3第三章復(fù)變函數(shù)的積分.docx

1、第三章復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)積分是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具。解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)，諸如“解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)”及“解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在”這些表面上看來只與微分學(xué)有關(guān)的命題，卻是通過解析函數(shù)的復(fù)積分表示證明的，這是復(fù)變函數(shù)論在方法上的一個(gè)特點(diǎn)。同時(shí)，復(fù)變函數(shù)積分理論既是解析函數(shù)的應(yīng)用推廣，也是后面留數(shù)計(jì)算的理論基礎(chǔ)。3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念1積分的定義復(fù)變函數(shù)積分主要考察沿復(fù)平面上曲線的積分。今后除特別聲明，當(dāng)談到曲線時(shí)一律是指光滑或逐段光滑的曲線，其屮逐段光滑的簡單閉曲線簡稱為圍線或周線或閉路。在第一章中曾定義了曲線的方向，這里冋顧并作更仔細(xì)些的說明：對于光滑或逐段光滑的開曲線，只要

2、指明了其起點(diǎn)和終點(diǎn)，從起點(diǎn)到終點(diǎn)，也就算規(guī)定了該曲線的正方向C；對于光滑或逐段光滑的閉曲線C,沿著曲線的某方向前進(jìn)，如果C的內(nèi)部區(qū)域在左方，則規(guī)定該方向?yàn)镃的正方向(就記為C),反之，稱為C的負(fù)方向(記為C-)(或等價(jià)地說，對于光滑或逐段光滑的閉曲線，規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)殚]111線的正方向，順時(shí)針為方向?yàn)殚]曲線的負(fù)方向)；若光滑或逐段光滑的曲線C的參數(shù)方程為z=z(/)=x(r)+iy(t),(atp)/為實(shí)參數(shù)，則規(guī)定f增加的方向?yàn)檎较?，即rtid=z(a)到b=z(0)的方向?yàn)檎较?。定義3.1.1復(fù)變函數(shù)的積分設(shè)有向曲線C：Z=z(t),atpy以二z(a)為起點(diǎn)，b=z(0)為終點(diǎn)，.f

3、(Z)沿C有定義。在C上沿著C從d到方的方向(此為實(shí)參數(shù)f增大的方向，作為aC的正方向)任取7?-1個(gè)分點(diǎn)：a=5,Z,=b,把曲線c分成斤個(gè)小弧段。在每個(gè)小弧段云IN上任取一點(diǎn)作和其中Az,id2=max|Az1|5-5|Azzj5若久t。時(shí)(分點(diǎn)無限增多，且這些弧段長度的最大值趨于零時(shí))，上述和式的極限存在，極限值為J(即不論怎樣沿C正向分割C,也不論在每個(gè)小弧段無住上的什么位置上取當(dāng)20時(shí)S”都趨于同一個(gè)數(shù)丿)，貝禰/沿C可積，稱丿為/沿C(從。到b)的積分，并記為/=J7(z)dz，即為C=o(3.1.1)Ck=lC稱為積分路徑，dz表示沿C的正方向的積分，dz表示沿C的負(fù)方向的積分。

4、如果C為有cC-向閉曲線，且正向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，那么沿此閉曲線的積分可記作Jf(z)dzo2復(fù)積分的性質(zhì)根據(jù)復(fù)積分的定義或根據(jù)下一段中定理3.1.1所述的復(fù)變函數(shù)積分和曲線積分Z間的關(guān)系以及曲線積分的性質(zhì)，不難驗(yàn)證復(fù)積分具有卜列性質(zhì)，它們與實(shí)分析屮定積分的性質(zhì)相類似若/(z)沿C可積，且C由c和C?連接而成，貝q“灰二dz+“衣；cCc2復(fù)常數(shù)因子d可以提到積分號外，即Jqf(z)dz=dJ7(z)dz;cc函數(shù)和(差)的積分等于各函數(shù)積分的和(差)，即Jf土g(z)dz=J7dz士Jg蟲；CCC若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即“dz二-fdz,(4)ccc為c負(fù)向曲線；(5)積分的模

5、不大于被積表達(dá)式模的積分，即J7dz0),則ML,其中厶為曲線C的長度。3復(fù)積分存在的條件及計(jì)算方法顯然，/(z)沿曲線C可積的必要條件為/(z)沿C有界。下面的定理提供了計(jì)算復(fù)積分的基本方法，即復(fù)函數(shù)沿曲線C的積分等于其實(shí)部、虛部所確定兩個(gè)實(shí)函數(shù)第二型曲線積分之和：一定理3.1仁若函數(shù)/二譏兀，刃+沙(兀,y)沿曲線c連續(xù)，貝M(z)沿曲線c可積且Jf(z)dz=Jfwdx-vdy+iJvdx+udy(3.1.2)ccc【注】：為了記憶方便，上式右端形式上可看成是函數(shù)f(z)=U+iv與微分dz=dx+idy相乘后得到的：jfdz=+iv)(dx+idy)；cc.由實(shí)分析知，計(jì)算實(shí)函數(shù)第二型

6、線積分的基本方法是化為對曲線參數(shù)的普通定積分計(jì)算，應(yīng)用到我們這里，就使得復(fù)積分最終也可以歸結(jié)為計(jì)算對路徑參數(shù)的普通定積分：設(shè)有向光滑曲線C的實(shí)參數(shù)復(fù)方程為z=z(t)=x(r)+iy(t)at.曲線C光滑意味著zf(t)=x(t)+iy(l)在。，0上連續(xù)，且當(dāng)/(z)沿C連續(xù)時(shí)，由定理3.1.1有“dz=w(x(r),y(r)AJ(r)-y(t)yt)dt+iv(x(r),y(r)/(r)+u(x(t),y(t)yXt)dt心,M)+zv(x(r),y(O)W)+iytdtJ7dz=f/(z(C)z(/)df(3.1.3)該式稱為計(jì)算復(fù)積分的參數(shù)方程法或計(jì)算復(fù)積分的變量代換公式。4復(fù)積分計(jì)算

7、的典型實(shí)例x=3t,y二4t,OvZ(z)dz=O,則C由變上限積分所確定的函數(shù)F訂他)茗在D內(nèi)解析，且F(z)=/(z)。其中5是D內(nèi)任一定點(diǎn)，z是D內(nèi)任一變點(diǎn)。推論：若/在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則由變上限積分所確定的函數(shù)F=/(皿在D內(nèi)解析，且F(z)=/(z)。定義3.2.2：若在區(qū)域Q內(nèi)有F(z)=/,則稱F為/在區(qū)域D內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，而F(z)+C(C為任意常數(shù))稱為/(z)的不定積分。_3.2.5：若/在單連通區(qū)域內(nèi)解析(或在定理32.4的條件下)為/在D內(nèi)的任一原函數(shù)，則有牛頓一萊布尼茨公式成立：茗二I；產(chǎn)-(z()。推論：/(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。注明：若G(z),H

8、(z)均為.f(z)的原函數(shù)，貝0=Gf-Hr=f-fQ=OG(z)-H(z)=c(常數(shù))3復(fù)合閉路定理下面對柯西積分定理從兩個(gè)方面推廣：一方面是被積函數(shù)的解析范圍；另一方面是解析區(qū)域的連通性。這兩個(gè)方而的推廣分別表現(xiàn)在下而兩個(gè)定理中。定理3.2.6：設(shè)C是一條圍線，D為C的內(nèi)部，/(?)在D內(nèi)解析，在閉區(qū)域D=DJC蹩續(xù)，貝QJ7衣=0。定義3.2.1：設(shè)有+1條圍線C，G，,C“，其中G，,C”中每一條都在其余各條的外部，而它們乂全都在Co的內(nèi)部。在Co內(nèi)部同時(shí)又在G，外部的點(diǎn)集構(gòu)成有界的多連通區(qū)域D,D以C，G，,C為邊界。在這種情況下，稱區(qū)域D的邊界是一條復(fù)圍線或復(fù)合閉路，記為C=C(

9、)+C+。當(dāng)觀察者在C上行進(jìn)時(shí)，區(qū)域D中的點(diǎn)總在觀察者左邊的方向稱為復(fù)圍線C的正方向。定理3.2.7(多連通區(qū)域的柯西積分定理):設(shè)D是由復(fù)圍線C=C+C+C；所圍成的有界多連通區(qū)域，/在D內(nèi)解析，在D=DJC上連續(xù)，貝UJ7(z)dz=O,c即“(z)dz+J7(z)dz+J7(z)dz=0,5CC；或“dz=“(z)dz+J7定理32.8（閉路變形原理）：在區(qū)域D內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在Q內(nèi)作連續(xù)變形而改變積分的值，只要在變形的過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)/（Z）不解析的點(diǎn)。例：計(jì)算積分dz的值，其中L為包含點(diǎn)0和1在內(nèi)的任何簡單閉曲線.2z-l7解：根據(jù)函數(shù)一一在復(fù)平面內(nèi)除z

10、=0,z=I兩個(gè)奇點(diǎn)外是處處解析的。由于厶包含這兩個(gè)奇點(diǎn)，乙-z在乙內(nèi)作兩個(gè)互不包含且不相交的正向圓周G,c?,如圖3.7,g只包含奇點(diǎn)八二o,c2只包含奇點(diǎn)乙=1,那么根據(jù)多連通區(qū)域的柯西積分定理得到1柯西積分公式1）有界區(qū)域的柯西積分公式定理3.3.1（柯西積分公式）：設(shè)區(qū)域D的邊界是圍線（或復(fù)圍線）C,/（Z）在D內(nèi)解析，在D=D+C上連續(xù)，則（1）對內(nèi)任意一點(diǎn)z，有心=丄如熾（3.3.12刀文z5（2）/（z）在D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，且12小。）唱呼山心）。（3.3.2）式（3.3.1）稱為柯西積分公式，簡稱柯西公式。注意其與柯西積分定理（或稱柯西定理）在稱謂上的區(qū)別?！咀?】：定理3.3.

11、1中的圍線C可以是復(fù)圍線，這時(shí)C所圍的區(qū)域D是多連通區(qū)域，這時(shí)侯（3.3.1）式及（3.3.2）式中的積分也就是復(fù)圍線上的積分。【注2】：柯西積分公式意味著：一個(gè)區(qū)域內(nèi)解析并連續(xù)到邊界的函數(shù)，它在邊界上的值決定了它在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值。因此，人們又稱柯西積分公式為解析函數(shù)的積分表示式。從柯西積分公式可以看出，解析函數(shù)的函數(shù)值之間有著密切聯(lián)系。這是解析函數(shù)不同于一般函數(shù)的一個(gè)顯著特征。積分是涉及函數(shù)整體性質(zhì)的一個(gè)概念，函數(shù)在一點(diǎn)的值應(yīng)只涉及孤立點(diǎn)、這局部，而柯西積分公式卻把整體與局部聯(lián)系起來了。推論T若滿足定理3?3?7條件的兩個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處相等?則它in在整個(gè)區(qū)域上也相等7例：求下

12、列積分的值卜一dz,C:z+i=1;Jcz+i解：注意到f（z）=eiz在復(fù)平面內(nèi)解析，而-2在積分環(huán)路C內(nèi)，由柯西積分公式得re:dzra2ziie，2=2）無界區(qū)域中的柯西積分公式上而對柯西積分公式討論了（1）單連通區(qū)域；（2）復(fù)連通區(qū)域。但所涉及的積分區(qū)域都是有限的區(qū)域,若遇到函數(shù)在無界區(qū)域求積分的問題又如何求解？可以證明如下的無界區(qū)域柯西積分公式仍然成立（1）無界區(qū)域柯西積分公式定理33,F（無界區(qū)域中的柯西積分公式（當(dāng)滿足忖T&/（Z）T0時(shí)）：若/（z）在某一閉曲線C的外部解析，并且當(dāng)kks,0時(shí)，則對于C外部區(qū)域中的點(diǎn)Zo,有2加工z_z（）這就是無界區(qū)域的柯西積分公式。_例：計(jì)

13、算積分dzL(z2-a2)(z-3a)?設(shè)厶為:Iz1=2a(a0)Z解：被積函數(shù)/二J宀ZT8時(shí)，f二0,滿足無界區(qū)域的柯西積分公式條件。在厶外部僅有一個(gè)奇點(diǎn)z3a，且當(dāng)z-3aZ-er故有z/二甘/)(z3d)_匸&/)(z-3d)dz1兀i2z=ta4a2z-a（2）無界區(qū)域的柯西積分公式應(yīng)用推廣定理3.3.1-（無界區(qū)域中的柯西積分公式（當(dāng)滿足/（z）不趨于零時(shí)）：假設(shè)/（Z）在某一閉曲線厶的外部解析，則對于C外部區(qū)域中的點(diǎn)，有2推論1)解析函數(shù)的無限次可微性作為柯西積分公式的推廣，我們可以證明一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍為解析函數(shù)，從而可以證明解析函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)。請?zhí)貏e注意：這一點(diǎn)和實(shí)

14、函數(shù)完全不一樣，一個(gè)實(shí)函數(shù)/,(兀)有一階導(dǎo)數(shù)，不一定有二階或更高階導(dǎo)數(shù)存在。定理3?3?2：若函數(shù)/(z)在區(qū)域Q內(nèi)解析，貝U/(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。解析函數(shù)的第二個(gè)等價(jià)定理定理3.3.3：函數(shù)/(z)=w(x,y)+iv(x,y在區(qū)域內(nèi)解析0wv,wv,vA.,vv在內(nèi)連續(xù)；u(x,y),V(X,y)在D內(nèi)滿足C-R條件。莫雷拉定理定理3.3.4(莫雷拉Morera定理人若函數(shù)/在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且對Q內(nèi)的任一圍線C,有J7衣=0,C則/在Q內(nèi)解析。英雷拉定理對單連通區(qū)域內(nèi)的復(fù)變函數(shù)而言，是柯西積分定理的逆定理。3解析函數(shù)的第三個(gè)等價(jià)定理定理3.3.5：函數(shù)/(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。/(z)在D內(nèi)連續(xù)；對任一圍線C,只要C及其內(nèi)部全含于內(nèi)，就有J/(zWz=0o4柯西不等