2020年遼寧省大連市高考數(shù)學二模試卷(理科)(有答案解析)

1、第 頁，共15頁2020年遼寧省大連市高考數(shù)學二模試卷（理科）一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分）1.2.3.復數(shù)仃是虛數(shù)單位），則Z的模為（A.OB.1已知全集集合A=-1,0,1,A.-1,0,1B.-1,0,1,命題TaeR,sina=0”的否定是（A.magR,sinaxOC.PawR.sma2,x|a0D.2則API(QB)=(D.x|-lx2題號-二三總分得分4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在（4,+8）上單調(diào)遞增的是（）-siiivB）=|x|D.v=ln(QF+1+x)己知等比數(shù)列血的前”項和為S”S尸2S“則數(shù)列/的公比尸（）A.-1B.1C.1D.2過橢圓+=1的中心任

2、作一直線交橢圓于P、0兩點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則PQF周長的最小值是（）7.A.14B.16C.18D.20把標號為1,2,3,4的四個小球分別放入標號為1,2,3,4的四個盒子中,每個盒子只放一個小球，則1號球不放入1號盒子的方法共有（）A.18種B.9種C.6種D.3種己知圓錐的母線長為6,母線與軸的夾角為30。，則此圓錐的體積為（A.27nB.C.9ttD.3、t執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出結果為1,則可輸入的實數(shù)x值的個TOC o 1-5 h z數(shù)為（）123410設a=log43,b=log52,c-logs5,貝I(C.bacD.cabA.abcB.bc0）的左焦點，過點F且傾

3、斜角為30。的直線與曲線E的兩條漸近線依次交于A，B兩點，若A是線段FB的中點，且C是線段AB的中點，則直線0C的斜率為OA.-3B.旃C.-33D.33函數(shù)/（x）=er-1-er1+asiiiJLX（xeR,e是自然對數(shù)的底數(shù)，。0）存在唯一的零點，則實數(shù)a的TOC o 1-5 h z取值范圍為（）A.（0,自B.（0,彳）C.（0,2D.（0,2）二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）在厶ABC中，siii2A=sin2B+siifC-suiBsinC,則乙A=.已知函數(shù)_V=f（X）是定義域為R的偶函數(shù)，且fCv）在0,+s）上單調(diào)遞增，則不等式/（2X-1）f（A-2）的解集為.

4、已知各項都為正數(shù)的數(shù)列仗,其前n項和為Sn,若4S,嚴（a+疔,則勺嚴.點rA,B為單位圓（圓心為0）上的點，0到弦AB的距離為孕C是劣弧肋（包含端點）上一動點，若OC=XOA+llOB，卩氏），則入+卩的取值范圍為三解答題（本大題共7小題，共84.0分）已知函數(shù)f（a）=yi3sina）xcosu）x-cos2u）x+（a0）,An七是函數(shù)f（x）的零點，且加切的最小值為？（I）求3的值；（U）設a,pe（0,訂，若八孑+訂=4,八4一善）=芻,求COS（a-p）的值.某廠包裝白糖的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布N（500,5-）（單位：g）（I）求正常情況下，任意抽取一包

5、白糖，質(zhì)量小于485g的概率約為多少？（口）該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包白糖，稱得其質(zhì)量均小于485g,檢測員根據(jù)抽檢結果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.附：XN（p,a2）,則P（）=0.6826,P（|.i-2oX|.i+2o）=0.9544,P（.i-3oX0）,其焦點到準線的距離為2,直線/與拋物線C交于兒3兩點,過A,B分別作拋物線C的切線h,b,h與乙交于點M.（I）求的值；（）若M求MB面積的最小值.己知x=l是函數(shù)/（尤）=ax2+-xlnx的極值點（I）求實數(shù)a的值;（口）求證：函數(shù)f（Q存在唯一的極小值點和且0/%）?（

6、參考數(shù)據(jù)：加20.69,其中。為自然對數(shù)的底數(shù)）22.在平面直角坐標系xOy中，直線h過原點且傾斜角為a(0a2t的解集；(H)當不等式f(x)1的解集為/?時，求實數(shù)。的取值范圍.答案與解析1答案：C解析：解:v=-l+/國=（-1）2+2=厲故選：C.由已知直接利用復數(shù)模的計算公式求解.本題考查復數(shù)模的求法，是基礎題.2.答案：A解析：解：CiB=x|xV2；.-.AO（3）=-b0,1.故選：A.進行交集、補集的運算即可.考查描述法、列舉法的定義，以及補集、交集的運算.3答案：B解析：解：特稱命題的否定是全稱命題，.-3aE.R,sina=0的否定為：PaWR,sinaxO,故選：B.直

7、接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可.本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，屬基礎題.答案：D解析：解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A,A-SHLV,為正弦函數(shù)，在（4,+8）上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；對于B,為偶函數(shù)，不符合題意；對于C,是奇函數(shù)但在（_8,訟）上單調(diào)遞減，不符合題意；對于D,尸曲（聲門+兀），既是奇函數(shù)又在（-00,七0）上單調(diào)遞增，符合題意；故選：D.根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得可得答案.本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，關鍵是掌握常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎題.答案：C解析：解：根據(jù)題意，等比數(shù)列伽中，S尸2S?,

8、貝I（血+他+心+心）=2（1+2）,變形可得：心+山=血+。2,進而可得：曠=1,解可得曠1，故選：C.根據(jù)題意，分析可得伽+處+的+山）=2（Ch+az）,變形可得：d3+d4=di+d2,進而可得q=l,解可得q的值，即可得答案.本題考查等比數(shù)列的前”項的性質(zhì)以及應用，屬于基礎題.6.答案：C解析：【分析】本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了橢圓定義的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題.由題意畫出圖形，然后利用橢圓的對稱性把ZiPFO的周長轉化為橢圓上的點到兩焦點的距離之和及過原點的線段的長度問題，則答案可求.【解答】解：如圖，由橢圓的定義PF+PF,=2a由橢圓的對稱性知葉陽,.旬

9、PF田QF=2a,而的最小值是2b,.-.a=5,b=4,PFQ的周長的最小值為2a+2b=2(ci+b)=18故選：C.7.答案：A解析：解：由于1號球不放入1號盒子，則1號盒子有2、3、4號球三種選擇，還剩余三個球可以任意放入剩下的三個盒子中，則2號小球有3種選擇，3號小球還剩2種選擇，4號小球只有1種選擇，根據(jù)分步計數(shù)原理可得1號球不放入1號盒子的方法有C和扭1=18種，故選：A.先確定1號盒子的選擇情況，再確定2、3、4號盒子的選擇情況，根據(jù)分步計數(shù)原理即可求解.本題考查排列組合問題，對于特殊對象優(yōu)先考慮原則即可求解，屬于基礎題.8答案:B解析：【分析】本題考查了圓錐的結構特征，圓錐的

10、體積的計算，屬于基礎題.根據(jù)勾股定理得出圓錐的底面半徑，代入側面積公式計算.【解答】解：圓錐的母線長為6,母線與軸的夾角為30。，圓錐的底面半徑為3,高為3筋.圓錐的體枳為：、兀x9x3筋=9袒兀.故選:B.9答案：B解析：解：根據(jù)題意，該框圖的含義是：當戲2時，得到函數(shù)尸F(xiàn)-1；當a2時，得到函數(shù)Wog2.r,因此，若輸出的結果為1時，（1）若定2,得到a2,得到log2A=l,解得x=2,（舍去），因此，可輸入的實數(shù)x的值可能為-農(nóng)，農(nóng)，共有2個.故選:B.（x2lX2*由此解出關于X的方程/（A）=1,即可得到可輸入的實數(shù)X值的個數(shù).本題主要考查了分段函數(shù)和程序框圖的理解等知識，屬于基礎

11、題.10倍案：B解析：解：=!0943=篇=器，c=/o85=|=|；aAc；log52logQ8-.cb；.-.acb；.bcc,容易得出do/?臺，如85扌，從而得出cb,這樣即可得出a,b,c的大小關系.考查對數(shù)的運算性質(zhì)，以及對數(shù)的換底公式，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.11答案：D解析：【分樸】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線漸近線的位置關系，考查中點坐標公式與斜率公式，屬于中檔題.設B（Xo,負）,表示出A點坐標，代入漸近線方程得出axoW，求出C點坐標，根據(jù)斜率公式求出?的值，即可得出oc的斜率.【解答】解:F(-c,0)，設B(%0負）把A點坐標代入方程)=舟可得第=寫,Q2aQ2整理

12、可得X0氣，MG，善)，BG，穿，CG畫)*故為，be又直線BF的斜率為壬131130。=,十3kocTp?.故選D，則0(1)至(1)，12倍案：A解析：解：函數(shù)八小=宀4+比sinm(眈乩e是自然對數(shù)的底數(shù)，。0)存在唯一的零點等價于：函數(shù)(P(x)=dsin；LT與函數(shù)g(j)=e1v-ev1只有唯一一個交點，v(p(1)=0,g(1)=0函數(shù)Q,嚴】0,:.g(x)=-elx-ex-1在R上恒小于零,即g(x)=嚴嚴在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，又(x)=dsin7LY(a0)是最小正周期為2,最大值為a的正弦函數(shù)，.可得函數(shù)cp(x)=asin7tx與函數(shù)g(x)=elx-exA的人致圖彖如

13、圖：要使函數(shù)-2,解得fl0,實數(shù)4的范圍為(0,二故選：A.函數(shù)/(%)=嚴曲+血111兀丫gR,e是自然對數(shù)的底數(shù)，a0)存在唯一的零點等價于函數(shù)cp(a)=siii7LV與函數(shù)g(x)=elx-ex1只有唯一一個交點，由(p(1)=0,g(1)=0，可得函數(shù)q(x)=asin兀y與函數(shù)g(x)=占_嚴唯一交點為(1,0),gCv)的單調(diào),根據(jù)單調(diào)性得到(A-)=sm7LX-與函數(shù)g匕)=円匚嚴】只有唯一一個交點，則0(1)gf(1),即可解得實數(shù)a的取值范圍.本題主要考查了零點問題，以及函數(shù)單調(diào)性，解題的關鍵是把唯一零點轉化為兩個函數(shù)的交點問題,通過圖彖進行分析研究，屬于難題.13倍案：

14、解析：【分析】本題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，屬于中檔題.利用正弦定理化簡已知的等式，再利用余弦定理表示出cosA,將化簡后的式子整理后代入求出co的值值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出4的值.【解答】解：由正弦定理化簡sin2A=sufB+snfC-siiiB*smC,得:a2=b2+c2-bc9即b2+c2-a2=bc9.cosA=2bcbe12bc2又為三角形的內(nèi)角,故答案為扌.14.答案：(-00,-1)U(1,+00)解析：【分析】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合運用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)之河的關系將不等式進行轉化是解決本題的關鍵，為中檔題.

15、根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)結合函數(shù)的單調(diào)性可得/(|2.r-l|)/(M)，進而可得|比1|”2|,解可得的取值范圍，即可得答案.【解答】解：根據(jù)題意：當/(2a-1)/(x-2)時，即/(|2v-l|)/(|x-2|)=|2a-1|x-2|,變形可得：4啟4.丫+1a2-4a+4,解可得x1,即不等式的解集為(亠，-1)U(1,+Q；故答案是(-8,-1)U(1,訟).15.答案：2/?-1解析：【分析】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，關鍵是得出數(shù)列”為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題./?=1時，4fli=(f/i+l)解得6/1=1,當“22時，+1,推導出(rz-f

16、ln-i-2)=0,從而a如=2,進而數(shù)列心是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，由此能求出結果.【解答】解：各項都為正數(shù)的數(shù)列血，其前項和為S”，4S”=(a+l)2=a+2an+1,”=1時，4a1=（i+l）2=i2+267i+1=0,解得6/1=1，當必2時，4S,“=a,厶+2%_i+1,-,得：4為=此一舛厶+2（fl/i-fl/i-i）,-（）（6?/j-67/-1-2）=0,數(shù)列各項都為正數(shù)，drG“l(fā)=2數(shù)列血是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，1+5-1）x2=2/?-l,且驗證”=1時也成立,故答案為：2n-l.16答案：1,爭解析：解：如圖以圓心O為坐標原點建立直角坐標系，設A，

17、B兩點在A-軸上方且線段AB與y軸垂直，,B為單位圓（圓心為O）上的點，O到弦AB的距離為當點、A（3,疥，點B百，弓），G，疥，G，疥即必4甞），監(jiān)=0廣九0力+卩0曠G，學），又C是劣弧AB（包含端點）上一動點，設點C坐標為（Xy）,yo(rloloB=(A-,y),馬令衛(wèi)嚴1,解得：故狂卩的取值范圍為1,容.以圓心O為坐標原點建立直角坐標系，設A，B兩點在X軸上方且線段與y軸垂直，分別表示出A,3兩點的坐標，求出前、刖向量，即可表示出肚向量，由于C是劣弧AB（包含端點）上一動點,可知肚向量橫縱坐標的范闈，即可求出狂卩的取值范圍.本題主要考查了向量的綜合問題以及圓的基本性質(zhì)，解題的關鍵是建

18、立直角坐標系，表示出各點坐第 頁，共15頁第11頁，共標，屬于中檔難度題.17.答案：解：（I）f（A-）=3smajxcos（DX-cos2tox+=ysiii2cD.r-cos2cDA-=2/7j（2co.r-）,肚以|的最小值為？筲，即r=7T,得3=1.（U）由（I）知：/（x）=sm（2瑋），寸（2+罟）=sh】3礙-呂）=sin（a+|）=cosa=?,f（#一善）=sin（卩-譽專）=sin（卩-冗）=-sin|3=-石,則sinp=舌，jt412又a,pe（0,-）,.-.sma=5，cosp=,.-.cos（a-卩）=cosacosp+sinasinB=|x|+售x售=|.解

19、析：（I）利用二倍角公式和輔助角公式整理出f（a）=sin（2cda）,根據(jù)周期求得co：（U）根據(jù)/（%）解析式可求解出cosa,smp：再利用同角三角函數(shù)關系求出suia,cos卩：代入兩角和差余弦公式求得結果.本題考查三角函數(shù)解析式的求解及應用問題，關鍵是考查學生對于二倍角公式、輔助角公式、同角三角函數(shù)關系以及兩角和差公式的掌握情況，考查學生的運算能力，屬于常規(guī)題型.18答案：解：（I）設正常情況卞，該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為Xg,由題意可知XN（500,52）.由于485=500-3x5,所以根據(jù)正態(tài)分布的對稱性與“3。原則”可知：P（X485）=|l-P（500-3X5X0,Xi

20、+x2=4k,兀血=47=4,所以m=1,即人皿+1,9T4(%=2k藝得y=_l即M(2k,-1),y二尹一聯(lián)立方程x2y=尹一M點到直線/的距離d遼+：嚴2（蘭）MB卜J1+0（衍+尢2）2_4衍*2=4（1+Q,所以S氣4（1+Q）譽等=4（1+臚）4.當k=0時，aMAB面積取得最小值4.解析：（I）根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可得到結果；（U）由直線垂直可構造岀斜率關系，得到Xi.r2=-4,通過直線與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關系求得加：聯(lián)立兩切線方程，可用R表示出M,代入點到直線距離公式，從而得到關于面枳的函數(shù)關系式，求得所求最值.本題考查拋物線的性質(zhì)的應用、拋物線中三角形面積最值的求解

21、，關鍵是能夠?qū)⑺竺娣e表示為關于斜率的函數(shù)關系式，從而利用函數(shù)最值的求解方法求出最值.21倍案：解：（I）由已知八小的定義域為（0,+8）且f（x）=2axlnx所以f（l）=2a-=0,即a呂；此時八尤）=/nxp設g（A）=f（Q,則9）=?，則0VxV2時g（x）為減函數(shù).又0（1）=0,。=|-/n2o,所以當0 xl時/（x）為增函數(shù)，lx2時/（A-）為減函數(shù).所八x）的極人值點心1,符合題意.（U）證明：由（I）知/（尤）當0 x1時/（x）為增函數(shù)，lx2時，g（x）0,g（x）為增函數(shù)，g（4）=|2Zn20*g（2）0：所以存在MG（2,4）,使得g（ao）=0；當2axo

22、時，g（a）A-o時，g（x）0,f（A-）為增函數(shù)，所以/（尤）當0 xVl時/（a）為增函數(shù)，1A心時，g（X）0,f（J）為增函數(shù)：所以函數(shù)/（A）存在唯一的極小值點心.乂g（w）=-20；所以尢6（?,4）,且滿足-lnx0=0;所以f（%）=善+勺】眥0=-扌+叼丘（0$；故函數(shù)/（a）存在唯一的極小值點應，且0/（xo）專.解析：本題考查利用函數(shù)極值與導數(shù)關系的綜合應用問題，解決本題的關鍵是能夠利用零點存在定理確定零點處理問題，從而可將證明問題轉化為某一個區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)值域問題的求解，考查了學生基本計算能力以及轉化與劃歸思想，屬于難題.（I）根f（1）=0,求得實數(shù)a的值，通過導數(shù)驗證函數(shù)單調(diào)，可知a今極值點ml,滿足題意；（n）由（I）函數(shù)f（X）的極小點值位于（2,+30）,此時f（A）的零點位于XoE（4）,且Xo為/（X）的極小點值點，代入f（A-）,f（A-）,化簡即可得/（xo）關于M的二次函數(shù)，求解二次函數(shù)在區(qū)間&4）上的值域即可證明結論.22答案：解：（I）由題可知，G的直角坐標方程為：櫛產(chǎn)2x=0,設曲線G上任意一點（x,y）關于直線）對稱點為（心，為），fo=y巾0=爐又卅+yo_2xo=0*即妒+）丄2尸0,曲線C2的極坐標方程為：p=2sm0；（U）直線/】的極坐標方程為：0=a,直線乙的極坐標方程為：