汽車空調(diào)構(gòu)造與維修-(9)課件

1、本章的教學(xué)要求：1.了解數(shù)控加工機(jī)床的加工方法以及數(shù)控加工的特點(diǎn)。2.了解對數(shù)控加工對象進(jìn)行數(shù)值處理的方法。3.了解確定機(jī)床坐標(biāo)系、工件坐標(biāo)系、編程坐標(biāo)系的有關(guān)規(guī)定。4.了解基點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、參數(shù)點(diǎn)的概念和一般建立方法。5.了解數(shù)控加工數(shù)學(xué)模型建立的一般方法。第一章 數(shù)控應(yīng)用數(shù)學(xué)概述本章主要的教學(xué)內(nèi)容：1.數(shù)控加工機(jī)床的加工方法。2.數(shù)控加工的特點(diǎn)。3.對數(shù)控加工對象進(jìn)行數(shù)值處理的方法。4.機(jī)床坐標(biāo)系、工件坐標(biāo)系、編程坐標(biāo)系的概念和規(guī)定。5.基點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、參數(shù)點(diǎn)的概念和一般建立方法。6.數(shù)控加工數(shù)學(xué)模型建立的一般方法。一、普通加工機(jī)床與數(shù)控加工機(jī)床 1機(jī)床的定義：機(jī)床（machine tool）是對金

2、屬或其他材料的坯料或工件進(jìn)行加工，使之獲得所要求的幾何形狀、尺寸精度和表面質(zhì)量的機(jī)器。狹義的機(jī)床僅指使用最廣、數(shù)量最多的金屬切削機(jī)床。 2普通加工機(jī)床的定義：普通加工機(jī)床或傳統(tǒng)加工機(jī)床是指動(dòng)作主要由手工操作完成的機(jī)床。第一節(jié) 數(shù)控加工機(jī)床及其加工方法圖1-13數(shù)控加工機(jī)床的定義：數(shù)控加工機(jī)床是裝備了數(shù)控系統(tǒng)的機(jī)床。機(jī)床的動(dòng)作加工過程所需的各種操作和步驟，以及刀具與工件之間的相對位移量都由數(shù)字化的代碼來表示，經(jīng)過計(jì)算機(jī)處理，以指令發(fā)給機(jī)床的執(zhí)行元件，使機(jī)床自動(dòng)加工出所需的零件。 1普通數(shù)控機(jī)床 最普通的數(shù)控機(jī)床有車床、銑床、鉆床、鏜床、磨床和齒輪加工機(jī)床等。2數(shù)控加工中心 這類機(jī)床是在一般數(shù)控機(jī)

3、床上加裝一個(gè)刀具庫和自動(dòng)換刀裝置。這類機(jī)床打破了一臺機(jī)床只能進(jìn)行單工種加工的傳統(tǒng)概念，可在實(shí)行一次定位后完成多個(gè)工序的加工。二、數(shù)控加工機(jī)床的種類3特種數(shù)控加工機(jī)床 用非金屬切削的特殊手段進(jìn)行加工的數(shù)控機(jī)床，如數(shù)控電火花、數(shù)控線切割機(jī)床、數(shù)控激光加工機(jī)床等。1數(shù)控車削加工 2數(shù)控銑削加工 三、數(shù)控機(jī)床加工方法圖1-2所示為數(shù)控車床，圖1-3所示為數(shù)控車床加工過程及零件成品。圖1-2圖1-3圖1-4圖1-4所示為 XK7130型數(shù)控銑床，圖1-5所示為數(shù)控銑削加工過程及加工刀具。圖1-5一、數(shù)控加工的特點(diǎn)1自動(dòng)化程度高 2加工精度高，加工質(zhì)量穩(wěn)定 3對加工對象的適應(yīng)性極高 4生產(chǎn)效率高 5易于建

4、立計(jì)算機(jī)通信網(wǎng)絡(luò) 第二節(jié) 數(shù)控加工的特點(diǎn)及展望圖1-6二、制造業(yè)的發(fā)展方向及展望 機(jī)械制造業(yè)自動(dòng)化正在經(jīng)歷著：CNC(計(jì)算機(jī)數(shù)控化)FMS(柔性制造系統(tǒng))CIMS(計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng))“三部曲”。它使機(jī)械制造業(yè)自動(dòng)化不斷趨向深化，即朝著設(shè)計(jì)、制造、管理全自動(dòng)化的高層次方向發(fā)展。一、數(shù)控機(jī)床加工工件過程 數(shù)控加工的對象就是工作圖所指定的零件，工作圖提供了零件的幾何信息、技術(shù)要求等信息，但是這些信息還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，也不能直接為數(shù)控機(jī)床接受，除了圖樣提供的信息外還要補(bǔ)充工藝信息、輔助信息并進(jìn)行加工處理，即數(shù)學(xué)處理和工藝處理，使之變換成數(shù)控機(jī)床能夠接受的加工指令（或程序），才能將零件毛坯生產(chǎn)加工成符合零件

5、圖要求的成品零件。其完整過程如圖15所示。第三節(jié) 對數(shù)控加工對象的數(shù)學(xué)處理圖17 數(shù)控加工過程二、數(shù)學(xué)處理內(nèi)容 數(shù)學(xué)處理內(nèi)容包括數(shù)值換算、坐標(biāo)計(jì)算和輔助計(jì)算等三個(gè)方面。數(shù)值換算是準(zhǔn)備，坐標(biāo)計(jì)算是核心，輔助計(jì)算是完善，其內(nèi)容如圖18所示。數(shù)學(xué)處理內(nèi)容數(shù)值換算坐標(biāo)計(jì)算標(biāo)注尺寸換算尺寸鏈解算基點(diǎn)的直接計(jì)算節(jié)點(diǎn)的擬合計(jì)算參數(shù)點(diǎn)計(jì)算其他相關(guān)計(jì)算輔助計(jì)算圖18數(shù)學(xué)處理內(nèi)容三、數(shù)學(xué)處理的方法數(shù)學(xué)處理的方法主要有八種，如圖19所示。解析幾何計(jì)算法擬合計(jì)算法作圖計(jì)算法代數(shù)計(jì)算法幾何計(jì)算法三角函數(shù)計(jì)算法微積分計(jì)算法向量代數(shù)計(jì)算法數(shù)學(xué)處理方法圖19數(shù)學(xué)處理方法框圖 1作圖計(jì)算法 這種計(jì)算方法是以準(zhǔn)確繪圖為主，并輔以

6、簡單加、減運(yùn)算的一種處理方法，因其實(shí)質(zhì)為作圖，故在習(xí)慣上也稱為作圖法。其繪圖、計(jì)算后所得結(jié)果的準(zhǔn)確程度，完全由繪圖的精度確定。2代數(shù)計(jì)算法 在數(shù)控編程中，由于所涉及的零件輪廓形狀各異，一般極少單獨(dú)采用代數(shù)與幾何這兩種方法中的一種進(jìn)行坐標(biāo)點(diǎn)的計(jì)算，而往往將這兩種計(jì)算法作為其他計(jì)算法(如三角函數(shù)計(jì)算法)的過渡或輔助手段，并融合在其他計(jì)算法中應(yīng)用。3幾何計(jì)算法 幾何計(jì)算法包括平面幾何與立體幾何，利用幾何學(xué)中基本定理進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明，進(jìn)而求出加工輪廓的點(diǎn)的數(shù)值。4三角函數(shù)計(jì)算法 三角函數(shù)計(jì)算法簡稱三角計(jì)算法。在手工編程工作中，因?yàn)檫@種方法比較容易掌握，所以應(yīng)用十分廣泛，是進(jìn)行數(shù)學(xué)處理時(shí)應(yīng)重點(diǎn)掌握的方法

7、之一。5解析幾何計(jì)算法 解析幾何包括平面解析幾何與空間解析幾何，重點(diǎn)應(yīng)掌握平面解析幾何。應(yīng)用平面解析幾何計(jì)算法可省掉一些復(fù)雜的三角關(guān)系，用簡單的數(shù)學(xué)方程即可準(zhǔn)確地描述零件輪廓的幾何圖形，因此，分析和計(jì)算的過程都得到簡化，并減少了較多層次的中間運(yùn)算，使其計(jì)算誤差大大減小，計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確，并且不易出錯(cuò)。在絕對編程坐標(biāo)系中，應(yīng)用這種方法所解出的坐標(biāo)值一般不產(chǎn)生累積誤差，減少了尺寸換算的工作量，還可提高其計(jì)算效率等。因此，在數(shù)控機(jī)床加工的手工編程中，平面解析幾何計(jì)算法是應(yīng)用較普遍的計(jì)算方法之一。6、擬合計(jì)算法 在數(shù)控加工中經(jīng)常用到這種方法，它是用微小細(xì)分的直線段或圓弧段近似代替非圓曲線的一種數(shù)學(xué)處理

8、方法。7、微積分計(jì)算法 應(yīng)用微積分、微分方程等方法計(jì)算題目中所提出的問題。8、向量代數(shù)計(jì)算法 向量代數(shù)較多地應(yīng)用于較復(fù)雜的空間矢量計(jì)算。1、標(biāo)注尺寸換算(1)直接換算 指直接通過圖樣上的標(biāo)注尺寸，即可獲得編程尺寸的一種方法。進(jìn)行直接換算時(shí)，可對圖樣上給定的基本尺寸或極限尺寸的中值，經(jīng)過簡單的加、減運(yùn)算后完成。四、 數(shù)值換算簡介圖1-10(2)間接換算 指需要通過平面幾何、三角函數(shù)等計(jì)算方法進(jìn)行必要解算，才能得到其編程尺寸的一種方法。用間接換算法所換算出來的尺寸，可以是直接編程時(shí)所需的基點(diǎn)坐標(biāo)尺寸，也可以是為計(jì)算某些基點(diǎn)坐標(biāo)值所需要的中間尺寸。2、尺寸鏈的解算圖1-11圖1-12一、坐標(biāo)系基本概

9、念1、坐標(biāo)：能夠確定一個(gè)點(diǎn)在空間的位置的一個(gè)或一組數(shù)，叫做這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。 2、坐標(biāo)系：具有點(diǎn)連續(xù)移動(dòng)的空間、原點(diǎn)、方向和單位長度的基準(zhǔn)系統(tǒng)叫坐標(biāo)系。 第四節(jié) 坐標(biāo)系 （機(jī)床坐標(biāo)系、工件坐標(biāo)系、編程坐標(biāo)系）3、直線坐標(biāo)系： (1)在給定的直線l上指定正方向；(2)在直線l上取一定點(diǎn)作為原點(diǎn)(一般以O(shè)表示這一點(diǎn))；(3)任取一條一定長度的線段作為單位長度。我們就說在直線l上建立了直線坐標(biāo)系，這一條直線叫做坐標(biāo)軸，也叫做數(shù)軸。實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系。就是說，對于任何一個(gè)實(shí)數(shù)，總可以用數(shù)軸上的一個(gè)(唯一的)點(diǎn)來表示它；反過來，數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)，都表示一個(gè)(唯一的)實(shí)數(shù)。我們把這個(gè)點(diǎn)可

10、以連續(xù)移動(dòng)的直線叫做一維空間。 圖1-13圖1-144、平面直角坐標(biāo)系：（1）平面直角坐標(biāo)系定義1)在平面上選定兩條互相垂直的直線，并指定正方向(用箭頭表示)；2)以二直線的交點(diǎn)作為原點(diǎn)；3)選取任意長的線段作為二直線的公共單位長度 。這樣，我們就說在平面上建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系 (圖115)。圖1-15（2）平面上點(diǎn)的坐標(biāo) 在給定的直角坐標(biāo)系下，對于平面上的任意一點(diǎn)P，我們可以得到唯一的一對有序?qū)崝?shù)（a,b)來和它對應(yīng)；反過來，對于任何一對有序?qū)崝?shù)（a,b)，在平面上就能確定一個(gè)唯一的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（a,b),就是說，平面上的點(diǎn)P和一對有序?qū)崝?shù)(a,b)之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。我們把這個(gè)

11、點(diǎn)可以連續(xù)移動(dòng)的平面叫做二維空間?；蛘甙延蓛蓚€(gè)有序數(shù)字確定的點(diǎn)的空間叫二維空間。 圖1-16圖1-175、空間坐標(biāo)系：（1）空間坐標(biāo)系定義1)在空間上選定三條互相垂直的直線，并指定正方向(用箭頭表示)；2)以三直線的交點(diǎn)作為原點(diǎn)；3)選取任意長的線段作為三直線的公共單位長度。這樣，我們就說在空間上建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系。圖1-18（2）空間上點(diǎn)的坐標(biāo) 在空間確定直角坐標(biāo)系后，空間中任意一點(diǎn)就唯一地決定了一個(gè)“有序三數(shù)組”；反之，任意一個(gè)這樣的“有序三數(shù)組”就唯一地決定了空間中的一個(gè)點(diǎn)也就是說，建立了空間直角坐標(biāo)系之后，空間中的所有點(diǎn)與由三個(gè)有順序的實(shí)數(shù)構(gòu)成的數(shù)組的全體之間便建立了一一對應(yīng)關(guān)系。我

12、們把這個(gè)點(diǎn)可以連續(xù)移動(dòng)的空間叫做三維空間，或者把由三個(gè)有序數(shù)字確定的點(diǎn)的空間叫三維空間。 圖1-191、機(jī)床坐標(biāo)系的定義 為了確定機(jī)床的運(yùn)動(dòng)方向和移動(dòng)距離，需要在機(jī)床上建立一個(gè)坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系就叫機(jī)床坐標(biāo)系。2、坐標(biāo)軸的確定方法 在確定機(jī)床坐標(biāo)軸時(shí)，一般先確定Z軸，然后確定X軸和Y軸，最后確定其它軸。 (1)Z軸 Z軸的方向是由傳遞切削力的主軸確定的，與主軸軸線平行的坐標(biāo)軸即為Z軸。如果機(jī)床沒有主軸，則Z軸垂直于工件裝卡面。同時(shí)規(guī)定刀具遠(yuǎn)離工件的方向作為坐標(biāo)軸的正方向。 二、機(jī)床坐標(biāo)系(2)X軸 X軸是水平的，平行于工件的裝卡面，且垂直于Z軸。(3)Y軸 Y坐標(biāo)軸垂直于X、Z坐標(biāo)軸。Y運(yùn)動(dòng)的

13、正方向根據(jù)X和Z坐標(biāo)的正方向，按照右手直角笛卡兒坐標(biāo)系來判斷。(4)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 圍繞坐標(biāo)軸X、Y、Z旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，分別用A、B、C表示。它們的正方向用右手螺旋法則判定。(5)工件運(yùn)動(dòng)時(shí)的方向 圖1-21圖1-223、坐標(biāo)原點(diǎn)的確定 機(jī)床坐標(biāo)系的原點(diǎn)是在機(jī)床出廠時(shí)，由制造廠家在機(jī)床上設(shè)置的一個(gè)固定點(diǎn)，簡稱MCS。它是機(jī)床制造時(shí)的基準(zhǔn)點(diǎn)，又是數(shù)控機(jī)床進(jìn)行加工或位移的基準(zhǔn)點(diǎn)。 圖1-23圖1-24a)數(shù)控銑床坐標(biāo)系及機(jī)床原點(diǎn)b)銑削加工零件及工件原點(diǎn) 1、定義 工件坐標(biāo)系是用于確定工件幾何圖形上各幾何要素(點(diǎn)、直線和圓弧)的位置而建立的坐標(biāo)系。工件坐標(biāo)系的原點(diǎn)即是工件零點(diǎn)。三、工件坐標(biāo)系圖1-252、工

14、件零點(diǎn)的一般選用原則： (1)工件零點(diǎn)選在工件圖樣的尺寸基準(zhǔn)上。 (2)能使工件方便地裝卡、測量、對刀和檢驗(yàn)。 (3)工件零點(diǎn)盡量選在尺寸精度較高、粗糙度比較低的工件表面上。 (4)對于有對稱形狀的幾何零件，工件零點(diǎn)最好選在對稱中心上。 編程坐標(biāo)系是在編制數(shù)控程序過程中用于確定工件幾何圖形上各幾何要素(點(diǎn)、直線和圓弧)的位置而建立的坐標(biāo)系。編程坐標(biāo)系分為兩種，即絕對坐標(biāo)系和增量坐標(biāo)系（或相對坐標(biāo)系）。1、絕對坐標(biāo)系 編程坐標(biāo)系的所有坐標(biāo)點(diǎn)的位置都以坐標(biāo)原點(diǎn)為基準(zhǔn)的坐標(biāo)系。四、編程坐標(biāo)系圖1-262、增量坐標(biāo)系 也稱相對坐標(biāo)系，它是新的坐標(biāo)原點(diǎn)與舊的坐標(biāo)原點(diǎn)有相對變換的坐標(biāo)系。在數(shù)控加工中特指加

15、工輪廓曲線上，各線段的終點(diǎn)位置以該線段起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)而確定的坐標(biāo)系。 圖1-27一、基點(diǎn)與直接計(jì)算 1、基點(diǎn)的含義 構(gòu)成零件輪廓的不同幾何要素的交點(diǎn)、切點(diǎn)或者各幾何元素間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)稱為基點(diǎn)，如兩直線間的交點(diǎn)，直線與圓弧或圓弧與圓弧間的交點(diǎn)或切點(diǎn)，圓弧與二次曲線的交點(diǎn)或切點(diǎn)等。 2、基點(diǎn)直接計(jì)算的內(nèi)容 每條運(yùn)動(dòng)軌跡(線段)的起點(diǎn)或終點(diǎn)（即基點(diǎn)）在選定坐標(biāo)系中的各坐標(biāo)值和圓弧運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心坐標(biāo)值。第五節(jié) 基點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、參數(shù)點(diǎn)圖1-28 1、節(jié)點(diǎn)的含義 當(dāng)采用不具備非圓曲線插補(bǔ)功能的數(shù)控機(jī)床加工非圓曲線輪廓的零件時(shí)，加工程序的編制工作，常常需要用直線或圓弧去近似代替非圓曲線，稱為擬合處理。擬合線段中的交

16、點(diǎn)或切點(diǎn)就稱為節(jié)點(diǎn)。也可以說在滿足允許的編程誤差的條件下進(jìn)行分割，即用若干直線段或圓弧來逼近給定的曲線，逼近線段的交點(diǎn)或切點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。 二、節(jié)點(diǎn)與擬合計(jì)算圖1-29圖1-30 2、節(jié)點(diǎn)擬合計(jì)算的內(nèi)容 節(jié)點(diǎn)擬合計(jì)算的難度及工作量都較大，故宜通過計(jì)算機(jī)完成，必要時(shí)，也可由人工計(jì)算完成，但對編程者的數(shù)學(xué)處理能力要求較高。擬合結(jié)束后，還必須通過相應(yīng)的計(jì)算，對每條擬合線段的擬合誤差進(jìn)行分析。 除基點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)外，在數(shù)控加工過程中還有一些點(diǎn)的坐標(biāo)值是編程不可缺少的，這些點(diǎn)稱為參數(shù)點(diǎn)，例如輪廓的粗加工、半精加工所涉及的點(diǎn)（如中間加工過程刀軌基點(diǎn)），螺紋加工中的大徑、中徑、小徑等的起刀點(diǎn)、退刀點(diǎn)、換刀點(diǎn)、圓心點(diǎn)以

17、及坐標(biāo)系的參考點(diǎn)，這些參數(shù)點(diǎn)由輔助計(jì)算完成。三、參數(shù)點(diǎn) 從運(yùn)動(dòng)的角度看，基點(diǎn)就是運(yùn)動(dòng)軌跡幾何性質(zhì)改變的轉(zhuǎn)換點(diǎn)?；c(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、參數(shù)點(diǎn)都屬于幾何尺寸及位置的點(diǎn)，都是編寫加工程序必不可少的點(diǎn)，在加工圖樣中不可能將其標(biāo)清楚、標(biāo)完全，為此要通過建立解題分析圖將它們一一標(biāo)出。 四、基點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、參數(shù)點(diǎn)的一般建立 數(shù)控加工的實(shí)質(zhì)是通過預(yù)先設(shè)定的數(shù)控指令（或程序）由適當(dāng)?shù)臄?shù)控機(jī)床用不同的加工方法（車、銑、鉆、鏜 、磨、光、電等）完成對工件的加工，以達(dá)到設(shè)計(jì)要求的尺寸精度。無論用那一種方法，都是要去除毛坯件上多余的部分，剩下余留的部分就是所需要的成品工件。我們主要考慮數(shù)學(xué)元素，設(shè)定適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，無論是二維平面圖形，

18、三維空間實(shí)體，還是多自由度多維空間，把各種切削刀具都可以簡化為一個(gè)刀位點(diǎn)或一個(gè)微型球形刀，刀位點(diǎn)掃掠經(jīng)過之處，任何材料均被沿著軌跡嚴(yán)格地切削鏟除，刀位點(diǎn)按照工藝刀軌路線有序地運(yùn)動(dòng)，工件毛坯就像削蘋果一樣被層層切除，最后留下的部分就是成品工件。在這里我們忽略了刀具的材料、形狀、硬度、夾具、載荷、磨損等，也忽略了工件的材料、形狀、硬度、夾具、載荷等因素。 第六節(jié) 數(shù)控加工數(shù)學(xué)模型的建立一、對數(shù)控加工的抽象化理解圖1-31圖1-32圖1-331、零件圖分析 對零件圖樣進(jìn)行分析時(shí)，要求達(dá)到下面三個(gè)“完整準(zhǔn)確”：（1）一組完整準(zhǔn)確的視圖 （2）一組完整準(zhǔn)確的幾何尺寸 （3）一組完整準(zhǔn)確的要求 二、數(shù)控加

19、工數(shù)學(xué)模型建立的一般方法圖1-34圖1-352、對零件圖樣進(jìn)行數(shù)值變換 3、繪制解題分析圖 4、計(jì)算并列表寫出結(jié)果二維空間數(shù)學(xué)模型例一、對零件圖136所示的螺紋錐面軸建立數(shù)控加工數(shù)學(xué)模型，毛坯直徑32mm,材料為45鋼，調(diào)質(zhì)處理。三、建立數(shù)控加工數(shù)學(xué)模型范例解:（1）圖樣分析 (2)數(shù)值變換 (3)解題分析圖 (4)基點(diǎn)、參數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)表圖136零件圖與說明 四、三維空間數(shù)學(xué)模型 例二、圖138所示的棱臺面，用三坐標(biāo)數(shù)控銑床加工棱臺面，材料為45鋼，毛坯為一矩形塊，建立進(jìn)行數(shù)控加工時(shí)的數(shù)學(xué)模型。解: （1）圖樣分析 （2）數(shù)值變換 （3）解題分析圖 （4）基點(diǎn)、參數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)表 圖138 棱臺面加工圖

20、習(xí)題1.數(shù)控機(jī)床與普通機(jī)床的區(qū)別是什么，數(shù)控機(jī)床的加工方法主要有哪些？2.說明現(xiàn)代制造業(yè)正經(jīng)歷著哪“三步曲”,朝著什么方向發(fā)展？3.數(shù)控加工數(shù)學(xué)處理內(nèi)容有哪些，其核心是什么？4.用框圖畫出數(shù)學(xué)處理的三大內(nèi)容和八項(xiàng)工具，手工編程常用的有哪幾種工具？5.名詞解釋：(1)坐標(biāo)；(2)坐標(biāo)系；(3)機(jī)床坐標(biāo)系；(4)工件坐標(biāo)系；(5)絕對坐標(biāo)系；(6)相對坐標(biāo)系；(7)基點(diǎn)；(8)節(jié)點(diǎn)；(9)參數(shù)點(diǎn)；(10)圖樣分析的三個(gè)“完整準(zhǔn)確”；(11)建立數(shù)學(xué)模型的“四個(gè)步驟”。6.在數(shù)軸(圖1-42)上O為原點(diǎn)，且OA=2，AB=3，OC=-4.求A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)。圖1-427.在數(shù)軸上標(biāo)出下列各點(diǎn)的位

21、置：(1)A1(-3.5);(2) A2;(3)A3(5sin15); (4)A4(-)。8.先畫出一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，再描出下列各點(diǎn)：9.下列各點(diǎn)相對于坐標(biāo)系位置有何特殊?10.從點(diǎn)P(-1，2，3)和Q(a，b，c)分別向各坐標(biāo)平面和各坐標(biāo)軸引垂線，求各垂足的坐標(biāo)。11.已知點(diǎn)P(2，-3，-1)和M(a，b，c)，分別求這兩點(diǎn)關(guān)于下列坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。(1)Oxy平面；(2)Oyz平面；(3)z軸；(4)原點(diǎn)。12.指出適合下列條件的點(diǎn)的位置：(1)橫坐標(biāo)為零的點(diǎn)；(2)豎坐標(biāo)為零的點(diǎn)；(3)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同時(shí)為零的點(diǎn)。13.設(shè)長方體的三條棱的長為2，7，8，若以

22、它的對稱中心為原點(diǎn)，試寫出立方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。本章的教學(xué)要求：1.掌握常用的幾種分解因式的方法，能熟練地對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。2.掌握一元一次方程、二元一次方程組和三元一次方程組的解法，能熟練地求這類方程或方程組的解。 3. 掌握二元一次方程、可化為二元一次方程的分式方程以及簡單的二元二次方程組的解法，能熟練地求這類方程或方程組的解。 第二章 初等代數(shù)本章的教學(xué)內(nèi)容：1.常用的幾種分解因式的方法：提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法。2. 一元一次方程和可化為一元一次方程的分式方程的解法。3. 二元一次方程組和三元一次方程組的解法。4. 二元一次方程和可化為二元一次方程的分式方程的

23、解法。5. 簡單的二元二次方程組的解法。第一節(jié) 分解因式一、分解因式的定義 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式（或叫做因式分解）。1、提取公因式法 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法。 二、常用的分解因式的方法例1把下列各式分解因式： (1)8a3b212ab3c；(2)-4m316m226m； (3)2a(bc)3(bc)；(4)6(x2)x(2x)。2、運(yùn)用公式法 如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。（1

24、）平方差公式 a2b2（ab）(ab) 這就是說，兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。這個(gè)公式就是平方差公式。例2把下列各式分解因式：(1)125b2；(2)16(ab)29(ab)2；(3)x5x3；(4)x4y4。2.完全平方公式 a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2 這就是說，兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或者差）的平方。我們把a(bǔ)22abb2及a22abb2這樣的式子叫做完全平方式，上面方框中的兩個(gè)公式就是完全平方公式。 例3把下列各式分解因式：(1)25x410 x21；(2)3ax26axy3ay2。3.立方和與立方

25、差公式a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2) 這就是說，兩個(gè)數(shù)的立方和（或者差），等于這兩個(gè)數(shù)的和（或者差）乘以它們的平方和與它們的積的差（或者和）。這兩個(gè)公式分別就是立方和公式與立方差公式。 例4把下列各式分解因式：(1)27x6；(2)1。3、分組分解法 利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。它有以下兩種情況： （1）分組后能直接提取公因式 如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提取公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來分解因式。注意 ：用分組分解法時(shí)，一定要想一想分組后能否繼續(xù)進(jìn)行，完成分解因式，由此合理選擇分組的方法。例5把下列各式分解因

26、式：(1)a2abacbc；(2)3ax4by4ay3bx。（2）分組后能直接運(yùn)用公式 如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式也可以用分組分解法來分解因式。例6把下列各式分解因式：(1)x2y2axay；(2)x3x2yxy2y3。4、十字相乘法x2(ab)xab(xa)(xb)這就是說，對于二次三項(xiàng)式x2pxq，如果能夠把常數(shù)項(xiàng)q分解成兩個(gè)因數(shù)a、b的積，并且ab等于一次項(xiàng)的系數(shù)p，那么它就可以分解因式，即x2pxqx2(ab)xab(xa)(xb).運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三

27、項(xiàng)式分解因式。 把 分解因式時(shí)： 如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)同號因數(shù)，它們的符號與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號相同； 如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)異號因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號相同。 對于分解的兩個(gè)因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)的系數(shù)p。例7把下列各式分解因式：(1)x23x2；(2)x27x6；(3)x24x21；(4)x22x15。 上面的方法是用來分解二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，那么，應(yīng)該如何把二次三項(xiàng)式 進(jìn)行因式分解呢？我們知道， 我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a1、a2,常數(shù)項(xiàng)c分解成c1、c2，并且把a(bǔ)1、a2,、c1、c2排列如下： 這里按斜

28、線交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它們正好等于ax2bxc的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax2bxc就可以分解成 (a1xc1)(a2xc2)，其中a1、c1位于上圖的上一行，a2、c2位于下一行。 a1 c1 a2 c2 像這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解。例8把下列各式分解因式：(1)2x27x3；(2)6x27x5；(3)5x26xy8y2。1.(1)15x3y25x2y20(3)(mn)(pq)(mn)(pq)；

29、(4)a(xa)b(ax)c(xa)。2.(1)a249；(2)(2xy)2(x2y)2；(3)81a4b4；(4)x22x1；(5)m214m49；(6)25a440a2b216b4；(7)(xy)26(xy)9；(8)11/8a3；(10)(2x1)3x3。3.(1)a2abacbc；(2)7x23yxy21x；(3)4x24xyy2a2；(4)aa4；(5)x4y2x3y2x2y2xy2。4.(1)x29x8；(2)x210 x24；(3)a22ab15b2；(4)(xy)23(xy)40；(5)3x27x6；(6)6a213a6； (7)2x23x1； (8)6m211mn2n2。習(xí)題

30、2.11.概念含有未知數(shù)的等式叫做方程。在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)x（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程。方程axb0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a0）叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。第二節(jié) 一次方程（組）的解法一、一元一次方程及其解法2.一元一次方程的解法 解一元一次方程，一般要通過去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知數(shù)的系數(shù)化為1等步驟，把一個(gè)一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成xa的形式。例1解下列方程： (1)11x15(2x1)；(2)1/5(x15)1/21/3(x7)。 從上面的例題可以看到，解方程時(shí)，并不是所有的步驟都要用到，而是要根據(jù)方程的形式靈活地安

31、排求解步驟，有時(shí)一些步驟還可以合并簡化。但是，有一點(diǎn)我們要強(qiáng)調(diào)：移項(xiàng)時(shí)要變號。 3.可化為一元一次方程的分式方程的解法 分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。解分式方程的一般步驟是： (1)在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程； (2)解這個(gè)整式方程； (3)把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去。 1.二元一次方程和二元一次方程組 含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。 兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。二元

32、一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。 二、二元一次方程（組）和它的解法例2解方程5/x7/x-2。解方程的兩邊都乘以x(x2)，約去分母，得5(x2)7x解這個(gè)整式方程，得x-5例3解方程1/x-21-x/2-x3。解方程的兩邊都乘以x2，約去分母，得1x13(x2)解這個(gè)整式方程，得x22.二元一次方程組的解法 解二元一次方程組的基本思路是“消元”把“二元”變?yōu)椤耙辉?。主要方法有以下兩種：(1)代入消元法 在一個(gè)二元一次方程組中，將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。這種

33、解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法。例4解方程組解由，得x134y解得y2例5解方程組解由得x8+7y/2(2)加減消元法： 在一個(gè)二元一次方程組中，通過將兩式相加（減），從而消去其中的一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。這種解方程組的方法稱為加減消元法，簡稱加減法。例6解方程組解，得8y-8y-1例7解方程組解3，得6x9y36 2，得6x8y34 ，得y2 在一個(gè)方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程的未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組，叫做三元一次方程組。 三元一次方程組的解法與二元一次方程組的解法類似，都是通過代入法或加減法消去一個(gè)或兩個(gè)未知數(shù)，把它化成

34、二元一次方程組或一元一次方程，從而求出方程組的解。 三、三元一次方程組和它的解法例8解方程組解3，得11x10z35 與組成方程組，解這個(gè)方程組，得1.解下列一元一次方程：(1)2x3116x；(2)2(3y4)7(4y)4y；(3)x+2/42x-3/61；(4)5y+1/69y+1/81-y/3。2.解下列分式方程：(1)x/x-5x-2/x-6；(2)x-8/x-71/7-x8；(3)1/x1/x+15/2x+2；(4)5x-4/2x-42x+5/3x-61/2。3.解下列二元一次方程組：(1)(2)(3) (5)(6)4.解下列三元一次方程組：(1)(2)習(xí)題2.21.一元二次方程的概

35、念 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式為ax2bxc0 (a0) 其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。 第三節(jié) 二次方程（組）的解法一、一元二次方程和它的解法2.一元二次方程的解法(1)直接開平方法 如果一個(gè)一元二次方程的一邊是未知數(shù)或含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，那么，就可以用直接開平方的方法來求出方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。例1解方程(x3)22。 (2)配方法 把一個(gè)一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把左邊配成一個(gè)完全平方式，如果

36、右邊是非負(fù)數(shù)，就可以通過直接開平方法來求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法。 例2解方程x24x30。 對于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程，為了便于配方，就要先將二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，然后再用配方法求解。 例3解方程2x237x。(3)公式法一般的，對于一元二次方程ax2bxc0 (a0)，當(dāng)b24ac0時(shí)，它的根是： x 上面這個(gè)式子稱為一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法。 例4解方程x27x180。注意 在使用求根公式時(shí)，要求b24ac0，若b24ac0，則方程無解。 確定a，b，c的值時(shí)，要注意符號。(4)因式分解法 將一個(gè)一元二次方程的一邊化為0

37、，另一邊用分解因式的方法分解成兩個(gè)一次因式乘積的形式，再讓這兩個(gè)一次因式分別等于零，從而求出方程的兩個(gè)解，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例5解方程3x216x50。 解可化為一元二次方程的分式方程的方法，與解可化為一元一次方程的分式方程的方法相同。解方程時(shí)，用同一個(gè)含有未知數(shù)的整式（各分式的最簡公分母）去乘方程的兩邊，約去分母，化為整式方程。這樣得到的整式方程的解有時(shí)與原方程的解相同，但也有時(shí)與原方程的解不同，或者說產(chǎn)生了不適合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程時(shí)必須代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)。為了簡便，可把解得的根代入所乘的整式，如果不使這個(gè)整式等于0，就是原方程的根；如果使這個(gè)整式

38、等于0，就是原方程的增根，必須舍去。例6解方程1/x24x/-4+2/2-x1。二、可化為一元二次方程的分式方程 方程 x22xyy2xy60是一個(gè)含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做二元二次方程。其中x2，2xy，y2叫做這個(gè)方程的二次項(xiàng)，x，y叫做一次項(xiàng)，6叫做常數(shù)項(xiàng)。 由有一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組，或由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組都叫做二元二次方程組。 以我們現(xiàn)有的知識，并不是所有的二元二次方程組我們都能求出它們的解，下面我們只研究兩種最簡單的二元二次方程組的解法。 三、簡單的二元二次方程組1.由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方

39、程組成的方程組由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法來解。例7解方程組x2-4y2x3y-10 （1） 2x-3y-10 （2）2.由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程的方程組成的方程組 對于一個(gè)由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程的方程組成的方程組，我們一般采用的解法是：（1）將這個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程的方程化為兩個(gè)二元一次方程；（2）將這兩個(gè)二元一次方程與原方程組中的二元二次方程組成兩個(gè)新的二元二次方程組；（3）解這兩個(gè)方程組，就可以得到原方程組的所有解。 例8解方程組x2y220 （1） x2-5xy6y2 0 （2）1.用適

40、當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝卸淮畏匠蹋?1)x23x20；(2)x23x20；(3)x212x270；(4)(x1)(x2)70；(5)(3t)2t29；(6)(y2)23；(7)(2x3)23(4x3)；(8)(y )24 y；(9)(2x1)(x3)4；(10)3x(x1)22x。2.解下列分式方程：(1)x-1/-2x-1/x=x/x-2;(2)x+1/-x-1/3x=x+5/3x-3；(3)x/x+3x/x-318/-9；(4)1/1-x23x-/1-。習(xí)題2.33.解下列方程組： (2)(3) (4) 1.掌握三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)，能熟練進(jìn)行三角形全等、相似的判斷和證明。2.掌握四邊形的有關(guān)

41、概念和性質(zhì)，能熟練進(jìn)行平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的判斷和證明。 3. 掌握圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，能熟練判斷直線與圓、圓與圓、正多邊形與圓之間的關(guān)系。 第三章 平面幾何本章的教學(xué)要求：1. 三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)。2. 全等三角形的概念、性質(zhì)和判定。3. 等腰三角形的性質(zhì)和判定。4. 相似三角形的判定和性質(zhì)。5. 四邊形的有關(guān)概念和性質(zhì)。6. 幾種常見四邊形的性質(zhì)和判定：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形。7. 圓的有關(guān)概念和性質(zhì)。8. 直線與圓的位置關(guān)系。9. 圓與圓的位置關(guān)系。10. 正多邊形與圓之間的關(guān)系。本章的教學(xué)內(nèi)容：1.三角形的概念 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接

42、所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。 三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。 第一節(jié) 三角形一、三角形的基本知識 “三角形”可以用符號“”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形，記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。 ABC的三邊，有時(shí)也用a、b、c來表示。頂點(diǎn)A所對的邊BC用a表示，頂點(diǎn)B所對的邊AC用b表示，頂點(diǎn)C所對的邊AB用c表示。圖3-1 2.幾種重要線段的概念和性質(zhì) (1)三角形的角平分線 三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角

43、形的角平分線。 三角形的角平分線有以下一些性質(zhì)： 性質(zhì)1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 性質(zhì)2：到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。 性質(zhì)3：在一個(gè)三角形里，有三條角平分線，這三條角平分線相交于一點(diǎn)。 圖3-2 (2)三角形的中線 在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線。 在一個(gè)三角形里，有三條中線，這三條中線相交于一點(diǎn)。 圖3-3 (3)三角形的高 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高。 在一個(gè)三角形里，有三條高，這三條高所在的直線相交于一點(diǎn)。圖3-4圖3-5 3.三角形的分類

44、 (1)三角形按邊分類 三角形的三條邊，有的各不相等，有的有兩邊相等，有的三條邊都相等。三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。 圖3-6不等邊三角形 在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角。 等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊和腰相等的等腰三角形。 因此，三角形按邊的相等關(guān)系分類如下：三角形 等腰三角形 底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形 (2)三角形按角分類 三角形的三個(gè)內(nèi)角，有的可能都是銳角，有的可能有一個(gè)直角，還有的可能有一個(gè)鈍角。三個(gè)角都是銳角的三角形叫做

45、銳角三角形，有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形，有一個(gè)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。 圖3-7銳角三角形和鈍角三角形合稱斜三角形。 在直角三角形中，夾直角的兩邊叫做直角邊，直角的對邊叫做斜邊。兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 因此，三角形按角分類如下：直角三角形鈍角三角形三角形斜三角形 銳角三角形4.三角形邊角之間的關(guān)系(1)三角形邊之間的關(guān)系 1)在一個(gè)任意的三角形中，它的兩條邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊。 2)在直角三角形中，兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。即a2b2c2例1一個(gè)等腰三角形的周長為18cm。1) 已知腰長是底邊長的2倍，求各邊長。2) 已

46、知其中一邊長4cm，求其他兩邊長。例2如圖3-8所示，已知等邊ABC的邊長是6cm。求高AD的長和ABC的面積。圖3-8(2)三角形角之間的關(guān)系1)三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。2)直角三角形的兩個(gè)銳角互余（即兩個(gè)銳角之和為90）。3)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。4)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。例3如圖3-9所示，D是AB上的一點(diǎn)，E是AC上的一點(diǎn)，BE、CD相交于點(diǎn)F，A62，ACD35，ABE20。圖3-9(3)三角形邊與角之間的關(guān)系在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對的角也不相等，大邊所對的角較大。 1.全等三角形的概念和性

47、質(zhì) 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形。兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。 二、三角形的全等記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上。 兩個(gè)全等的三角形有以下兩個(gè)性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。圖3-10 2.三角形全等的判定 (1)邊角邊公理 有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。 例4如圖3-11所示，已知ADBC，AECF。求證：AFDCEB。圖3-11 (2)角邊角公理 有兩角它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“AS

48、A”）。 角邊角公理有一個(gè)推論： 推論 有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）。 例5如圖3-12所示，已知ABCABC,AD、AD分別是ABC和ABC的高。求證：ADAD。圖3-12 (3)邊邊邊公理 有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。例6如圖3-13所示，已知ABCD，BCDA，E、F是AC上的兩點(diǎn)，且AECF。求證：BFDE。圖3-13 3.直角三角形全等的判定 判定兩個(gè)直角三角形全等，除了上述三個(gè)公理及其推論以外，還有一個(gè)專用的公理。 斜邊、直角邊公理 有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以就簡

49、寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。例7如圖3-14所示，已知在ABC和ABC中，CD和CD分別是高，并且CDCD，ACBACB。求證：ABCABC。圖3-14 1等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還有一些特殊的性質(zhì)。 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。 由等腰三角形的這個(gè)性質(zhì)定理，我們可以得出以下幾個(gè)推論： 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直底邊。這個(gè)推論就是我們常說的“三線合一”，即等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合。三、等腰三角形的性質(zhì)和判定推論2：等邊三角形的各角都相等，并

50、且每一個(gè)角都等于60。例8如圖3-15所示，已知點(diǎn)D、E在ABC的邊BC上，ABAC，ADAE。求證：BDCE。圖3-15 2.等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）。 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。例9求證：等腰三角形兩底角的平分線的交點(diǎn)到底邊的兩端點(diǎn)距離相等。圖3-161.比例線段的概念和性質(zhì)四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即那么這四條線段a、

51、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段。其中a、b、c、d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a、d叫做比例外項(xiàng)，線段b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段d叫做a、b、c的第四比例項(xiàng)。如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即四、三角形的相似 或 a：bc：d，或 a：bb：c ,那么線段b叫做線段a和c的比例中項(xiàng)。= 兩條線段的比是它們的長度的比，也就是兩個(gè)數(shù)的比。關(guān)于成比例的數(shù)就有下面的性質(zhì)。(1)比例的基本性質(zhì)，那么adbc。反之，如果adbc，那么 根據(jù)比例的基本性質(zhì)我們可以得出一個(gè)推論：如果 ，那么b2ac。反之，如果b2ac，那么 。如果。(2)合比性質(zhì)，那么如果（bdn0），那么。 如果(3)等比性質(zhì)圖3-1

52、7 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2.三角形相似的判定圖-18我們用符號“”來表示相似，記作“ABCABC”，讀作“ABC相似于ABC”。相似三角形對應(yīng)邊的比k，叫做相似比。 記兩個(gè)三角形相似時(shí)，和記兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上，這樣可以比較容易地找出相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。 判定兩個(gè)三角形相似，有以下幾種方法： (1)相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。 (2)判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。可簡單說成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。 (3)判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊

53、與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似?？珊唵握f成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。 (4)判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。可簡單說成：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。 判定直角三角形相似與判定直角三角形全等類似，除了上面已講的定理以外，還有下面的定理。 定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。 例10依據(jù)下列各組條件，判斷ABC與ABC是否相似，并說明為什么。(1)A120，(2)AB4cm， BC6cm， AC8cm， A

54、B12cm， BC18cm， AC24cm。 3.三角形相似的性質(zhì) 如果兩個(gè)三角形相似，它們就具有下面一些性質(zhì)： (1)由相似三角形的定義知，相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。 (2)定理1：相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。 (3)定理2：相似三角形周長的比等于相似比。 (4)定理3：相似三角形面積的比等于相似比的平方。例11如圖3-19所示，CD是RtABC的斜邊上的高。(1)已知AD9cm，CD6cm，求BD；(2)已知AB25cm，BC15cm，求BD。圖3-191.判斷下列長度的三條線段能否組成三角形，為什么？(1)3cm，4cm，8cm；(2)5

55、cm，6cm，11cm；(3)5cm，6cm，10cm。2.等腰三角形的周長是16cm，腰比底長2cm，求這個(gè)等腰三角形各邊的長。3.如圖3-20所示，要在車床齒輪箱殼上鉆兩個(gè)圓孔，兩孔中心的距離AB是134mm，兩孔中心的水平距離BC是77mm，計(jì)算兩孔中心的垂直距離AC(精確到0.1mm)。習(xí)題3.1圖3-204.如圖3-21所示，在ABC中，已知ABC66，ACB54，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H和CF的交點(diǎn)。圖3-215.如圖3-22所示，已知ABAC，ADAE，12。圖3-226.如圖3-23所示，已知ABCABC，AD、AD分別是ABC和ABC的角平分線。圖3-237.如

56、圖3-24所示，已知ABAC，DBDC。圖3-248.如圖3-25所示，已知CDAB，BEAC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于點(diǎn)O。(1)當(dāng)1 2時(shí)，OBOC；(2)當(dāng)OBOC時(shí)， 1 2 。圖3-259.求證：等腰三角形兩底角的角平分線相等。10.求證：等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等。11.如圖3-26所示，已知CD平分ACB，AEDC，交BC的延長線于點(diǎn)E。圖3-2612.已知a、b、c、d是成比例線段，其中a3cm，b2cm，c6cm，求線段d的長。13.已知a/b2，求a+b/b。14.在ABC中，A47， AB1.5cm， AC2cm， 在DEF中， E47， ED2.8cm

57、， EF2.1cm。15.證明：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。16.在ABC中，AB12cm，BC18cm，CA=24cm，另一個(gè)和它相似的ABC的周長為81cm，求ABC的各邊長。 1.四邊形的定義 在平面內(nèi)，由不在同一條直線的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。組成四邊形的各條線段叫做四邊形的邊，每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做四邊形的頂點(diǎn)。 第二節(jié) 四邊形一、四邊形的有關(guān)概念圖3-27 2.四邊形對角線的定義 在四邊形中，連結(jié)不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做四邊形的對角線。 圖3-283.四邊形內(nèi)角的定義和性質(zhì) 四邊形相鄰兩邊所組成的角叫做四邊形的內(nèi)角，簡稱四邊形的角

58、。四邊形的內(nèi)角和等于360。 圖3-294.四邊形外角的定義和性質(zhì) 四邊形的角的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做四邊形的外角。四邊形的外角和等于360。圖3-30 1.平行四邊形及其性質(zhì) 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形用符號“”表示平行四邊形ABCD，記作“讀作“平行四邊形ABCD”。二、平行四邊形ABCD”，圖3-31 平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除了具有四邊形的性質(zhì)外，還有以下一些特殊的性質(zhì)： 平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對角相等。平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對邊相等。平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對角線互相平分。例1 已知ABCD，AB8cm，B

59、C10cm，B30。求ABCD的面積。圖3-32 2.平行四邊形的判定 判定一個(gè)四邊形是不是平行四邊形，有以下幾種方法： (1)平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 (2)平行四邊形判定定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 (3)平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 (4)平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 (5)平行四邊形判定定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 例2如圖3-33所示，已知在 ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)。求證：EBDF。圖3-33 1.矩形及其性質(zhì) 有一個(gè)角是直角的平行四

60、邊形叫做矩形。 矩形是一種特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有以下一些特殊的性質(zhì)： 矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個(gè)角都是直角。 矩形性質(zhì)定理2：矩形的對角線相等。 推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 三、矩形圖3-342.矩形的判定判定一個(gè)四邊形是不是矩形，有以下幾種方法：(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。(2)矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。(3)矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。例3如圖3-35所示，已知矩形ABCD的兩條對角線點(diǎn)O，AOD120，AB4cm。求矩形對角線的長。圖3-35 1.菱形及其性質(zhì) 有一組鄰邊相等的平