中國傳媒大學-市場調查與預測-課件-第十一章主成分分析與因子分析

1、【本章學習目的】 通過對本章的學習理解主成分分析的基本理論；掌握用 SPSS 軟件求解主成分的方法； 了解因子分析的基本理論；掌握求解因子的方法步驟；能夠用 SPSS 軟件進行因子分析， 并能正確理解系統(tǒng)輸出結果。 第十一章 主成分分析與因子分析第一節(jié) 主成分分析與因子分析概述 第二節(jié) 主成分分析與因子分析的統(tǒng)計原理 第三節(jié) 主成分分析與因子分析實例主要內容第一節(jié)主成分分析與因子分析概述 問題發(fā)現(xiàn)：在對某一事物進行實證研究時，為了更全面、準確地反映事物的特征及其發(fā)展規(guī)律，人們往往要考慮與其有關系的多個指標，這些指標在多元統(tǒng)計中也稱為變量。這樣就產(chǎn)生了如下問題：一方面人們?yōu)榱吮苊膺z漏重要的信息而

2、考慮盡可能多的指標，另一方面考慮指標的增多增加了問題的復雜性，同時由于各指標均是對同事物的反映，不可避免地造成信息的大量重疊，這種信息的重疊有時甚至會抹殺事物的真正特征與內在規(guī)律。主成分分析正是研究如何通過原來變量的少數(shù)幾個線性組合來解釋原來變量絕大多數(shù)信息的一種多元統(tǒng)計方法。一、主成分分析的基本思想第一節(jié)主成分分析與因子分析概述 主成分：通過對原始變量相關矩陣或協(xié)方差矩陣內部結構關系的研究，利用原始變量的線性組合形成幾個綜合指標（主成分），在保留原始變量主要信息的前提下起到降維與簡化問題的作用，使得在研究復雜問題時更容易抓住主要矛盾。主成分與原始變量之間有如下基本關系：1.每個主成分都是各原

3、始變量的線性組合；2.主成分的數(shù)目大大少于原始變量的數(shù)目；3.主成分保留了原始變量絕大多數(shù)信息；4.各主成分之間互不相關。一、主成分分析的基本思想第一節(jié)主成分分析與因子分析概述 問題發(fā)現(xiàn)：人們在研究實際問題時，往往希望盡可能多地收集相關變量，以期望對問題有比較全面、完整的把握和認識。例如，企業(yè)綜合評價研究中，可能會收集諸如盈利能力、負債能力、運營能力等方面的經(jīng)濟指標數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)在帶來有關信息的同時，也給數(shù)據(jù)的分析帶來了一定的困難：這眾多的變量之間可能存在著或多或少的相關性，實際觀測到的數(shù)據(jù)包含的信息有一部分可能是重復的。因子分析：在盡可能不損失信息或者少損失信息的情況下，將多個變量減少為少數(shù)

4、幾個因子的方法。這幾個因子可以高度概括大量數(shù)據(jù)中的信息，這樣，既減少了變量個數(shù)，又同樣能再現(xiàn)變量之間的內在聯(lián)系。二、因子分析的基本思想第一節(jié)主成分分析與因子分析概述 主成分分析(principal component analysis, PCA)是把原來多個變量轉換為少數(shù)幾個綜合指標的一種統(tǒng)計分析方法。因子分析(factor analysis)是一種數(shù)據(jù)簡化的技術。它通過研究眾多變量之間的內部依賴關系,探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結構,并用少數(shù)幾個假想因子來表示其基本的數(shù)據(jù)結構。主成分分析不要求明確的理論指導,屬于探索性工具;而因子分析常常是在有明確理論指導或明確假設時對理論進行驗證,故屬于驗證性工具

5、。三、主成分分析與因子分析的概念第二節(jié)主成分分析與因子分析的的基本原理一、主成分分析的統(tǒng)計原理 主成分分析的本質是坐標的旋轉變換，將原始的 n 個變量進行重新的線性組合，生成 n 個新的變量，它們之間互不相關，稱為 n 個“成 分”。同時按照方差最大化的原則，保證第一個 成分的方差最大，然后依次遞減。這 n 個成分是 按照方差從大到小排列的，其中前 m 個成分可能 就包含了原始變量的大部分方差（及變異信息）。 那么這 m 個成分就成為原始變量的“主成分”， 它們包含了原始變量的大部分信息。 注意：得到的主成分不是原始變量篩選后的 剩余變量，而是原始變量經(jīng)過重新組合后的“綜 合變量”。第二節(jié)主成

6、分分析與因子分析的的基本原理案例：用最簡單的二維數(shù)據(jù)來直觀的解釋主成分分析的原理。假設現(xiàn)在有兩個變量X1、X2，在坐標上畫出散點圖如下：可見，x1、x2之間存在相關關系，如果我們將坐標軸整體逆時針旋轉45度，變成新的坐標系Y1、Y2。第二節(jié)主成分分析與因子分析的的基本原理案例：根據(jù)坐標變化的原理，我們可以算出：Y1=sqrt(2)/2* X1+sqrt(2)/2* X2Y2=sqrt(2)/2* X1-sqrt(2)/2* X2其中sqrt（x）為x的平方根。通過對X1、X2的重新進行線性組合，得到了兩個新的變量Y1、Y2。此時，Y1、Y2變得不再相關，而且Y1方向變異（方差）較大，Y2方向的

7、變異（方差）較小，這時我們可以提取Y1作為X1、X2的主成分，參與后續(xù)的統(tǒng)計分析，因為它攜帶了原始變量的大部分信息。至此我們解決了兩個問題：降維和消除共線性。對于二維以上的數(shù)據(jù)，就不能用上面的幾何圖形直觀的表示了，只能通過矩陣變換求解，但是本質思想是一樣的。第二節(jié)主成分分析與因襲分析的的基本原理二、因子分析的統(tǒng)計原理 原理：對原始變量間的內在相關結構進行分組，相關性強的分在一組， 組間相關性較弱，各組變量代表一個基本要素（公共因子）。通過原始變量之間的復 雜關系分解原始變量，得到公共因子和特殊因子。原始變量被表示成公共因子的線性組合。 其中公共因子是所有原始變量所共同具有的特征，而特殊因子則是

8、原始變量所特有的部分。因子分析強調對新變量（因子）的實際意義的解釋。因子分析的過程：（1）確認待分析的原變量是否適合做因子分析；（2）構造因子變量；（3）利用旋轉方法使因子變量更具有可解釋性；（4）計算因子變量得分。第二節(jié)主成分分析與因子分析的的基本原理三、主成分分析與因子分析的聯(lián)系與區(qū)別 （一）聯(lián)系 兩者都是降維和信息濃縮的方法。生成的新變量均代表了原始變量的大部分信息且互 相獨立，都可以用于后續(xù)的回歸分析、判別分析、聚類分析等。（二）區(qū)別 （1）主成分分析是按照方差最大化的方法生成的新變量，強調新變量貢獻了多大比 例的方差，不關心新變量是否有明確的實際意義； （2）因子分析著重要求新變量具

9、有實際意義，能解釋原始變量間的內在結構。第三節(jié)主成分分析與因子分析實例一、主成分分析實例SPSS沒有提供單獨的主成分分析方法，而是混在因子分析當中，下面通過一個例子來討論主成分分析與因子分析的實現(xiàn)方法及相關問題。案例：某市為全面分析機械類企業(yè)的經(jīng)濟效益，選擇了8個不同的利潤指標，14家企業(yè)關于這8個指標的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示，試進行主成分分析。企業(yè)序號凈資產(chǎn)利潤率（%）Xi1固定資產(chǎn)利潤率（%）Xi2總資產(chǎn)利潤率（%）Xi3銷售收入利潤率（%）Xi4產(chǎn)品成本利潤率（%）Xi5物耗利潤率（%）Xi6人均利潤率（千元/人）（%）Xi7流動資金利潤率（%）Xi812345678910111213144

10、0.425.013.222.334.335.622.048.440.624.812.51.832.338.524.712.73.36.711.812.57.813.419.18.09.70.613.99.17.211.23.95.67.116.49.910.919.89.84.20.79.411.36.111.04.33.77.116.710.29.919.08.94.20.78.39.58.312.94.46.08.022.812.610.929.711.94.60.89.812.28.720.25.57.48.929.317.613.939.616.26.51.113.316.42.4423.5420.5780.1761.7263.0170.8471.7722.4490.7890.8740.0562.1261.32720.09.13.67.327.526.610.617.835.813.73.91.017.111.6第三節(jié)主成分分析與因子分析實例第三節(jié)主成分分析與因子分析實例二、因子分析實例在企業(yè)經(jīng)濟效益的評價中，設計的指標往往很多。為了簡化系統(tǒng)結構，抓住經(jīng)濟效益評 價中的主要問題，我們可由原始數(shù)據(jù)矩陣出發(fā)求主成分。我國部分省、直轄市、自治區(qū)獨立 核算的工業(yè)企業(yè)的經(jīng)濟效益的評價中，涉及 9 項指標，即樣品數(shù) n