平面向量基本定理以及坐標表示課時

1、關于平面向量的基本定理及坐標表示課時第一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月問題提出 1. 向量加法與減法有哪幾種幾何運算法則？ 2.怎樣理解向量的數(shù)乘運算a？ （1）|a|=|a|；（2）0時，a與a方向相同；0時，a與a方向相反；=0時，a=0.第二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3.平面向量共線定理是什么？ 4.如圖，光滑斜面上一個木塊受到的重力為G，下滑力為F1，木塊對斜面的壓力為F2，這三個力的方向分別如何？三者有何相互關系？GF1F2非零向量a與向量b共線 存在唯一實數(shù)，使ba. 第三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月5.在物理中，力是一個向量，力的合成就是

2、向量的加法運算.力也可以分解，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就會形成一個新的數(shù)學理論.第四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月平面向量基本定理和正交分解及坐標表示第五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月探究（一）：平面向量基本定理 思考1：給定平面內任意兩個向量e1，e2，如何求作向量3e12e2和e12e2？ e1e22e2BCO3e1Ae1D3e12e2e1-2e2第六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考2：如圖，設OA，OB，OC為三條共點射線，P為OC上一點，能否在OA、OB上分別找一點M、N，使四邊形O

3、MPN為平行四邊形？MNOABCP第七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考3：在下列兩圖中，向量不共線，能否在直線OA、OB上分別找一點M、N，使 ？OABCMNOABCMN第八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考4：在上圖中，設 =e1， =e2， =a，則向量 分別與e1，e2的關系如何？從而向量a與e1，e2的關系如何？OABCMNOABCMN第九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考5：若上述向量e1，e2，a都為定向量，且e1，e2不共線，則實數(shù)1，2是否存在？是否唯一？OABCMNOABCMN第十張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考6：若向量a

4、與e1或e2共線，a還能用1e12e2表示嗎？e1aa=1e1+0e2e2aa=0e1+2e2第十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考7：根據(jù)上述分析，平面內任一向量a都可以由這個平面內兩個不共線的向量e1，e2表示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內容嗎？若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.第十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考8：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底. 那么同一平面內可以作基底的向量有多少組？不同基底對應向

5、量a的表示式是否相同？若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.第十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月探究(二):平面向量的正交分解及坐標表示 0，180 思考1：不共線的向量有不同的方向，對于兩個非零向量a和b，作 a， b，如圖.為了反映這兩個向量的位置關系，稱AOB為向量a與b的夾角.你認為向量的夾角的取值范圍應如何約定為宜？baabABO第十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考2：如果向量a與b的夾角是90，則稱向量a與b垂直，記作ab. 互相垂直的兩個向量能否作為平面內所有向量的一組基底？b

6、a第十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考3：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量a與i的夾角是30，且|a|=4，以向量i、j為基底，向量a如何表示？BaiOjAP第十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考4：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得 axiyj.我們把有序數(shù)對（x，y）叫做向量a的坐標，記作a(x，y).其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，上式叫做向量的坐標表示.

7、那么x、y的幾何意義如何？aixyOjxy第十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考5：相等向量的坐標必然相等，作向量 a，則 (x，y)，此時點A是坐標是什么？AaixyOjA(x,y)第十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月理論遷移 例1 如圖，已知向量e1、e2，求作向量2.5e13e2.e1e2COA2.5e1B3e2第十九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 如圖，寫出向量a，b，c，d的坐標.2452abcd4252xyOa=(2,3)b=(-2,3)c=(-2,-3)d=(2,-3)第二十張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 例3 如圖，在平行四

8、邊形ABCD中， =a， =b，E、M分別是AD、DC的中點，點F在BC上，且BC=3BF，以a，b為基底分別表示向量 和 .ABEDCFM第二十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月小結作業(yè) 1.平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運算基礎上的向量分解原理，同時又是向量坐標表示的理論依據(jù)，是一個承前起后的重要知識點.2.向量的夾角是反映兩個向量相對位置關系的一個幾何量，平行向量的夾角是0或180，垂直向量的夾角是90.第二十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 3.向量的坐標表示是一種向量與坐標的對應關系，它使得向量具有代數(shù)意義.將向量的起點平移到坐標原點，則平移后向量的終點

9、坐標就是向量的坐標.作業(yè)：P102習題2.3B組：3，4.第二十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2.3.3 平面向量的坐標運算2.3.4 平面向量共線的坐標表示第二十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月問題提出1.平面向量的基本定理是什么？ 若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.2.用坐標表示向量的基本原理是什么？設i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若axiyj，則a(x，y).第二十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3.用坐標表示向量，使得向量具有代數(shù)特征，并且可以將向量的幾何運算

10、轉化為坐標運算，為向量的運算拓展一條新的途徑.我們需要研究的問題是，向量的和、差、數(shù)乘運算，如何轉化為坐標運算，對于共線向量如何通過坐標來反映等.第二十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月平面向量的坐標運算及向量共線的坐標表示第二十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月探究（一）：平面向量的坐標運算 思考1：設i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),則ax1iy1j，bx2iy2j，根據(jù)向量的線性運算性質，向量ab，ab，a（R）如何分別用基底i、j表示？ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1

11、j.第二十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考2：根據(jù)向量的坐標表示，向量 ab，ab，a的坐標分別如何？ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.第二十九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考3：如何用數(shù)學語言描述上述向量的坐標運算？ 兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）；實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).第三十張，PPT共四十二

12、頁，創(chuàng)作于2022年6月oxyBA思考4：如圖,已知點A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量 的坐標如何？一般地，一個任意向量的坐標如何計算？ (x2x1，y2y1). 任意一個向量的坐標等于表示該向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標.第三十一張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考5：在上圖中，如何確定坐標為(x2x1，y2y1)的點P的位置？oxyBAP(x2-x1,y2-y1)第三十二張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考6：若向量a=(x，y)，則|a|如何計算？若點A(x1,y1)，B(x2，y2)，則 如何計算？ AaxyO第三十三張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2

13、022年6月探究（二）：平面向量共線的坐標表示 思考1：如果向量a，b共線（其中b0），那么a，b滿足什么關系？思考2：設a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共線（其中b0），則這兩個向量的坐標應滿足什么關系？反之成立嗎？ ab.向量a，b（b0）共線 第三十四張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月axyObABCD思考3：如何用解析幾何觀點得出上述結論？向量a，b（b0）共線 第三十五張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考4：已知點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若點P分別是線段P1P2的中點、三等分點，如何用向量方法求點P的坐標？xyOP2P1PPP第三

14、十六張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月思考5：一般地，若點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，點P是直線P1P2上一點，且 ，那么點P的坐標有何計算公式？xyOP2P1P第三十七張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月理論遷移 例1 已知a=(2,1), b=(3,4),求 ab，ab，3a4b的坐標. ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19). 第三十八張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 例2 如圖，已知 ABCD的三個頂點的坐標分別是A（-2，1）、B（-1,3）、C(3,4)，試求頂點D的坐標.oxyABCD D（2，2） 第三十九張，PPT共四十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 例3 已知向量a=(4，2)，b=(6，y),且ab，求y的值.y3 例4 已知點A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A、B、C三點是否共線？，A、B、C三點共線. 第四