高三數(shù)學(xué)月考、聯(lián)考、模擬試題匯編空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、B1C1空間向量在立體幾何中的應(yīng)用題組一一、填空題1 .（北京五中2011屆高三上學(xué)期期中考試試題理）一個(gè)正方體形狀的無蓋鐵桶 ABCD - AB1c1D1的容積是V ,里面裝有體積為2V的水，放在水平的3地面上（如圖所示）.現(xiàn)以頂點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，將鐵桶傾斜，當(dāng)鐵桶中的水剛好要從頂點(diǎn) A處流出時(shí)，棱AA與地面所成角的余弦值為 答案二211.（福建省廈門雙十中學(xué) 2011屆高三12月月考題理）|AB|=4 ,動(dòng)點(diǎn)P滿足| PA + PB |=4,則點(diǎn)P的軌跡是.答案：以AB為直徑的圓；二、簡答題.（福建省廈門雙十中學(xué) 2011屆高三12月月考題理）（本小題滿分 12分）如圖，已知四棱柱 ABCDH

2、ABCD中，AQ，底面ABCD底面 ABCD邊長為1的正方形，側(cè)棱 AA=2。（I ）求證：GD平面ABBA;（II ）求直線BD與平面A1C1D所成角的正弦值；（出）求二面角 D-AC A的余弦值。 TOC o 1-5 h z 答案 （I）證明：四棱柱ABCD-AB1C1D中，BB/CC1, 又CC10面ABBA,所以CC/平面ABBA , 2分ABCD正方形，所以 CD/AB, 又CK面ABBA, AB匚面ABBA,所以CD平面ABBA, 3分所以平面 CDDG平面 ABBA1, 所以GD平面ABBA 4分（II ）解：ABC虛正方形，AD CD 因?yàn)锳D1平面ABCD所以 AiD AD,

3、 AiD CD如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,在 MDA,中，由已知可得 A1D = 3,所以 D(0,0,0), A (0,0,73), A(1,0,0), Ci(-1,1,3),Bi(0,1, .3),Di(-1,0, . 3),B(1,1,0),BDi =(-2,-1, .3,)因?yàn)锳iD1平面ABCD所以AiD1平面ABiCiDAiD Bi D o又 Bi DA C, TOC o 1-5 h z 所以BQ,平面ACD, 7分所以平面ACD的一個(gè)法向量為n= (i , i, 0) 8分設(shè)BD1與n所成的角為P ,n BDi-33 T- = : =|n|BDi| .2.84所

4、以直線BD與平面ACD所成角的正弦值為(III )解：平面 ACA的法向量為 m=(a,b,c)則 m AG =0,m A A = 0,所以- a b = 0, a - . 3c = 0令 c = 3,可得 m = (3,3, V3)cos : m,n :m n|m|n|42所以二面角DAC1A的余弦值為 42. i 2分4.(北京五中20ii屆高三上學(xué)期期中考試試題理)如圖，正三角形ABC邊長2, CD為AB邊上的高,E、F分別為AC、BC中點(diǎn)，現(xiàn)將 MBC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖(i)判斷翻折后直線AB與面DEF的位置關(guān)系，并說明理由(2)求二面角B -AC - D的余弦值(

5、3)求點(diǎn)C到面DEF的距離答案解：(1)平行(證明略)(2)取AE中點(diǎn)M,角BMW所求，余弦值為 烏7(3) Vc aef =Ve,df ,可得點(diǎn)C到面DEF的距離為2175.(福建省惠安荷山中學(xué)2011屆高三第三次月考理科試卷)(本題滿分13分)如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中，AC= BG= CC=2, Ad BQ D為AB的中點(diǎn).(1)求異面直線 AC1與B1B所成的角的余弦值;(2)求證：AC1 /面B1cD ；(3)求證：人8_1面巳。D答案5.解：(1)在直三棱柱 ABCABG中BB1/CC1./AC1C是AG與BB1所成的角(或其補(bǔ)角) 2分在 RtL ACC1 中，AC =

6、CC1 =2 HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 2.八cos/AGC= 2 4 分(2)連結(jié)B&交B,C于O ,連結(jié)OD。 5分則O為BC1的中點(diǎn)又D為AB的中點(diǎn)- OD / / AC1 7 分O OD 仁面B1CD , AC1 0面 B1CD二 AC1/面 BCD(3)在直三棱柱 ABCABG中AA_ABC,CD CMABC.AA-CD10分Ac=BC,D 是 AB 中點(diǎn).CD _AB二?？赺1面八881Al 11分.CD_LAB 12分同理：B1c _AB13分AB_BD.（寧夏銀川一中2011屆高三第五次月考試題全解全析理）（本小題滿分1

7、2分）如圖，矩形ABC的梯形BEFC所在平面互相垂直,（1）求證：AE平面DCF（2）當(dāng)AB的長為何值時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60s.【分析】（1）只要過點(diǎn)E作BC的平行線即可；（2）由于點(diǎn)B是點(diǎn)A在平面BEFC內(nèi)的射影，只要過點(diǎn)B作EF的垂線即可很容易地作出二面角A-EF-C的平面角，剩下的就是具體的計(jì)算問題。 或者建立空間直角坐標(biāo)系,使用法向量的方法求解?！窘馕觥糠椒ㄒ唬海↖）證明：過點(diǎn)E作EG,CF交CF于G,連結(jié)DG , 可得四邊形bcge為矩形，又ABCD為矩形，所以AD JLEG ,從而四邊形adge為平行四邊形，故AE / DG .因?yàn)锳E平面DCF ,DG仁平面DCF ,

8、所以AE /平面DCF . 6分（n）解：過點(diǎn)B作BH _L EF交FE的延長線于H ,連結(jié)AH .由平面ABCD,平面BEFC , AB , BC ,得AB,平面BEFC ,從而AH _L EF .所以AHB為二面角A EF C的平面角.在 RtA EFG 中，因?yàn)?EG = AD =73 EF = 2 ,所以 NCFE =60, FG=1.又因?yàn)?CE 1 EF ,所以 CF =4 ,BH = BEsin BEH 二23從而BE =CG=3,于是2 ,9因?yàn)锳B =BHtan/AHB所以當(dāng)AB為3時(shí)，二面角A _ EF -C的大小為6012分方法二：如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 CB，CF和

9、CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C xyz 設(shè) AB =a, BE =b, CF =c ,則 C(0,0,0),（I）所以&3,0, a), B(、*0), ECG 吧, AE=(0, b,-a) CB，3,0,0)_ CbLbe =0cbLCe = 0 cbI，從而 CB 一 AE ,所以CB，平面ABE ,因?yàn)镃B，平面dcf ,所以平面ABE /平面F(0, c,0)BE=(0, b, 0)CB BE故AE /平面DCF . 6分c-b 0)CE =(旦 b, 0)所以EFjCE = 0!目1=2,從而(n )解：因?yàn)?EF =( r/3與 b(c-b) =0,3(c二b

10、)2 =2,解得 b =3, c =4,所以 e(J5,3,0)a 二得到 2 .所以當(dāng)AB為2時(shí),F (0,4,0)設(shè) n =。，=(1,、,3,)a .又因?yàn)開12,y, z）與平面AEF垂直,BA,平面 BEFC , BA=(0,0, a)所以面角A _ EF -C的大小為60.12分【考點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，空間向量與立體幾何?！军c(diǎn)評(píng)】由于理科有空間向量的知識(shí)，在解決立體幾何試題時(shí)就有兩套根據(jù)可以使用,這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對(duì)的缺陷,那就是空間向量的運(yùn)算問題,有三個(gè)分坐標(biāo)，在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)極易出現(xiàn)錯(cuò)誤， 而且空間向量方法證明平行和

11、垂直問題的優(yōu)勢并不明顯, 習(xí)立體幾何時(shí)，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應(yīng)用?？臻g向量所以在復(fù).（北京龍門育才學(xué)校 2011屆高三上學(xué)期第三次月考）（本題滿分14分）如圖，在四棱錐 S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形,AC與BD的交點(diǎn)為O , E為側(cè)棱SC上一點(diǎn).（I）當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時(shí)，求證：SA/平面BDE ；（n）求證：平面BDE _L平面SAC ；（出）（理科做）當(dāng)二面角EBDC的大小為45口時(shí)，試判斷點(diǎn)E在SC上的位置，并說明理由.答案7.（本題滿分14分）如圖，在四棱錐 S -ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊

12、三角 形，AC與BD的交點(diǎn)為O , E為側(cè)棱SC上一點(diǎn).（I）當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點(diǎn)時(shí)，求證： SA/平面BDE ；（n ）求證：平面 BDE _L平面SAC ；（出）（理科做）當(dāng)二面角 EBDC的大小為45時(shí)，試判斷點(diǎn)E在SC上的位置，并說明理由.解法一：證明：（I）連接OE ,由條件可得 SA / OE .因?yàn)镾A?平面BDE , OE i平面BDE ,所以SA /平面BDE .（n）由已知可得， SB=SD, O是BD中點(diǎn)，所以BDA SO.又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BD人AC .因?yàn)锳C0|SO=O,所以BD _L WSAC.又因?yàn)锽D仁面BDE ,所以平面BDE 1平面 SAC

13、.（出）解：連接OE ,由（n）知BD 1WSAC.而 OE 二面SAC,所以 BD 1OE .又 BD _LAC .所以ZEOC是二面角E -BD -C的平面角, 即 ZEOC =45.設(shè)四棱錐S - ABCD的底面邊長為2,在 iSAC 中，SA = SC=2, AC = 272 , 所以 SO=應(yīng).又因?yàn)?OC = AC = 2 , SO OC , 2所以ASOC是等腰直角三角形.由/EOC=45可知，點(diǎn)E是SC的中點(diǎn).解法二：（I）同解法一ZS（n）證明：由（I）知 SO _L 面 ABCD, AC _L BD .建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,則 O

14、(0, 0, 0) , S(0, 0,衣)，A(五 0, 0 ), B(0,五,0 )C - 2, 0, 0 , D 0,-所以 AC =2乏 0, 0 ), BD =(0,-2交 0 )D.-I，：1*一 二、V / O .B .y設(shè)CE=a (0a2),由已知可求得 NECO =45 .所以 E(-V2 + a, 0, a) , BE =(-72+ a, -72, -a).2222設(shè)平面BDE法向量為n =（x, y, z）,n BD =0,則,一 ，即n BE = 0y =0,(-2 a)x - 2y 5 az = 0.令 z=1,得 n =(-a-, 0, 1).2 -a易知BD =

15、(0, -2 J2, 0 )是平面SAC的法向量.因?yàn)?n BD =(-a-, 0, 1) (0, 2, 0)=0, 2 -a所以n _L BD ,所以平面BDE 1平面SAC.(出)解：設(shè) CE =a ( 0 a 2),由(n)可知,平面BDE法向量為n =(二一，0, 1).2 -a因?yàn)镾O_L底面ABCD ,所以O(shè)S =(0, 0, J2)是平面SAC的一個(gè)法向量.由已知二面角 E -BD -C的大小為45 t所以T.2cos IOS, n ), = cos 45 =, 2所以點(diǎn)E是SC的中點(diǎn).8.（北京四中2011屆高三上學(xué)期開學(xué)測試?yán)砜圃囶}）（本小題滿分13分）已知：如圖，長方體巫一

16、431cl口i中，、f分別是棱力C , 上的點(diǎn)，次二期二2。理由陷= 124.（1）求異面直線E尸與A所成角的余弦值;（2）證明AF _L平面葷”；（3）求二面角的正弦值.如圖所設(shè)依題意(1)易/一 ,于是屈.甌=0,設(shè)平面EFD的法向量乳=(工取),則答案解：法一：示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，f 3 得弧 2,。)加21),4(QQ4),空/ J彳麗=(02Y),cos(甌而 = |竺;比=一 ：于是一13所以異面直線E產(chǎn)與A0所成角的余弦值為5(2)已知因此，乂如1的，又地c&)= 不妨令X=1,可得二。2-1)。由(2)可知，AF為平面&ED的一個(gè)法向量。口到二瑞從而哪司邛

17、在所以二面角A-ED-F的正弦值為 3 法二：1連由故易所所(1)設(shè) AB=1,可得 AD=2,AA=4,CF=1.CE= 2 接BiC,BG,設(shè)BC與BC交于點(diǎn) M,易知AD BC, CE CF _1CB CC 4,可知 EF/BC.UMC 是異面直線EF與AiD所成的角，IbqM TOC o 1-5 h z 知 BM=CM=,BM + CM-BC* 3 HYPERLINK l bookmark41 o Current Document cosZ5mC =-以一，一:1 ,3以異面直線FE與AiD所成角的余弦值為 5連接AC,設(shè)ACW DE交點(diǎn)N因?yàn)锽C AB 2 ,所以 RihDCB r

18、RiKCBA,從而 ZCDE=/.BCA,又由于 NCDE+ZCED = 90。,所以 ZBCA+ZCSD = 90。,故ACL DE,又因?yàn)镃C，DE且CqC*C二C,所以DE1平面ACF,從而AF DE.連接BF,同理可證 BC平面ABF,從而AFBC,所以AF AiD因?yàn)镈EC&D二D ,所以af,平面AiED.(3)連接 AiN.FN,由(2)可知DEL平面ACF,又 NFC平面 ACF, AiN匚平面 ACF,所以 DE! NF,DE AiN,故7， 為二面角A-ED-F的平面角.CN_EC 易知 RltiCNB -媯CBA,所以 bc AC ,又乂C=J5所以5 , woRtMIC

19、F中,*二在興+必齊二 在：在劉郎沖平二，/ +,二當(dāng)連接ACi,AiF在及短子中，產(chǎn)二阿亨二川753-嚙菱菖。所/*所以二面角Ai-DE-F正弦值為 3 .9.(浙江省金麗衢十二校 2011屆高三第一次聯(lián)考理)(本題滿分14分)如圖，在長方體 ABCD AB1cQ1中，AA =2AB=2AD ,且PC1 =ZCC1(0Z1).(I )求證：對(duì)任意0 c九父1,總有AP _L BD ;(II )若九=1，求二面角P AB B的余弦值；3平分/BAC ?若存在，求出兒的值，若不存在,(III )是否存在 九，使得AP在平面B1AC上的射影說明理由.AB答案解：(I)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 DA、

20、DC、DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè) AB =1,則 D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B (1,1,2),G(0,1,2), P(0,1,22九)，從而 BD =(-1,-1,0), AP = (-1,1,2-2九),二 BDLAp =0,即 AP _L BD .(4分) 14()由(1)及 九=一得，AP =(-1,1-), AB1 =(0,1,2),331 x y = 0一萬設(shè)平面ABP的法向量為口=（1?,丫），則（3x 2y =0從而可取平面 ARP的法向量為n = （2,6, 3）,又取平面 ABB的法向量為 m =

21、（1,0,0）,且設(shè)二面角 PABB為e,所以 cos （III ）假設(shè)存在實(shí)數(shù) 人（0（兒1）滿足條件,由題結(jié)合圖形，只需滿足 AP分別與AC、人31所成的角相等,5 -4APUACAPUAB1ap|)ac|apa442 -8 6L-2.4-2 _8 6|_.5 5-105-10解得 九=-一 w （0,1）,所以存在滿足題意得實(shí)數(shù),使得AP在平面B1AC上44的射影平分.BAC(14 分)題組二、選擇題.（浙江省菱湖中學(xué) 2011屆高三上學(xué)期期中考試?yán)恚┑闹悬c(diǎn)/ ABC=90 ,則點(diǎn)D到面SBC的距離等號(hào)三棱錐 S ABC中，SA!底面 ABC SA=4, AB=3, D 為 AB( )1

22、2A.5答案C.（河南省長葛第三實(shí)驗(yàn)高中2011屆高三期中考試?yán)恚﹎,n w R且n豐0）則等于 n向量a =（1,2）,b = （2,3），若manb與a+2b共線（其中1A.2答案A.1 B.2C. - 2D. 2二、填空題3.（浙江省桐鄉(xiāng)一中2011屆高三文） 如圖，邊長為 a的正 ABC的中線AF與中位線 DE相交于 G已知 A ED是4AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列命題:動(dòng)點(diǎn)A在平面ABC上的射影在線段 AF上;三棱錐A FED的體積有最大值；恒有平面 A GFL平面 BCED異面直線 A E與BD不可能互相垂直；異面直線FE與AD所成角的取值范圍是（0,2,其中正確命

23、題的序號(hào)是.（將正確命題的序號(hào)都填上）-6a, 3cos / BED：222BE DE -BD/ BEB120答案三，解答題4.（河北省唐山一中2011屆高三文）（本題滿分12分）已知四棱錐PABCD勺底面是正方形，PA1底面ABCD#面直線PB與C而成的角為45 .求: 二面角B- PC- D的大?。?直線PB與平面PC所成的角的 大小.答案4.解：= AB/ CD / PBA是PB CD所成的 PBA=45 ,1分 于是PAAB 作B已PC于E,連接ED 在 ECBAECD43, BG=CD CE=CE / ECB:Z ECD EC望 AECD / CED/CEB90 , /BED就是二面

24、角 B-PC-D的平面角. 4分設(shè) AB=a,則 BD=PB=72a , PC= J3a ,PB BCBE=DE=PC6分2BE DE面角B- PC- D的大小為120 ;還原棱錐為正方體 ABCDPBGD,作BU CB于F,平面PBCDL平面 BBCG TOC o 1-5 h z . .BH平面 PBCD 8分連接PF則/ BPFM是直線PB與平面PC所成的角 10分 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document .210BF=a , PB= V2a ,sin / BPF= ，/ BPF=30 .22所以就是直線 PBf平面PC所成的角為30。. 12分

25、注：也可不還原成正方體，利用體積求出點(diǎn) B到平面PCD勺距離，或用向量法解答.5.（廣東省河源市龍川一中 2011屆高三文）（14分）如圖，一簡單幾何體的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O, AB是圓O的直徑,四邊形DCB叨平行四邊形，且 DC_L平面ABC（1）證明：平面 ACDJ_平面ADE ;(2)若 AB =2 , BC =1 ,3 tan Z EAB2答案5.解：（1 ）證明:. DC_L 平面 ABC , BC u 平面 ABC DC _L BC . 2 分AB是圓 O的直徑BC _L AC 且 DCAC =CBC _L 平面 ADC 4.四邊形 DCBE平行四邊形DE/BCDE _L 平面

26、ADC6又 DE U平面ADE 平面 ACD_平面ADE（2）解法1 ：所求簡單組合體的體積：V =VEuBC +VEuDC. AB =2, BC=1, tanZEAB = = -AB 2 BE =、,3, AC = , AB2 -BC；J3111 -L 1 一一L 1-Ve 4DC-Sadc DE = ACDCDE = 12362、，1 1、VE 4BC - S ABC EB =二 AC 36，該簡單幾何體的體積V =1-1BC EB =一21314解法5:將該簡單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱-8如圖. ABu2, BC=1, tan EAB e =-3AB 2 BE ；3, AC

27、= . AB2 -BC2 = 310分1 cV -VACB -FDE VE 冶DF=SACB DC -3S ADC DE12 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 1二-AC CB DC -AC DC DE6- 1-=.313 -.33 1 =11466.（廣西桂林十八中 2011屆高三第四次月考試卷文）（12分）如圖，四棱錐形，PA_L底面ABCD,PA=AB=02，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).分P -ABCD中，底面 ABCD矩（1）證明：AE _L平面PBC；(2)若AD=1,求二面角B _EC _D的大小.答案20.解：(1股明：如圖，由PA_L底

28、面ABCD得PA_LAB,又PA=AB.PAB是等腰直角三角形，而 E為PB中點(diǎn)川。川川|2分由題意知BC _LAB且PB在平面ABCD上的射影是ABBC _ PB從而BC，面PAB,又AE二面PABAE _LBC|(ii )川川4分由(ipi 佟BCPB=B, BC, PBU面PAC得AE _L面PAC川川|5分(2 A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB,AD, AP分別為x,y,卻正半軸, 建立空間直角坐標(biāo)系 Axyz川川6分則A(0,0,0), P(0,0， B(&,0 )C(72,1,0 JE I2,0,2(D(0,1,0)設(shè)平面BEC的法向量為n,由(1 AE _L面PAC故可取M7E”0,HI2

29、2 J設(shè)平面DEC的法向量為k =(x, y,z)則/上|匕 =0lll川(8分) k DE =01- l-1tl夜J2且 DC =(2,0,0 )DE =i-,-1,-,2x =022x -y :2 一九T n kx =0 T八,取y=1也L，/.k =(0,1,42 川川(9分)z =0lz = 2.cos n, k川III 10分1_31 0 1 ,0 12322一。.，一3,一面角 B -EC D的大小是 a arccos2 |(12分)37.(廣東省河源市龍川一中2011屆高三第一次月考理)(本小題滿分14)如圖， 在直三棱柱 ABC- A1B1G中，AC= 3, BC= 4, AB = 5 , AA = 4,點(diǎn)