第二章-概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)(概率和概率分布)課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)（一）概率和概率分布1一、隨機(jī)事件和概率1、隨機(jī)實驗在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，有兩種以上可能結(jié)果，但事先不能確定哪一種結(jié)果會發(fā)生的試驗。如：拋一枚硬幣、擲一顆骰子、從一副撲克牌里抽取一張。2、樣本空間（又稱“總體”）隨機(jī)試驗所有可能結(jié)果的集合叫樣本空間。樣本空間的每種可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)。如：拋兩枚硬幣，考察向上的一面，所有結(jié)果為“正正”、“正反”、“反反”、“反正”，樣本空間有個元素。2、隨機(jī)事件隨機(jī)試驗的某些結(jié)果組成的一個集合，也即 樣本空間的一個子集。單個樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集 稱為基本事件。事件可用A、B、C等字母來表示。例子：先后拋兩枚硬幣，觀察朝上的一面。 一、實驗結(jié)果

2、有哪些？ 正正、正反、反正、反反 二、若令=“一枚正面朝上，一枚正面朝下”，那些結(jié)果對應(yīng)于事件A？ “正反”、“反正”三、若令=“第一枚正面朝上，第二枚正面朝下”，那些結(jié)果對應(yīng)事件？ “正反”3事件的關(guān)系及運(yùn)算 事件的包含樣本空間A B4樣本空間A=B5（3）事件的和 “事件A與事件B至少有一個發(fā)生”、“事件A發(fā)生或者事件B發(fā)生”；記作 或A+B6（4）事件的積“事件A與事件B同時發(fā)生”；“事件A發(fā)生并且（而且）事件B也發(fā)生”；記作7 互斥事件樣本空間A B8事件的差(事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生）A B樣本空間9樣本空間逆事件10必然事件、完備事件組 樣本空間不可能事件114、隨機(jī)變量(Rand

3、om Variables)定義：把取值由實驗結(jié)果決定的變量稱為隨機(jī)變量。如拋兩枚硬幣，“正面朝上的個數(shù)”為一隨機(jī)變量。通俗地說，隨機(jī)變量就是使每一個可能的試驗結(jié)果對應(yīng)一個數(shù)，就是說為每一個試驗的結(jié)果賦予一個實數(shù)值。例如在拋硬幣的試驗中，出現(xiàn)正面時取值1，出現(xiàn)反面取值0。我們還要求知道隨機(jī)變量取某個或某些值的的概率是多少，即要求隨機(jī)變量是一個可測函數(shù)。引入隨機(jī)變量旨在把實驗結(jié)果數(shù)量化，便于描述和研究。12離散型隨機(jī)變量可取有限個數(shù)值，或無限可列個數(shù)值。比如：投擲兩顆骰子，各有點(diǎn)數(shù)至，若令隨機(jī)變量表示“兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和”，則的取值為2、3、4、510、11或12。連續(xù)型隨機(jī)變量可取某一區(qū)間的

4、任何值。 比如：身高、體重、溫度等。13、概率的定義度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。若表示 一個隨機(jī)事件，則P(A)表示事件發(fā)生的概率。（）古典概率（先驗概率：概率純粹源自推理）等可能性、互斥性表示隨機(jī)實驗的結(jié)果總個數(shù)表示屬于事件的結(jié)果個數(shù)條件一：實驗結(jié)果互斥條件二：實驗結(jié)果等可能發(fā)生 （）應(yīng)用缺陷14古典概率的計數(shù)法則乘法原理：如果一個事件的完成要經(jīng)過K個步驟，每一步驟分別有n1，n2，nk種方法，則完成該事件共有n1n2n(k-1)nk種方法。加法原理：如果一個事件的完成有K種方式，每種方式分別有n1，n2，nk種方法，則完成該事件共有n1+n2+nk種方法。15例子1： 擲一顆骰子，有六種可能

5、的結(jié)果：1，2，3，4，5，6.這些結(jié)果互斥，因為不可能出現(xiàn)兩個或更多個數(shù)字同時朝上的情形。而且，這六種可能結(jié)果等可能發(fā)生。因此，根據(jù)古典概率的定義，任何一個數(shù)字朝上的概率為1/6因為共有六種可能結(jié)果，每種結(jié)果等可能發(fā)生。這里，n=6,m=1.16例子2： 考慮一個游戲，先后投擲兩顆骰子，求投擲 結(jié)果為“先單后雙”的概率。解：令事件表示“先單后雙”這一投擲結(jié)果，即需求P(A)。 該隨機(jī)實驗的所有結(jié)果個數(shù)為6*6=36，則n=36。 完成事件需要兩個步驟，第一個步驟為“投擲結(jié)果為單”，第二個步驟為“投擲結(jié)果為雙”。 每個步驟均可由3種結(jié)果（1、3、5和2、4、6）實現(xiàn)。 那么完成事件共有3*3=

6、9種結(jié)果可以實現(xiàn)，從而m=9。P(A)=m/n=9/36=1/4=0.2517（）統(tǒng)計概率概率的統(tǒng)計定義（或頻率定義、經(jīng)驗定義）無等可能性、無互斥性 表示隨機(jī)實驗的總次數(shù)或是觀測樣本的總個數(shù)。表示實驗結(jié)果屬于事件的次數(shù)或是觀測樣本屬于事件的個數(shù)，通常稱為事件發(fā)生的頻數(shù)。（）18統(tǒng)計概率的例子拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，求正面朝上的概率。射擊手中靶的概率壽命超過一百歲的概率200個學(xué)生微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)考試分?jǐn)?shù)的分布（見教材P21)19、概率的性質(zhì)(1)0P(A)(2)必然事件發(fā)生的概率為1，不可能事件發(fā)生的概率為零。(3)若A、B、C為互斥的完備事件組 則P(A+B+C+)=1(4)若A、B、C為互斥事件

7、 則P(A+B+C+)=P(A)+P(B)+P(C)+(5) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 注：如果A,B互斥，則P(AB)=0207、條件概率8、獨(dú)立事件21條件概率例子例子1：隨機(jī)拋一個骰子，如果朝上一面的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，求點(diǎn)數(shù)為2的概率。 A=“點(diǎn)數(shù)為2” B=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)” 22條件概率例子例子2：（1）一個盒子里裝10個球，有1個寫“生”，并且其它9個寫“死”，要某人去抓球。此人抓到“生”球的概率是1/10。（2）將那個生球上具體標(biāo)明為“生1號”，如果某人抓到的是“生”球，問他抓到的是“生1”號球的概率是多大。A=“抓到生1號球”B=“抓到生球” 23例子3： 從一副撲克

8、中抽取一張，是紅桃或者是皇后的概率是多少？（注：四張皇后中有一張是紅桃，抽紅桃與抽皇后不是互斥事件）P（紅桃或者是皇后）=P(紅桃）+P（皇后）-P（紅桃皇后）=13/52+4/52-1/52=4/1324二、隨機(jī)變量的概率分布、離散型隨機(jī)變量的概率分布概率分布表 設(shè)離散型隨機(jī)變量X取值為x1,x2,xn，而取得這些值的概率分別為p(x1),p(x2),p(xn),則可用“概率分布表”詳細(xì)列出其概率分布。Xx1x2.xnP(X=xi)p(x1)P(x2)P(xn)25概率分布表舉例設(shè)隨機(jī)變量代表拋兩次硬幣正面朝上的次數(shù)，求的概率分布。（HH,HT,TH,TT）（H：正面；T:反面）打靶規(guī)定打中

9、域得3分，打中域得2分，打中域得1分，域外得0分。一射手每100次射擊，平均有30次中域，55次中域，10次中域。該射手射擊得分的概率分布為：X012P(x)1/42/41/4X0123P(x)0.050.100.550.3026概率密度函數(shù) 272、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布可取某一區(qū)間的任何值。（無窮取值）比如：身高、體重、溫度等。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布度量的是隨機(jī)變量在某一個特定范圍或區(qū)間內(nèi)的概率。28連續(xù)型隨機(jī)變量概率表達(dá)常用形式P(x1Xx2)、P(x1Xx2)、P(x1Xx2)概率分布函數(shù)（累積分布函數(shù),概率值）29連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在

10、非負(fù)函數(shù)f(x),使得對于任意實數(shù)x,有則，稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)稱為X的密度函數(shù)（或概率密度）30概率密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)：31概率密度函數(shù)的幾何意義連續(xù)型隨機(jī)變量落入某一區(qū)間的概率等于該區(qū)間內(nèi)概率密度曲線下方的面積!x1x2Xf(X)323、多元概率分布兩個以上隨機(jī)變量描述隨機(jī)實驗結(jié)果。在一個矩形平面上隨機(jī)定位一點(diǎn)，其坐標(biāo)(X,Y)是一個二元隨機(jī)變量。電腦公司每天售出的個人電腦數(shù)量和打印機(jī)數(shù)量。（1）離散型：聯(lián)合概率密度函數(shù) 33一個計算機(jī)店出售個人電腦和打印機(jī)。每天出售的電腦和打印機(jī)數(shù)量不同。店主記錄了過去200天每天的銷售狀況，如下表。 出售個人電腦的數(shù)量（X)合計0123

11、4出售打印機(jī)的臺數(shù)（Y)06644222141012423222420101046322102020544222103046合計162448486420034 出售個人電腦的數(shù)量（X)合計01234出售打印機(jī)的臺數(shù)（Y)00.03（聯(lián)合概率）0.03 0.02 0.02 0.01 0.11（邊緣概率）10.02 0.05 0.06 0.02 0.01 0.16 20.01 0.02 0.10 0.05 0.05 0.23 30.01 0.01 0.05 0.10 0.10 0.27 40.01 0.01 0.01 0.05 0.15 0.23 合計0.08（邊緣概率）0.12 0.24 0.2

12、4 0.32 1.00 把上表中的每個數(shù)值都除以200，就得到了頻率，如下表。由于本例中的樣本足夠大，所以可以把這些（聯(lián)合）頻率作為聯(lián)合概率的度量。聯(lián)合概率有如下性質(zhì)：所有的概率不能為負(fù)；所有聯(lián)合結(jié)果的概率和為1.注：X取1，而不論Y取值如何時的概率為0.12（邊緣概率）.在已知售出4臺電腦的條件下，售出4臺打印機(jī)的概率為P(Y=4/X=4)=P(Y=4,X=4)/P(X=4)=0.15/0.32=0.47(條件概率）35（2）連續(xù)型：聯(lián)合概率密度函數(shù) 36、邊緣概率分布及其邊緣概率函數(shù)對于二元隨機(jī)變量（X,Y），對其任意一個變量 進(jìn)行單獨(dú)研究，而不考慮另外一個變量的取值。 如此得到的X或Y的概率分布即為二元隨機(jī)變量 (X,Y)的邊緣概率分布。離散型隨機(jī)變量 邊緣概率質(zhì)量函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量 邊緣概率密度函數(shù) 37、條件概率分布及其條件概率函數(shù)對于二元隨機(jī)變量（X,Y），對其任意一個變量進(jìn)行 研究，同時考慮另外一個變量的特定取值。如此得到 的X或Y的概率分布即為二元隨機(jī)變量(X,Y)的條件概率 分布。離散型隨機(jī)變量 條件概率質(zhì)量函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量 條件概率密度函數(shù) 38、隨機(jī)變量的統(tǒng)計獨(dú)立性事件獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B)隨機(jī)變量（X,Y）離散型隨機(jī)變量對于任意的和，事件“”和事件“”獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量和獨(dú)立。連續(xù)型隨機(jī)變量對于任意的和，事件