電磁場與電磁波第三章

1、第三章 靜電場的邊值問題 主 要 內(nèi) 容電位(din wi)微分方程、鏡像法、分離變量法。1. 電位微分方程2. 鏡像法 3. 直角坐標系中的分離(fnl)變量法4. 圓柱坐標系中的分離變量法 5. 球坐標系中的分離變量法 共二十六頁1. Differential Equations for Electric Potential The relationship between the electric potential and the electric field intensity E is Taking the divergence operation for both sides o

2、f the above equation gives In a linear, homogeneous, and isotropic medium, the divergence of the electric field intensity E is共二十六頁The differential equation for the electric potential iswhich is called Poissons equation. In a source-free region, and the above equation becomeswhich is called Laplaces

3、 equation. 1. Differential Equations for Electric Potential 共二十六頁1. 電位(din wi)微分方程已知電位 與電場強度 E 的關(guān)系為 對上式兩邊取散度，得 對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場強度E 的散度為 那么，電位滿足的微分方程式為 泊松方程(fngchng) 共二十六頁拉普拉斯方程(fngchng)對于無源區(qū)， ，上式變?yōu)?. 電位(din wi)微分方程共二十六頁 因此(ync)，對于導(dǎo)體邊界，當邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時，或?qū)w表面電荷給定時，空間的靜電場即被惟一地確定。這個結(jié)論稱為靜電場惟一性定理。 For

4、electrostatic fields with conductors as boundaries, the field may be given uniquely when the electric potential , its normal derivative, or the charges is given on the conducting boundaries. That is the uniqueness theorem for solutions to problems on electrostatic fields. Uniqueness of solution of d

5、ifferential equations for electric potential (靜電場唯一性定理(dngl) 共二十六頁 靜電場的邊值問題 根據(jù)給定的邊界條件求解(qi ji)靜電場的電位分布。 對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，有源區(qū)中的電位滿足泊松方程方程 在無源區(qū)，電位滿足拉普拉斯方程利用格林函數(shù)，可以求解泊松方程(fngchng)（了解）。利用分離變量法可以求解拉普拉斯方程。 （了解）求解靜電場邊值問題的另一種簡單方法是鏡像法。小結(jié)共二十六頁3. Method of Image Essence: The effect of the boundary is replaced by

6、one or several equivalent charges, and the original inhomogeneous region with a boundary becomes an infinite homogeneous space. Basis：The principle of uniqueness. Therefore, these charges should not change the original boundary conditions. These equivalent charges are at the image positions of the o

7、riginal charges, and are called image charges, and this method is called the method of images. Key：To determine the values and the positions of the image charges. Restriction：These image charges may be determined only for some special boundaries and charges with certain distributions.共二十六頁3. 鏡像法 實質(zhì):

8、 以一個或幾個等效電荷(dinh)代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。 這些(zhxi)等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。共二十六頁 依據(jù)：惟一(wiy)性定理。等效電荷的引入不能改變原來的邊界條件。關(guān)鍵(gunjin)：確定鏡像電荷的大小及其位置。 局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊的電荷分布才有可能確定其鏡像電荷。 3. 鏡像法 共二十六頁（點電荷與無限大的導(dǎo)體(dot)平面) 介質(zhì) 導(dǎo)體 q r P 介質(zhì) q r P hh 介質(zhì) 以一個(y )鏡像點電荷q代替邊界的影響，使整個空間變成均勻

9、的介電常數(shù)為 的空間，則空間任一點 P 的電位由 q 及 q 共同產(chǎn)生，即 無限大導(dǎo)體平面的電位為零（為什么？）（1）A point electric charge and an infinite conducting plane 導(dǎo)體是等位體，分布在有限區(qū)域的電荷在無限遠處產(chǎn)生的電位為0；共二十六頁 其產(chǎn)生的電場線與等位面的分布特性(txng)與電偶極子的上半部分完全相同。電場線等位線 z 共二十六頁* 根據(jù)電荷(dinh)守恒定律，鏡像點電荷的電荷量應(yīng)該等于導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的總電荷量。* 上述等效性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間(kngjin)成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。 介質(zhì)

10、導(dǎo)體 q r P 介質(zhì) q r P hh 介質(zhì) 共二十六頁q 對于半無限大導(dǎo)體(dot)平面形成的劈形邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為 的導(dǎo)電劈需引入 5 個鏡像電荷。/3/3q共二十六頁 位于無限大的導(dǎo)體平面附近(fjn)的線電荷，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。 僅當這種導(dǎo)體劈的夾角等于 的整數(shù)(zhngsh)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為什么？lll共二十六頁 （點電荷與導(dǎo)體(dot)球) 若導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體球的電位為零。令鏡像點電荷q 位于球心與點電荷 q 的連線上，那么球面(qimin)上任一點電位為 為了保證球面

11、上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為 qfOPadrqr（2）A point charge and a conducting sphere共二十六頁 為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值 對于球面上任一點均具有同一數(shù)值。 若 OPq OqP ，則鏡像電荷離球心的距離d 應(yīng)為 求得鏡像電荷為qfOPadrqr共二十六頁 若導(dǎo)體球不接地(jid)，則其電位不為零。q 的位置和量值應(yīng)該(ynggi)如何? 由q 及 q 在球面邊界上形成的電位為零，因此必須再引入一個鏡像電荷q 以產(chǎn)生一定的電位。q共二十六頁以保證導(dǎo)體(dot)球表面上總電荷量為零值。 為了保證球面邊界是一個(y )等位面，鏡

12、像電荷 q 必須位于球心。 為了滿足電荷守恒定律，第二個鏡像電荷q 必須為導(dǎo)體球的電位?qqq共二十六頁l（線電荷(dinh)與帶電的導(dǎo)體圓柱） 在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d 處，平行放置一根鏡像線電荷 。因此，離線電荷 r 處，以 為參考點的電位為 PafdrlO已知無限長線電荷產(chǎn)生的電場強度為 ， （3）A line charge and a charged conducting cylinder 共二十六頁 若令鏡像線電荷 產(chǎn)生的電位也取相同的 作為參考點，則 及 在圓柱面上P點共同產(chǎn)生的電位為已知導(dǎo)體圓柱是一個等位體，必須要求(yoqi)比值與前同理，可令lPafdrlO共二

13、十六頁 （點電荷與無限大的介質(zhì)(jizh)平面） E 1 1qr0EEtEnq 2 2qE 1 2qeten=+ 對于上半空間，可用鏡像電荷 q 等效邊界上束縛電荷的作用，將整個(zhngg)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1的均勻空間。 對于下半空間，可用位于原點電荷處的 q 等效原來的點電荷q與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為2 的均勻空間。 （4）A point charge and an infinite dielectric plane. 共二十六頁 必須迫使(psh)所求得的場符合邊界條件，即電場切向分量和電通密度的法向分量應(yīng)該保持連續(xù)，即 已知各個點電荷產(chǎn)生的電場強度分別為代

14、入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：共二十六頁 為了利用給定(i dn)的邊界條件，選擇適當?shù)淖鴺讼凳欠浅Ｖ匾?。對于上?shngsh)一維微分方程，可以采用直接積分方法。 分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程，從而簡化求解過程。（了解） 為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。分離變量法對于11種坐標系都是行之有效的。共二十六頁作業(yè)(zuy)Problems: 3-6;共二十六頁內(nèi)容摘要第三章 靜電場的邊值問題。電位微分方程、鏡像法、分離變量法。對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，有源區(qū)中的電位滿足泊松方程方程。等效電荷的引入不能改變原來(yunli)的邊界條件。