中主要有以下五大命題熱點(diǎn):、求解斜三角形中的基本元素：指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線 (高線、角平分線、中線)及周長等基本問題.例1、MBC中，A=，BC= 3,則AABC的周長為()33分析：由正弦定理,求出 b及c,或整體求出b+c,則周長為3+b + c而得到結(jié)果.43sin(B -) 3 3C. 6sin( B ) 34/3sin(B+-) + 36冗D. 6sin(B+-)+3解：由

2、正弦定理得:3sin 一3sin Bsin C sin B sinCsin B sin(-B)得 b+c= 2/3sinB+ sin(- E) = 6sin( B +)36 ,故三角形的周長為:3+ b+ c= 6sin( B + )+ 3,故選(D).6JL評注：由于本題是選擇題也可取ABC為直角三角形時，即 B=,周長應(yīng)為 3d3 +63,故排除(A)、(B)、(C).而選(D).4.6例 2、在 A ABC43,已知 AB =, cosB3,AC邊上的中線BD=J5,求sin A的值. 6分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC再由正弦定理，即得 sin A.解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連

3、接DE則1 _2.6DE/ AB 且 DE = AB = ，設(shè) BE= x23在A BD計利用余弦定理可得:BD 2 = BE 2 + ED 2 - 2BE ED cos BED5 =x28 2 266x336,解得x = 1, x =-(舍去)3 TOC o 1-5 h z 2_ 2_ _ 2_ _ _28故 BG2,從而 AC2 = AB2+BC2 2AB BCcosB =3門口 2.21.30即 AC = 又 sin B =,362,21故sinA = sin A . 30146二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀.例3在 MBC中，已知2sin AcosB

4、 =sinC ,那么AABC一定是（）A.直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形D .正三角形解法 1:由 2sin Acos B =sin C = sin( A+ B) = sin AcosB+ cos Asin B,即 sin AcosB cosAsin B= 0,得 sin( A E) = 0,得 A= B.故選(B).sin C ca2 - c2 - b2解法2：由題意，得cosB= -snC = ,再由余弦定理，得 cosB= -c2sin A 2a2ac22,2a c -b2ac,即 a2=b：得 a=b,故選(B). 2a評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一

5、化為角，再判斷（如解法1）,統(tǒng)一化為邊，再判斷（如解法2）.三、解決與面積有關(guān)問題：主要是利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題.例 4、在 AABC 中，若 /A = 120, AB =5, BC = 7,則 AABC 的面積 S=， ，. ，1-r一一. ，分析：本題只需由余弦定理，求出邊 AC再運(yùn)用面積公式 S= -AB?AQin A即可解決.AB2 AC2 - BC2解：由余弦定理，得cosA= AB一AC一BC-2 TOC o 1-5 h z 25 AC2 - 4912AB * AC=_一 ,10 * AC 215.3一1 一解得 AC= 3. . S= ABAGin A=

6、21 1 _ABAC?sin A= AC?h,得 h=AB? sin22四、求值問題例5、 在AABC中，NA、NB、2C所對的邊長分別為 a、b、c,設(shè)a、b、c滿足條件o oo c 1b +c - bc=a 和一=十%,3,求/A 和 tan B 的值.b 2分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理.b2 c2 - a21解：由余弦定理cosA=-一c因此，/A = 60+2bc 2在 ABC中，Z 0=180-Z A-Z B=120-Z B.- c sinC sin（120 - B）由已知條件，應(yīng)用正弦定理 一、, 3 =b sin B sin Bsin 120 co

7、sB -cos120 sin B ,31=cot B 十一，sin B221 解得 cot B = 2,從而 tan B = .2五、正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用： 利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下：（一.）測量問題例1如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊 選定A、B兩點(diǎn)，望對岸標(biāo)記物 C,測得/ CAB=30 , /CBA=75 , AB=120cm 求河的寬度。分析：求河的寬度，就是求 ABC在AB邊上 的高，而在河的一邊，已測出 AB長、 / CAB / CBA這個三角形可確定。解析:由正弦定理得AC _ AB

8、sin CBA - sin . ACB1 _ _1.AC=AB=120m又Sabc =-AB AC sin ZCAB =-AB CD ,解得CD=60m點(diǎn)評：雖然此題計算簡單，但是意義重大，屬于“不過河求河寬問題”。（二.）遇險問題例2某艦艇測得燈塔在它的東15北的方向，此艦艇以30海里/小時的速度向正東前進(jìn),30分鐘后又測得燈塔在它的東30。北。若此燈塔周圍 10海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險？解析：如圖艦艇在 A點(diǎn)處觀測到燈塔 S在東150北的方向上；艦艇航行半小時后到達(dá)B點(diǎn)，測得S在東30北的方向上。在 ABC中，可知 AB=30 0.5=15, ZABS=150 ,/

9、ASB=15 ,由正弦定理得 BS=AB=15過點(diǎn)S作SC1直線 AB,垂足為C,則SC=15sin30 =7.5。這表明航線離燈塔的距離為7.5海里，而燈塔周圍10海里內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險。點(diǎn)評：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問題，其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；（2）畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究問題有關(guān)的一個或幾個三角形，通過合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。六、交匯問題： 是指正余弦定理與其它知識的交匯，如與不等式、數(shù)列、立體幾何（特別是求角與距離）、解析幾何、實(shí)際問題等知識交匯.3例6、4ABC中，內(nèi)

10、角A,B,C的對邊分別為a,b, c,已知a,b, c成等比數(shù)列，cos B =-.4，、，-，、5 r 3，一（I）求 cotA+cotC的值；（n）設(shè) BA，BC =，求 a+c 的值.2分析：本題是正、余弦定理與向量、等比數(shù)列等知識的交匯，關(guān)鍵是用好正弦定理、余弦定理等.=.1-(4),一 ,3 斛：(I)由 cosB = ，得sinB4.2由b =ac及正弦定理得2 f,*sin B = sin Asin C.cosA cosCsin A sinC-11貝 U cot A cot C =tan A tanC_ sin C cos A cosC sin A sin Asin C TOC o 1-5 h z _ sin(A C) _ sin B _ 1_ 4 -sin