11-回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1、1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 第一課時基礎(chǔ)知識梳理溫故夯基1.我們在必修3中已經(jīng)學(xué)習(xí)了統(tǒng)計的知識,還記得抽樣方法嗎?三種隨機(jī)抽樣方法是_、_和_.2.我們還學(xué)習(xí)了用樣本的頻率分布估計_,用樣本的數(shù)字特征估計_.3.必修3主要研究兩個變量的_相關(guān)性,并建立了_.簡單隨機(jī)抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣總體分布總體的數(shù)字特征線性回歸直線方程兩個變量的關(guān)系不相關(guān)相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系線性相關(guān)非線性相關(guān)現(xiàn)實生活中兩個變量間的關(guān)系:相關(guān)關(guān)系：對于兩個變量，當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系.函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模

2、型相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實生活中大量存在，是更一般的情況 變量間的相互關(guān)系基礎(chǔ)知識框圖表解變量間關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系 散點圖線性回歸線性回歸方程重點知識回顧1、相關(guān)關(guān)系 （1）概念：自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系。 （2）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點。 相同點：兩者均是指兩個變量間的關(guān)系。 不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，是一種因果系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系。 2、兩個變量的線性相關(guān) （1）回歸分析 對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析。通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定關(guān)系的某種確定性。 （2）散點圖 A、定義；B、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)。（

3、1）回歸直線：觀察散點圖的特征，如果各點大致分布在一條直線的附近，就稱兩個變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線3、回歸直線方程正相關(guān)負(fù)相關(guān)（2）最小二乘法:樣本點的中心:回歸方程:課堂互動講練該類題屬于線性回歸問題,解答本類題目的關(guān)鍵首先應(yīng)先通過散點圖來分析兩變量間的關(guān)系是否相關(guān),然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程. 題型一線性回歸分析學(xué)生學(xué)科成績ABCDE數(shù)學(xué)成績(x)8876736663物理成績(y)7865716461（1）畫出散點圖；（2）求物理成績y對數(shù)學(xué)成績x的回歸直線方程；（3）一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是96，試預(yù)測他的物理成績.【思路點撥】先畫散點圖,分析物理與數(shù)學(xué)成

4、績是否有線性相關(guān)關(guān)系,若相關(guān)再利用線性回歸模型求解預(yù)報變量.【解】(1)散點圖如圖：【題后點評】求回歸直線方程的一般方法是:作出散點圖,將問題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點,這樣表示出的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的相關(guān)圖形就是散點圖,從散點圖中我們可以判斷樣本點是否呈條狀分布,進(jìn)而判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系.例題1 從某大學(xué)中隨機(jī)選出8名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如下表：編號12345678身高165165157170175165155170體重4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172的女大學(xué)生的體重。1. 散點圖；2.回歸方程：3

5、.通過探究欄目引入“線性回歸模型”。此處可以引導(dǎo)學(xué)生們體會函數(shù)模型與回歸模型之間的差別。分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量 第二課時題型二非線性回歸分析對于非線性回歸問題,并且沒有給出經(jīng)驗公式,這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖,把它與必修模塊數(shù)學(xué)1中學(xué)過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的圖象作比較,挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù),然后采用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題,使其得到解決.例2 煉鋼廠出鋼時所用的盛鋼水的鋼包,在使用過程中,由于鋼液及爐渣對包襯耐火材料的侵蝕,使其容積不斷增大,請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找出使用次數(shù)x與增大的容積y

6、之間的關(guān)系.使用次數(shù)x23456789增大的容積y6.428.209.589.509.7010.009.939.99使用次數(shù)x10111213141516增大的容積y10.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76【解】先根據(jù)試驗數(shù)據(jù)作散點圖,如圖所示：zabt，t、z的數(shù)值對應(yīng)表為：【題后點評】作出散點圖，由散點圖選擇合適的回歸模型是解決本題的關(guān)鍵，在這里線性回歸模型起了轉(zhuǎn)化的作用. 第三課時探究？身高為172的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是,其原因是什么?（1）由圖形觀察可以看出，樣本點呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸

7、方程刻畫它們之間的關(guān)系。（2）從散點圖還可以看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是一條直線上，所以不能用一次函數(shù)來描述它們之間的關(guān)系。這時我們用下面的線性回歸模型來描述身高和體重的關(guān)系：+其中和為模型的未知參數(shù)，e是y與 之間的誤差,通常稱為隨機(jī)誤差。產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因是什么？e 產(chǎn)生的主要原因： (1)所用確定性函數(shù)模擬不恰當(dāng)； (2)忽略了某些因素的影響； (3)觀測誤差，如使用的測量工具不同等函數(shù)模型與回歸模型之間的差別一次函數(shù)模型： y=bx+a 線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項e，因變量y 的值由自變量x和隨機(jī)誤差項e 共同確定，即自變量x 只能解析部分y 的變化.

8、在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解析變量， 因變量y稱為預(yù)報變量.線性回歸模型： y=bx+a+e隨機(jī)誤差e的估計量樣本點：相應(yīng)的隨機(jī)誤差為：隨機(jī)誤差的估計值為：稱為相應(yīng)于點 的殘差.殘差分析在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否是線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù).然后，可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù).這方面的分析工作稱為殘差分析.0.382-2.8836.6271.137-4.6182.4192.627-6.373殘差5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654

9、321編號下表為女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)：e以縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)為編號，作出圖形（殘差圖）來分析殘差特性.由圖可知，第1個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個樣本點的過程中是否有人為的錯誤.如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù);如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他原因.如何刻畫模型擬合的精度？相關(guān)指數(shù)：在含有一個解釋變量的線性模型中，R2恰好等于相關(guān)系數(shù)r的平方.R2取值越大，則殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好.R2=0.64，表明：“女大學(xué)生的身高解釋了64的體重變化”，或者說“女大學(xué)生的體重差異有64是由身高引起的”

10、.解釋預(yù)報1題型三殘差分析通過對殘差圖的分析，得出模型的擬合效果. 在7塊形狀、大小相同的并排試驗田上進(jìn)行施肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)（單位：kg）:例3施肥量x/kg15202530354045水稻產(chǎn)量y/kg330345365405445450455(1)以施肥量x為解釋變量，水稻產(chǎn)量y為預(yù)報變量，作出散點圖；(2)求y與x之間的回歸方程，并求施肥量為28 kg時水稻產(chǎn)量的預(yù)報值；(3)計算殘差，并計算殘差平方和；(4)求R2，并說明其含義【解】（1）散點圖如圖所示：（2）由散點圖可以看出，樣本點呈條狀分布，施肥量和水稻產(chǎn)量有較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方

11、程近似刻畫它們之間的關(guān)系?！绢}后點評】在求回歸方程時，先畫散點圖，看樣本是否能很好地符合線性相關(guān)關(guān)系或進(jìn)行相關(guān)性檢驗.相關(guān)指數(shù)R2表示解釋變量對預(yù)報變量的貢獻(xiàn)率.變式訓(xùn)練次數(shù)(x)3033353739444650成績(y)3034373942464851某運動員訓(xùn)練次數(shù)與運動成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下:（1）作出散點圖；（2）求出線性回歸方程；（3）作出殘差圖；（4）計算R2，并作出解釋；（5）試預(yù)測該運動員訓(xùn)練47次及55次的成績.解：(1)作出該運動員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(y)之間的散點圖,如圖所示：由散點圖可知,它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系.(4)計算相關(guān)指數(shù)R2計算相關(guān)指數(shù)R20.9855.說

12、明了該運動的成績的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的(5)作出預(yù)報由上述分析可知，我們可用回歸方程1.0415x0.003875作為該運動員成績的預(yù)報值將x47和x55分別代入該方程可得y49和y57.故預(yù)測運動員訓(xùn)練47次和55次的成績分別為49和57.建立回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量;（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在線性關(guān)系）；（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）；（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.1)確定解釋變量和預(yù)報變量; 2)畫出散點圖; 3)確定回歸方程類型; 4)求出回歸方程;