11-回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1、1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 第一課時(shí)基礎(chǔ)知識(shí)梳理溫故夯基1.我們?cè)诒匦?中已經(jīng)學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)的知識(shí),還記得抽樣方法嗎?三種隨機(jī)抽樣方法是_、_和_.2.我們還學(xué)習(xí)了用樣本的頻率分布估計(jì)_,用樣本的數(shù)字特征估計(jì)_.3.必修3主要研究?jī)蓚€(gè)變量的_相關(guān)性,并建立了_.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣總體分布總體的數(shù)字特征線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程兩個(gè)變量的關(guān)系不相關(guān)相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系線(xiàn)性相關(guān)非線(xiàn)性相關(guān)現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)變量間的關(guān)系:相關(guān)關(guān)系：對(duì)于兩個(gè)變量，當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模

2、型相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，是更一般的情況 變量間的相互關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)框圖表解變量間關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系 散點(diǎn)圖線(xiàn)性回歸線(xiàn)性回歸方程重點(diǎn)知識(shí)回顧1、相關(guān)關(guān)系 （1）概念：自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系。 （2）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)。 相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量間的關(guān)系。 不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，是一種因果系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系。 2、兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān) （1）回歸分析 對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定關(guān)系的某種確定性。 （2）散點(diǎn)圖 A、定義；B、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)。（

3、1）回歸直線(xiàn)：觀察散點(diǎn)圖的特征，如果各點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)的附近，就稱(chēng)兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)的關(guān)系，這條直線(xiàn)叫做回歸直線(xiàn)3、回歸直線(xiàn)方程正相關(guān)負(fù)相關(guān)（2）最小二乘法:樣本點(diǎn)的中心:回歸方程:課堂互動(dòng)講練該類(lèi)題屬于線(xiàn)性回歸問(wèn)題,解答本類(lèi)題目的關(guān)鍵首先應(yīng)先通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否相關(guān),然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程. 題型一線(xiàn)性回歸分析學(xué)生學(xué)科成績(jī)ABCDE數(shù)學(xué)成績(jī)(x)8876736663物理成績(jī)(y)7865716461（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的回歸直線(xiàn)方程；（3）一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96，試預(yù)測(cè)他的物理成績(jī).【思路點(diǎn)撥】先畫(huà)散點(diǎn)圖,分析物理與數(shù)學(xué)成

4、績(jī)是否有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,若相關(guān)再利用線(xiàn)性回歸模型求解預(yù)報(bào)變量.【解】(1)散點(diǎn)圖如圖：【題后點(diǎn)評(píng)】求回歸直線(xiàn)方程的一般方法是:作出散點(diǎn)圖,將問(wèn)題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn),這樣表示出的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的相關(guān)圖形就是散點(diǎn)圖,從散點(diǎn)圖中我們可以判斷樣本點(diǎn)是否呈條狀分布,進(jìn)而判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系.例題1 從某大學(xué)中隨機(jī)選出8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表：編號(hào)12345678身高165165157170175165155170體重4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172的女大學(xué)生的體重。1. 散點(diǎn)圖；2.回歸方程：3

5、.通過(guò)探究欄目引入“線(xiàn)性回歸模型”。此處可以引導(dǎo)學(xué)生們體會(huì)函數(shù)模型與回歸模型之間的差別。分析：由于問(wèn)題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量 第二課時(shí)題型二非線(xiàn)性回歸分析對(duì)于非線(xiàn)性回歸問(wèn)題,并且沒(méi)有給出經(jīng)驗(yàn)公式,這時(shí)我們可以畫(huà)出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,把它與必修模塊數(shù)學(xué)1中學(xué)過(guò)的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等）的圖象作比較,挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù),然后采用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸問(wèn)題,使其得到解決.例2 煉鋼廠(chǎng)出鋼時(shí)所用的盛鋼水的鋼包,在使用過(guò)程中,由于鋼液及爐渣對(duì)包襯耐火材料的侵蝕,使其容積不斷增大,請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找出使用次數(shù)x與增大的容積y

6、之間的關(guān)系.使用次數(shù)x23456789增大的容積y6.428.209.589.509.7010.009.939.99使用次數(shù)x10111213141516增大的容積y10.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76【解】先根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖,如圖所示：zabt，t、z的數(shù)值對(duì)應(yīng)表為：【題后點(diǎn)評(píng)】作出散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖選擇合適的回歸模型是解決本題的關(guān)鍵，在這里線(xiàn)性回歸模型起了轉(zhuǎn)化的作用. 第三課時(shí)探究？身高為172的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是,其原因是什么?（1）由圖形觀察可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，身高和體重有比較好的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線(xiàn)性回歸

7、方程刻畫(huà)它們之間的關(guān)系。（2）從散點(diǎn)圖還可以看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線(xiàn)的附近，而不是一條直線(xiàn)上，所以不能用一次函數(shù)來(lái)描述它們之間的關(guān)系。這時(shí)我們用下面的線(xiàn)性回歸模型來(lái)描述身高和體重的關(guān)系：+其中和為模型的未知參數(shù)，e是y與 之間的誤差,通常稱(chēng)為隨機(jī)誤差。產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因是什么？e 產(chǎn)生的主要原因： (1)所用確定性函數(shù)模擬不恰當(dāng)； (2)忽略了某些因素的影響； (3)觀測(cè)誤差，如使用的測(cè)量工具不同等函數(shù)模型與回歸模型之間的差別一次函數(shù)模型： y=bx+a 線(xiàn)性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y 的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e 共同確定，即自變量x 只能解析部分y 的變化.

8、在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱(chēng)為解析變量， 因變量y稱(chēng)為預(yù)報(bào)變量.線(xiàn)性回歸模型： y=bx+a+e隨機(jī)誤差e的估計(jì)量樣本點(diǎn)：相應(yīng)的隨機(jī)誤差為：隨機(jī)誤差的估計(jì)值為：稱(chēng)為相應(yīng)于點(diǎn) 的殘差.殘差分析在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否是線(xiàn)性相關(guān)，是否可以用線(xiàn)性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù).然后，可以通過(guò)殘差 來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù).這方面的分析工作稱(chēng)為殘差分析.0.382-2.8836.6271.137-4.6182.4192.627-6.373殘差5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654

9、321編號(hào)下表為女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)：e以縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)為編號(hào)，作出圖形（殘差圖）來(lái)分析殘差特性.由圖可知，第1個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤.如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后重新利用線(xiàn)性回歸模型擬合數(shù)據(jù);如果數(shù)據(jù)采集沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要尋找其他原因.如何刻畫(huà)模型擬合的精度？相關(guān)指數(shù)：在含有一個(gè)解釋變量的線(xiàn)性模型中，R2恰好等于相關(guān)系數(shù)r的平方.R2取值越大，則殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好.R2=0.64，表明：“女大學(xué)生的身高解釋了64的體重變化”，或者說(shuō)“女大學(xué)生的體重差異有64是由身高引起的”

10、.解釋預(yù)報(bào)1題型三殘差分析通過(guò)對(duì)殘差圖的分析，得出模型的擬合效果. 在7塊形狀、大小相同的并排試驗(yàn)田上進(jìn)行施肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)（單位：kg）:例3施肥量x/kg15202530354045水稻產(chǎn)量y/kg330345365405445450455(1)以施肥量x為解釋變量，水稻產(chǎn)量y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；(2)求y與x之間的回歸方程，并求施肥量為28 kg時(shí)水稻產(chǎn)量的預(yù)報(bào)值；(3)計(jì)算殘差，并計(jì)算殘差平方和；(4)求R2，并說(shuō)明其含義【解】（1）散點(diǎn)圖如圖所示：（2）由散點(diǎn)圖可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，施肥量和水稻產(chǎn)量有較好的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線(xiàn)性回歸方

11、程近似刻畫(huà)它們之間的關(guān)系?！绢}后點(diǎn)評(píng)】在求回歸方程時(shí)，先畫(huà)散點(diǎn)圖，看樣本是否能很好地符合線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).相關(guān)指數(shù)R2表示解釋變量對(duì)預(yù)報(bào)變量的貢獻(xiàn)率.變式訓(xùn)練次數(shù)(x)3033353739444650成績(jī)(y)3034373942464851某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與運(yùn)動(dòng)成績(jī)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下:（1）作出散點(diǎn)圖；（2）求出線(xiàn)性回歸方程；（3）作出殘差圖；（4）計(jì)算R2，并作出解釋?zhuān)唬?）試預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練47次及55次的成績(jī).解：(1)作出該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(jī)(y)之間的散點(diǎn)圖,如圖所示：由散點(diǎn)圖可知,它們之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.(4)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2計(jì)算相關(guān)指數(shù)R20.9855.說(shuō)

12、明了該運(yùn)動(dòng)的成績(jī)的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的(5)作出預(yù)報(bào)由上述分析可知，我們可用回歸方程1.0415x0.003875作為該運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的預(yù)報(bào)值將x47和x55分別代入該方程可得y49和y57.故預(yù)測(cè)運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練47次和55次的成績(jī)分別為49和57.建立回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量;（2）畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在線(xiàn)性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型（如觀察到數(shù)據(jù)呈線(xiàn)性關(guān)系，則選用線(xiàn)性回歸方程y=bx+a）；（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.1)確定解釋變量和預(yù)報(bào)變量; 2)畫(huà)出散點(diǎn)圖; 3)確定回歸方程類(lèi)型; 4)求出回歸方程;