2412垂徑定理課件

1、24.1.2 垂徑定理問題 ：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋, 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m, 拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 問題情境 實(shí)踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸活動一如圖，AB是O的一條弦，做直徑CD，使CDAB，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？

2、?思考OABCDE活 動 二（1）是軸對稱圖形直徑CD所在的直線是它的對稱軸（2） 線段： AE=BE?。?，把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，和 重合，和重合直徑平分弦，并且平分及OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧即，AM=BM,由 CD是直徑 CDAB可推得AD=BD.AC=BC,CDAB,由 CD是直徑 AM=BMAC=BC,AD=BD.可推得幾何語言表達(dá)垂徑定理：推論：“知二推三” (1)垂直于弦 (2)過圓心 (3)平分弦 (4)平分弦所對的優(yōu)弧 (5)

3、平分弦所對的劣弧注意:當(dāng)具備了(1)(3)時,應(yīng)對另一 條弦增加”不是直徑”的限制.你可以寫出相應(yīng)的命題嗎?相信自己是最棒的!垂徑定理的推論 如圖,在下列五個條件中:只要具備其中兩個條件,就可推出其余三個結(jié)論.OABCDM CD是直徑, AM=BM, CDAB,AC=BC,AD=BD.垂徑定理及推論OABCDM條件結(jié)論命題垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平 分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分

4、弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧 辨別是非選擇：如圖：在O中，AB為直徑，CD為非直徑的弦，對于（1）ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所對的弧。若以其中的一個為條件，另兩個為結(jié)論構(gòu)成三個命題，其中真命題的個數(shù)為 （ ）A、

5、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題在RtOAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在圖中如圖，用 表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為O，半徑為R經(jīng)過圓心O 作弦AB 的垂線OC，D為垂足，OC與AB 相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是AB 的中點(diǎn)，C是 的中點(diǎn)，CD 就是拱高實(shí)踐應(yīng)用填空：1、如圖：已知AB是O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，若_，則CE=DE（只需填寫一個你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件）2、如圖：已知AB是

6、O的弦，OB=4cm，ABO=300，則O到AB的距離是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。 OAB第1題圖第2題圖ABCD（或AC=AD，或BC=BD）24H在直徑是20cm的O中，AB的度數(shù)是60，那么弦AB的弦心距是_弓形的弦長為6cm，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為. 已知P為O內(nèi)一點(diǎn),且OP=2cm,如果O的半徑是3cm,那么過P點(diǎn)的最短的弦等于_1如圖，在O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求O的半徑OABE練習(xí)解：答：O的半徑為5cm.活 動 三在Rt AOE 中 2如圖，在O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證

7、四邊形ADOE是正方形DOABCE證明：四邊形ADOE為矩形，又AC=AB AE=AD 四邊形ADOE為正方形.挖掘潛力某地有一座圓弧形拱橋圓心為，橋下水面寬度為、2 m ，過O 作OC AB 于D， 交圓弧于C，CD=2、4m， 現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面（AB）2m的貨船要經(jīng)過拱橋，此貨船能否順利通過這座拱橋？CNMAEHFBDO船能過拱橋嗎解:如圖,用 表示橋拱, 所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與 相交于點(diǎn)C.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點(diǎn),C是 的中點(diǎn),CD就是拱高.由題設(shè)得在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R3.9（m）.在RtO

8、NH中，由勾股定理，得此貨船能順利通過這座拱橋.例2 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OECD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.OCDEF問題2(1)如圖,已知O的半徑為 6 cm,弦 AB與半徑 OA的夾角為 30 ,求弦 AB 的長.OAOCABM(2)如圖,已知O的半徑為 6 cm,弦 AB與半徑 OC互相平分,交點(diǎn)為 M , 求 弦 AB 的長.630EB（3）.如圖，有一圓弧形橋拱，拱形的半徑為10米，橋拱的跨度AB=16米，則拱高為 米。ABCD4O1.過o內(nèi)一點(diǎn)M的最長的弦長為10,最短弦長為8,那么o的半徑是2.已知o的弦AB=6,直徑CD=10,且ABCD,那么C到AB的距離等于3.已知O的弦AB=4,圓心O到AB的中點(diǎn)C的距離為1,那么O的半徑為4.如圖,在O中弦ABAC,OMAB,ONAC,垂足分別為M,N,且OM=2,0N=3,則AB= ,AC= ,OA=BAMCON51或964Cm1.在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB = 600mm，求油的最大深度. ED 600CD知識延伸在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面的油面寬AB =