橢球大地測量學

1、614貝塞爾微分方程的其他解法推導貝塞爾大地問題解算公式，關鍵在于求解貝塞爾微分方程：dS 二。*1 e2cos2 ud ，dl =- e2cos2 udk（1）解算這組微分方程要用到橢圓積分。而橢圓積分的原函數(shù)一級不能用初等函數(shù)表示；貝塞爾 將被積函數(shù)展開，逐項積分，把原函數(shù)表示為具有一定精度的比較簡單的表達式。此外，還 有其他各種不同的解法：或者將微分方程的形式加以改變，或者采用不同的積分方法。因而 出現(xiàn)了各式各樣的公式。詳細評述各種解法是因難的。下面只對一些主要公式作簡單的介 紹。了解前人的工作，可能對后來的工作有所啟發(fā)。一、維羅維茨方法利用d。、d入與du的關系，將（1）式改化為 TO

2、C o 1-5 h z : cl 一 e2 cos2 u cosuc%1 e2 cos2 u .dS =:du， dl =, du（1）cos2 u 一 c2cosu、：cos2 u 一 c2式中c = cos u - sin A（2 ）然后將被積函數(shù)展開，逐項積分。公式結(jié)構(gòu)比較復雜55。二、安德列也夫方法將（1）式改化為IdS = a1：忐 dA， dl =如氣1-一L dAsin Asin2 A c2vsin2 A c2同樣展開被積函數(shù)積分，公式也很復雜【278。三、鼓爾默持法赫爾默特同樣采用貝塞爾輔助球，但規(guī)定大地線及 其投影后的大圓弧從其緯度最高點起算，向東為正；如 圖 610。由圖知

3、sin u = sin u cos b0cos2 u = 1 sin2 u （1 sin2 b）代入（1）第一式，得e2 sin2 uds = a. 1e2 cosu ,1sin2 bdb01e2 cosu10引入輔助量K12:K2 = e2 sin2 B0代入前式，經(jīng)變換，可得dS = a e2 J + K; + 2K;cos2bdb1同樣對于（1）式的第二個微分方程有dl = d人一 cosu (1 - 1 - e2)+ K12cos2。d。01 一 sin 2 u cos 2。然后將上式展開積分。赫爾馱特采用級數(shù)回求法，在由s求。時，消除了迭代計算。用予正解比較方便，而反 解仍需迭代。1

4、954年博德米勒曾依據(jù)海福特橢球?qū)⒇惾麪柡諣柲毓礁飨禂?shù)編成了算表。1957 年史臘德又對該算表作了改進。1974年總參測繪局第二測繪大隊編制過依據(jù)克拉索夫基斯 橢球的算表。四、韋貝爾方法韋貝爾在貝塞爾和赫爾默特方法的基礎上，作了一些改進。他把子午線弧長的計算公式 轉(zhuǎn)化為大地線的長度計算，并且采用具有一定精度的封閉公式，結(jié)構(gòu)比較簡單。同赫爾默特 方法一樣，在正解中由s求。無需達代，而反解仍需迭代。詳細說明可參考13。五、勒瓦路易一一杜皮方法參考 6-8，有 TOC o 1-5 h z s 1.，、1.，dS = b1 + K2 sin2（M +。）一 K4 sin4（M +。）+d。28-j

5、 sin( M +b) d。= J84j sin2（M +。）d。= J，積分得S = b。+ K2AJ2 - K4AJ4 + （7）同樣可以改化經(jīng)差計算公式。J2、J4人可由瓦利斯積分數(shù)值表中查取。瓦利斯積分表是法國人編算的，間隔太大，內(nèi) 插不甚方便，計算精度不太高。因此，這種方法沒有在大地測量中得到廣泛的應用。六、約爾旦方法已知V = 1/、1 一 e2 cos2 u貝塞爾微分方程（1）式可以寫成ad。= VdS，dk = Vdl（1）約爾旦方法仍以貝塞爾微分方程為基礎，但是，不是將v展為e2或e2的幕級數(shù)逐項積 分，而是利用臺勞級數(shù)值直接將。展為AS的幕級數(shù)，將入展為】的幕級數(shù)。它們的一

6、般 形式是：(8)式中下標“1”表示這些倒數(shù)應依據(jù)P1點的B1和A1計算。由（1）式知道d。a = VdSd 2。dV dV dBa=dS 2dS dB dSdld 2 k _ dV _ dV dBdl 2 dl dB dl(9)注意到dV 門 2dB V 3=t， = cos A dB VdS c可得dVV2=-n 2 t cos A dSc進而有d 2VV 41一 dS = F 2 乜2 A(1 一 12 +n 2 3n 21 ) 一 12 sin2 A又因dB dB dS “=V 2 ctgA cos Bdl dS dl得到dV=-n 2Vctg sin B dl進而d 2Vcos2 B

7、 I1=一門2VCos2 A(1 -3t2 +門2 3q212) 一 12 sin2 Adl2sin 2 A將求得的各階導數(shù)代入（9）式，再代入（8）式，即可實現(xiàn)。與S、人與l的變換。顯然，約爾旦方法在使用上受到距離的限制。為了便于實際應用，約爾旦公式還要作一 些技術(shù)性處理，見51。七、數(shù)值積分法解算貝塞爾微分方程在于求解積分 TOC o 1-5 h z S =。氣1一e2 cos2 ud。 ，l = j1-e2 cos2 udX（10）現(xiàn)將第二式加以改變：1= j。1 - （1 - % 1 - e 2 cos 2 u） d人e2 cos2 u0= X-fa3d人0 1 + 與； 1 e2 c

8、os2 u由 6-8（19）式知sin m 7d 人=d。cos2 u代入前式，得l =人一e2 sinmj?！縟。（11）數(shù)學文獻上講述許多數(shù)值積分方法。文獻290認為高斯數(shù)值積分法所需的節(jié)點最少， 精度最高。依據(jù)高斯數(shù)值積分公式b f (x)dx =(b - a) R f (x ) i i ai=1x = a + (b - a)V式中n是節(jié)點數(shù)，X是第i個節(jié)點的自變量，f( xi)是第i個節(jié)點處的函數(shù)值。R,和V是高 斯積分公式的常數(shù)，見附錄七。1將高斯積分公式用于(10)和(11)式Jb V1 -e2 cos2 udb =b0Jb 1 db =b Ri =bEo 1 + J1 - e2

9、cos2 u .=1 1+ J1 - e2 cos2 u 1得 R X：1 - e 2 cos2 u = bEi=1式中于是有(13)=R ：1 - e2 cos2 ui=1=(14)i=1I1 + J1 - e2 cos2 uS = ab Ebl = X - e 2b sin mEX(15)X = l + e 2b sin mE人或者寫成(16)baEb為了計算E。、E人，需要計算出節(jié)點Pi處的。由圖6 - 11可以寫出：sin u = sin u cos(V b) + cos u sin(V b )cos Ai1i1 ii(17 ) 據(jù)文獻731研究，如果取五個節(jié)點，對于任意長 距離，長度

10、計算誤差為0.001米，經(jīng)緯度、方位 角的計算誤差為0.0001 。八、嵌套系數(shù)法68導出的(10)式、(12)式和(20)式中，含有A、B、C、a、8、丫以及a 、8 等系數(shù)。而這些系數(shù)中包含有K2 ( =e2cos2m )和 K2( = e2cos2m)的各次幕。為了便于在電子計算機上計算，在保持原有精度的條件下(仍取 至e4項)，將公式加以調(diào)整。由 68(10)式S = bAb - Bsinb cos(2M +b) - Csin 2b cos(4M + 2b) TOC o 1-5 h z .一 131,一3、A = 1 + K2 -K4 = K2(1 - K2)464416111 八 1

11、、B = K 2-K4 = K 2(1 - K 2)41644y=C =上 K 4 =PiA 1288前式可以寫成S = bAb - p sin b cos(2M + b)-史 sin b cosb cos(4M + 2b)4=bAjb p sinbcos(2M +b) -4cosb cos(4M + 2b)(18)同樣，對于經(jīng)差變換公式，由68 (20)式有l(wèi) =人一 sin mlab + p sinb cos(2M +b)a=竺 + 竺竺 cos2 m，816，p=竺cos2 m = *cos2 m164可以寫成以l = Xasinm b + 一cos2msinbcos(2M +b)(19

12、)(1)依據(jù)(1)式，有cos B = cos B sin a = cos B sin a(2)上述類型的公式有的文獻叫嵌套系數(shù)公式文獻262和136給出擴展至e 6項嵌套公式，并在其他細節(jié)上給予不同的說明。 嵌套系數(shù)公式與68給出的相應公式精度相同，但結(jié)構(gòu)緊湊些，適于電算。當然，應用恢套公式仍然需要迭代。615保持緯度不變的大地投影一張志新公式貝塞爾投影是保持方位角不變的大地投影。張志新在推導長距離大地問題解公式時， 采用了保持緯度不變的大地投影。橢球面上的大地線投影到輔助球面上仍為大圓弧，但球面 緯度和方位角度按下式確定183184】185：sin a = cos B/cosBBn是橢球面

13、大地線最高點的大地緯度(90 -m)，90 -Bn相當于貝塞爾公式中的m。n (1)式給出了球面上的三個元素，還需要推求另外三個元素a 2、。和入。首先討論a 2和A2的轉(zhuǎn)換關系 將克萊勞定理用于球面上的大圓?。篶os 甲 =cos 甲 sin a = cos 甲 sin a(3)sin a = cos B / cos B另外，由循球面上大地線的克架勞定理: TOC o 1-5 h z cos u = cos u sin A = cos u sin A(4)n1121(4)式除(3)式，得cos Bcos B sin aC12)(5)cos ucos u sin A顧及cos B = V 1

14、e 2 cos u得至。sin a = sin A1或者顧及(4)式可得ctga = V ctgA , ctga = V ctgA(6)張志新投影方法同貝塞爾投影方法相比，緯度計算簡單了，但方位角的計算復雜了。 下面討論ds和d。、以與dA的微分方程。球面上大圓的微分方程為d里=cos ada，依據(jù)(1)式，上式可寫成dB = cos ada，而橢球面上大地線微分方程為dB = cos AdS ， M比較以上兩組方程，可以得到dk = sin a sec Bda小1，dL = sin A sec BdS Ncos a 7dS = Mda，cos AdL =竺些dkN ctgA(7)上式就是邊長

15、和經(jīng)差的微分方程。類似于貝塞爾的方法，對上式進行積分，即可求得S與、l與人的關系式:a = % S + P sin a cos(2M +a) + P Lin2M sin 2 M sin 2(M +a )sin2(M +a)(8) TOC o 1-5 h z W 23nk = l + y a sin my sin m sin a cos(2M +a)式中PP =1 b(3P = p(3913)1 一一e2 cos2 m e4 cos4 m e6 cos6 m464256)i913)e2 cos2 m e4 cos4 m e6 cos6 m464256)(9)P =p衛(wèi)e4 cos4 m + 蘭e

16、6 cos6 m36496)1353y = e 2 e 4(2 cos2 m) + e 6(1 cos2 m + cos4 m) 1 2161683,5y = p cos2 m上式展開至e6項，同貝塞爾公式展開至e6項的精度相當。616橢球面對球面的正形投影橢球面對球面的正形投影是數(shù)學制圖學中的一個基本問題。這里用它來解算大地問題。 橢球面正形投影到球面上的方法，是高斯1844年提出的。下面說明這種投影的要點。 設輔助球的半徑為R，球面經(jīng)差為入，球面緯度為軒可以寫出于午圈投影長度比Ml = Rd? /MdB（1）平行圈投影長度比mB = R cos pd! / N cos Bdl（2）依據(jù)正形

17、投影的理論（詳細說明見第十章），投影長度比與方向無關，即 m為任意方向投影長度比。將上式代入（1）式、（2）式，得RdpR cos p d!MdBN cos B 矛（3）式可以寫成工 dp = -dB 些 R cos pN cos B dldq q= R dpR cos pdq =dBN cos Bdq = dq ” dl（3）（4）（5）（6）d d! = Al進而由（6）式，得dq = Adq（9）現(xiàn)提出以下條件；橢球面子午線投影到球面仍為子午線，即球面經(jīng)度僅為大地經(jīng)度的函 數(shù)；橢球面平行圈投影到球面仍為平行圈，即球面緯度僅為大地緯度的函數(shù)。因此，可設（7） （8）（10）q = Aq +

18、 KA、K是投影常數(shù)。（8）式和（10）式建立起橢球面上點位（q、l）與球面上相應點位（q、人）的投影關系。q 叫等量緯度。至于等量緯度與對應的緯度之間的關系，可按以下方法確定：(1 - e 2)dB_jB MdB _jB (1 - e 2)dB _jB (1 - e 2 sin2 B e 2 cos2 B)dB O N cos B O (1 e 2 sin 2 B)cos B O (1 e 2 sin 2 B) cos BJ B dB q JO cos Be 2 cos BdB1 e 2 sin 2 B為便于計算第二個積分，設兩端微分:e sin B = sin 中e cos BdB = c

19、os 中卯因此有q = J b 笠-e J5O cos B O cos q(B q = ln tg 45。+ 一k2-ln tge 45。+皂k 2tge 45。+ k 2=tge1 - cos(90 + q)1 + cos(90 + q)(1 + e sin B 丫 2=k 1 - e sin B )因此q = ln tg 45。+kB Y1 - e siiB 丫2 2 人 1 + e siiB)(11)(11)式是大地緯度B與橢球面等量緯度q之間的關系式。對于球面，因為e = 0,球面緯度與球面等量緯度q的關系式為(12)/ = ln tg 45+ k 2)在上述投影過程中，除了輔助球半徑

20、R以外，還有兩個待定常數(shù)A和K。確定這三個 常數(shù)，需要三個條件。前面講到，正形投影的長度比與方向無關，僅與點位(緯度)有關：(13)m = m(B) = mB + (B - B )i展開上式:1 ,、+ _(B - B2(d2 m，-k dB 2)11 z 、+ ,(B - B )3d3 m-I dB 3 ) i(14)現(xiàn)提出一下三個條件：+為了使投影長度比接近于1，且隨緯差的增大而作緩慢的變化，(15)(16)(17)(d2 m )-k dB 2 )1上式表明，在緯度為B的平行圈上，長度比等于1。這個平行圈叫做標準平行圈。從 標準平行圈向南向北延神，長度比的變化十分緩慢，僅與m對B的三階導數(shù)

21、有關。將(7)式代入(3)式，得由此得dmdB顧及（16）式，有Rd甲R cos甲m aMdBN cos B卯_ a M cos甲dNcodB,Jsin甲d甲M sin B cos甲)AR +-NcosBdBN2 cos2 B J,J , M cos甲 sin 甲 M sin B cos甲)AR A *+VN2 cos2 BN2 cos2 B(19)(20)A M cos 甲 sin 甲N2 cos2 B+ M cos B sin 甲 N 2 cos2 B(2 1)+ cos B即A sin 中sin B為了滿足(17 )式，可以要求(- A sin 中 + sin B) 0 dB而dd中M

22、cos2 中(A sin q + sin B) A cos q + cos B A2dBdBN cos B因而有A2 M1 cos2 q1- cosB(22)N cos B1或A22 N cos2 B(1 e2 sin2 B )cos2 BM1 e 2由(21)式有A 2 A 2 sin 2 q _ A 2 sin 2 B因此A2. 2 b +(1 e2 sin2 B )cos2 B】+ e2 cos4 B11 e 21 e 2于是確定了常數(shù) A：A ：1 + e2 cos4 B（23）常數(shù)K按下述方法確定，由B和A按（21）式計算。依據(jù)B由（11）式、（12）式計算q1和q；。按（10）式求

23、K：(24)最后，由條件刀廣1，寫出A R cosR = 1N1 cos B顧及（22）式，有R = N cos B / A cos 中=N cos B /N / M cos B = J：M N（25）i ii i i i i ii i由此得出，輔助球的半徑等于標準緯度處的平均曲率半徑。至此三個待定常數(shù)已經(jīng)完全確定了。于是通過（7）式可由l求得入，通過（i0）式可由 q求得q。而由（ii）式、（i2）式知道，q是B的函數(shù)，q是p的函數(shù)。因此，橢球面 上的一定點（B、1），在球面上有唯一的點（p、”與之相應。下面討論長度比的變化。略去推導，約出長度比對緯度的三階導數(shù)：d 2 m2e 2（i e

24、2 ）sin 2 B=-q 2e 2 sin 2BdB 2（i e 2 sin2 B）2代入（i8）式，得m = i msin2B（B B2（26）取 B=45，B- B=i.5，則m i = sinZBB B2 q i -10-8由此知道，當緯差小于3度時，長度變形（mi）的最大值小于ii0-8。這個誤差通 常可以不計。因此，對于緯幅小于3度的地區(qū)，如果以平均緯度處的平均曲率半徑為半徑作 輔助球，那么，可用輔助球面代替橢球面。兩個面上對應的角度相等，長度變形可以忽略。就是說，在一定的范圍（AB - 3 ）和精度要求（m i - i -i0 8）之內(nèi)，可將橢球面上的 大地問題解算轉(zhuǎn)化到球面上來

25、解算。6-17應用橢球面對球面的正形投影解算大地問題（一）高斯平均引數(shù)公式的另一推導方法槌球而球而99 6-13村球面正推毀曜到球3L現(xiàn)在利用上節(jié)的結(jié)果解算大地問題。1.橢球面元素正形投影到球面上設橢球面上PP2兩點的大地緯度為BB2,大地經(jīng)度為L、L2,兩點間的距離為S, 前進大地方位角為AAJ。經(jīng)差、緯差、方位角差為(1)(3)l = L - L , b = B - B , a = A - A TOC o 1-5 h z 212121又設中緯度、中方位角為B = !(B + B )(2), A = !(A + A)m 212m 212將橢球面三角形P.PN正形投影到半徑為R =，、jM N

26、的輔助球面上，得PPN。1 2m m m1 2P、P2的球面緯度為、,經(jīng)差為人。設甲 =2G +甲)，甲=甲一甲(4)由上節(jié)(8)式知道人=Al(5)由上節(jié)(22)式知道A =二土(6)cos 中 R而PP的方位角與PR的方位角相等。因為長度變形可以忽略，因此，PP=b，而 1 21 21 22.解算球面三角形利用球面三角的高斯一一德蘭布爾公式，顧及(1)、(2)、(3)、(4)各式，可以寫出: 5 . 4人，cQ力Asin sin A=sin cos ffi,sin cos A=cos sin12m2m2m22Q a人小q a力A甲卜cos sin =sin sin ffi,cos cos

27、=cos sin(7)222m2222 TOC o 1-5 h z 將上式中的小角度正弦、余弦函數(shù)展開，得J人2 )sin Am=X 1 -一 cos 中24 )cos Am丫1- /(8)a21 24八r1VY1 -7V87最后一式可以寫為J(9)由(8)式前三式略去高次項，化簡得到X = b sin A sec 9中=b cos Ama = b sin A tg 中 1 +(b 2X 2 k1 藥 F J(i X2a 2 )1 + 一+ 一 HYPERLINK l bookmark31 o Current Document k1224 J/ b 2 a 2 )+ 一24 /(10)123.

28、球面元素轉(zhuǎn)化到橢球面上將（5）式、（6）式代入（10）式的第一式另外，由于代入（10）式的第二式，得 sin Asec B 1 一 + k 24 24)mm人Sb =Mm(12 cos A 1 +a2+12 24/(11)(12)(13)最后，方位角公式可以寫為Sa =Nmsin A tgB b 2 a 21 + T2 + 24 J(14)顧及b 2 a 2b 2 + a 2 a 2+ =12 2412_ b212 a2 _ b2 a212 cos2 B=+=+m24 12 12 24 12 2412最后得到S Al =sin AN mmsec B k1+命 - /人S Ab =cos AM

29、mmC a 2 12)1 + + k 24 12J(15)S , a2 , 12 cos2 B , b2）,a =sin A tgB I 1 + +m + /Nmm m 241212 上式與 6-4 （ 17）式相同。這里應用完全不同于6-4的方法，又一次導出了高斯平均引數(shù)大地問題解算公式?？?以看到，在高斯解法中，不是直接特大地緯度化為球面緯度，而是運用根簡單的方法將球面 緯差化為橢球面緯差，避開了等量緯度，計算大為簡易。618應用橢球面對球面的正形投影解算大問題（二一博林公式1981年博林應用橢球面對面的正形投影，導出了一組大地問題解算公式202。與高斯解 法不同（高斯取平均緯圈為標準平行

30、圈），博林取通過P1點的平行圈作為標準平行圈，因此 在正解中無需迭代。對于短距離（SV150公里）大地問題，仍能保持足夠的精度。博林公 式的推導有某些特點，結(jié)構(gòu)不算復雜。文獻232曾推薦博林公式作為短距離大地問題解算的實用公式。下面依據(jù)隨林的基本思想，采用本書慣用的錯號和已有公式，詳細敘述解算方法。公式 推演過程有所簡化，而最終形式基本與原著相同。一、大地問題正解仍然使用圖6-13，有以下關系吼=cos p sin Acosp cosb cos A - sin p sin b（1）（2）S ，一，.(1 + e 2 cos2 B )R1。圮1 + e 2顧及sin 中=-sin B1 A 1（

31、6-16（21）式）（3）cos p =、；1 - sin 2 p =.1 -sin2 B =tcosB: A 21 A 1（4）A = .,-1 + e2 cos4 B 1(3)、(4)式代入(1)式，得式中I匕=：1 + e，2 cos 2 B另外有（3）式、（4）sin A1AV cos B2 V cos B cos A cos b - sin B sin bi i ii匕 sin Acosb (V cos A - tgB tg。)tgX =c o 甲 c o b - s i np s i nr c o A式代入上式，顧及人=Al得，tgAl =Atgb sin A1V cos B -

32、sin B tgb cos A1111Atgb s i nAV co B - s i nB tgb co A1 -1（5）（6）（7）為了計算P2、與之間的緯差，利用球面子午弧長AX，等于橢球面對應的子午線弧長AX的關系，有X =X = R 中（8）式中平=甲2-p1由3-7（12）式知e 2cos82 B AB 2m7B)cos2B B 2m式中NB = B2 - B，AB B = B +121依據(jù)附錄八展開Mm3n211 -1-V 21NB代入（9）式，并且注意1/M1=VJ %略去高次項，得AD N XN B =R1cos2B NB2 1 -NB - -n 2(1 - 12)NB22 V 28i= NXvR 11顧及（8）式，經(jīng)過整理，、cos 2B NB28 m3 e2y NB - 3 e, 2 cos 2 B NB 2V281保持原有精度，NB = Np V1 1 -e 2cos 2B NB 221 NB V2 e 2 sin 2B 因為A “ 13 e2NB (2=Np