海森堡不確定性原理玻爾愛因斯坦辯論

1、不確定性原理維基百科，自由的百科全書(重定向自海森堡不確定原理 跳轉(zhuǎn)到：導(dǎo)航，搜索海森堡不確定性原理(Heisenberg uncertainty principle)是由德國(guó)物理學(xué)家 海森堡于1927年提出的量子力學(xué)中的不確定性，具體指在一個(gè)量子力學(xué)系統(tǒng)中， 一個(gè)粒子的位置和它的動(dòng)量不可被同時(shí)確定。位置的不確定性和動(dòng)量的不確定性是不可避免的:,其中是約化普朗克常數(shù) 類似的不確定性也存在于能量和時(shí)間，角動(dòng)量和角度等許多物理量之間:換句話說，的不確定性與的不確定性的乘積至少是與對(duì)易算符的期望值除以 所得到的除商的絕對(duì)值。不確定性也是一種波的特性。在經(jīng)典物理中波也有不確定性。比如波的頻率和波 到達(dá)

2、的時(shí)間之間就有不確定性。要測(cè)量頻率，就要等幾個(gè)波峰的到達(dá)，但這樣一 來波到達(dá)的時(shí)間就沒法被精確地測(cè)量了。目錄隱藏. 1名稱 2歷史3觀察者效應(yīng)o 3.1單狹縫衍射o 3.2海森堡顯微鏡實(shí)驗(yàn)4.1愛因斯坦狹縫4.2愛因斯坦盒子4.3 EPR吊詭4.4波普爾批評(píng)4.5反駁實(shí)證4批評(píng)與反應(yīng)o5導(dǎo)引o 5.1矩陣力學(xué)o 5.2波動(dòng)力學(xué). 區(qū)域性波包.高斯波包6羅伯森-薛定諤關(guān)系式7其它不確定性原則8能量-時(shí)間不確定性原理o 8.1導(dǎo)引9參閱10參考文獻(xiàn)11外部鏈接編輯名稱不確定性原理很長(zhǎng)一段時(shí)間被稱作測(cè)不準(zhǔn)原理，但事實(shí)上，不確定性原理是物理 世界自身存在的原理，與測(cè)量與否沒有關(guān)系（具體請(qǐng)看本條目下面“

3、觀察者效應(yīng)” 一節(jié)），因此，該譯名其實(shí)誤解了這個(gè)原理。另外，英語(yǔ)中稱此原理為HeisenbergUncertainty Principle，直譯為海森堡不確定性原理，并沒有測(cè)不準(zhǔn)原理這種 說法，其他語(yǔ)言與英語(yǔ)的情況類似，除中文外，并無(wú)測(cè)不準(zhǔn)原理一詞?，F(xiàn)在，在 中國(guó)大陸的教科書中，該原理的正式譯名已改為不確定性原理，僅在括號(hào)中注明“又叫測(cè)不準(zhǔn)原理”。編輯歷史Begrunder derQuantenmechanik3D0* Warner H電詁井nb機(jī)Phytikerpu-竺史USApAqh:mg 沛# Wcrtm 4海森堡不確定性原理的紀(jì)念郵票1925年6月，維爾納海森堡發(fā)表了論文Quantum

4、-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations，從而創(chuàng)立了 矩陣力學(xué)1。舊量子論漸漸式微，現(xiàn)代量子力學(xué)正式開啟。矩陣力學(xué)大膽地假設(shè)， 粒子的量子運(yùn)動(dòng)并不明確。在原子里的電子并不是移動(dòng)于明確的軌道，而是模糊 不清，無(wú)法直接觀察的軌域。其對(duì)于時(shí)間的傅里葉變換只涉及離散的頻率。海森堡在論文里提出，只有在實(shí)驗(yàn)里能夠觀測(cè)到的物理量才有物理意義，才可以 用理論描述其物理行為，其它的都是無(wú)稽之談。因此，他避開任何涉及粒子運(yùn)動(dòng) 軌道的詳細(xì)計(jì)算，例如，粒子隨著時(shí)間而改變的運(yùn)動(dòng)位置。因?yàn)?，這運(yùn)動(dòng)軌道是 無(wú)法直接觀測(cè)到的。替代

5、地，他專注于研究電子躍遷時(shí)，所發(fā)射的光的離散頻率 和強(qiáng)度。他計(jì)算出代表位置與動(dòng)量的無(wú)限矩陣。因電子躍遷而產(chǎn)生的發(fā)射光波的 強(qiáng)度，能夠正確地用這些矩陣來預(yù)測(cè)。同年6月，海森堡的上司馬克斯玻恩，在閱讀了海森堡交給他發(fā)表的論文后， 發(fā)覺了位置與動(dòng)量無(wú)限矩陣有一個(gè)很顯著的性質(zhì)，那就是，它們不互相對(duì)易，稱 為正則對(duì)易關(guān)系：在那時(shí)，物理學(xué)家還沒能很清楚地了解這重要的結(jié)果。因此，無(wú)法給予一個(gè)合理 的物理詮釋。1926年5月，海森堡被任聘為哥本哈根大學(xué)玻爾理論物理學(xué)院(Bohr,s Institute)的講師，幫尼爾斯玻爾做研究。隔年，海森堡發(fā)現(xiàn)了不確定性原 理，從而為后來知名為哥本哈根詮釋奠定了的堅(jiān)固的基礎(chǔ)

6、。海森堡證明，對(duì)易關(guān) 系可以導(dǎo)引出不確定性，或者，使用玻爾的術(shù)語(yǔ)，互補(bǔ)性(complementarity)。任意兩個(gè)不對(duì)易的變量不能同時(shí)被測(cè)量出來；更精確地知道其中一個(gè)變 量的同時(shí)，必定會(huì)更不精確地知道另外一個(gè)變量。在他著名的論文e (1927)里，海森堡建立了表達(dá)式這表達(dá)式表明了任何位置測(cè)量所造成的最小無(wú)法避免的動(dòng)量不確定值。雖然他提 出這表達(dá)式可以從對(duì)易關(guān)系導(dǎo)引出來，他并沒有寫出相關(guān)數(shù)學(xué)理論，也沒有給予 和精確的定義。他只估計(jì)了幾個(gè)案例(高斯波包)的合理數(shù)值。在海森堡的芝 加哥講義里司。他又進(jìn)一步改善了這關(guān)系式：。于1927年E. H. Kennard首先計(jì)算出現(xiàn)代不等式櫥：;(2)其中，

7、是位置標(biāo)準(zhǔn)差，是動(dòng)量標(biāo)準(zhǔn)差，是約化普朗克常數(shù)1929年，羅伯森研究出，怎樣在一般狀況下，從對(duì)易關(guān)系求出不確定關(guān)系式。編輯觀察者效應(yīng)不確定性原理時(shí)常會(huì)被解釋為：粒子位置的測(cè)量必然地?cái)_亂了粒子的動(dòng)量；反過 來說也對(duì)，粒子動(dòng)量的測(cè)量必然地?cái)_亂了粒子的位置。換句話說，不確定性原理 是一種觀察者效應(yīng)的顯示。這解釋時(shí)常會(huì)導(dǎo)致一種錯(cuò)誤的想法，在概念上，似乎這擾亂是可以避免的；粒子 的量子態(tài)可以同時(shí)擁有明確的位置和明確的動(dòng)量，問題是我們所設(shè)計(jì)的最尖端實(shí) 驗(yàn)儀器仍舊無(wú)法制備出這些量子態(tài)。但是，在量子力學(xué)里，明確位置與明確動(dòng)量 的量子態(tài)并不存在。我們不能怪罪于實(shí)驗(yàn)儀器。所以，由于這方面的原因，我們 最好稱它為不確

8、定性原理，而不是測(cè)不準(zhǔn)原理。海森堡并沒有專注于量子力學(xué)的數(shù)學(xué)部分，他主要的目標(biāo)是在建立一種事實(shí)：不 確定性是宇宙的一種特性；我們絕對(duì)無(wú)法，比量子力學(xué)所允許的，更精確地測(cè)量一個(gè)粒子的位置和動(dòng)量。這事實(shí)的證明，海森堡的物理論點(diǎn)是以量子的存在為 基礎(chǔ)，而不是使用整個(gè)量子力學(xué)形式論。海森堡這樣做的主要原因是，在那時(shí)，量子力學(xué)尚未被物理學(xué)術(shù)界廣泛的接受。 不確定性原理是個(gè)相當(dāng)詫異的結(jié)果。許多物理學(xué)家認(rèn)為，明確位置與明確動(dòng)量的 量子態(tài)的不存在，是量子力學(xué)的一個(gè)瑕疵。海森堡試著表明這不是一個(gè)瑕疵，而 是一個(gè)特色，宇宙的一個(gè)又深?yuàn)W微妙，又令人驚訝的特色。為了要達(dá)到這目的， 他不能使用量子力學(xué)形式論，因?yàn)樗q

9、護(hù)的正是量子力學(xué)形式論本身。編輯單狹縫衍射數(shù)值計(jì)算出來的單狹縫衍射圖案。一個(gè)平面波入射于一座有一條狹縫的不透明擋 墻。狹縫的寬度是波長(zhǎng)的4倍。很清楚地可以看到中心波束，零點(diǎn)，與反相位 點(diǎn)。單狹縫衍射抵達(dá)偵測(cè)屏障的強(qiáng)度的圖形與影像。單狹縫實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)圖。我們可以用波粒二象性來講述位置和動(dòng)量之間的互補(bǔ)性。用平面波來描述粒子。 假若，這平面波遇到一座有一條狹縫的不透明擋墻，平面波會(huì)穿過狹縫，在檔墻 后面的偵測(cè)屏障，顯示出干涉現(xiàn)象。從中心點(diǎn)（最大波強(qiáng)度之點(diǎn)）到第一個(gè)零點(diǎn)（零波強(qiáng)度之點(diǎn)）的夾角，根據(jù)單狹縫衍射公式，可以表達(dá)為；其中，是波長(zhǎng)是狹縫寬度。是衍射現(xiàn)象的一種估量。狹縫越窄，衍射現(xiàn)象越寬闊，越大；狹縫越

10、寬，衍射 現(xiàn)象越窄縮，越小。當(dāng)粒子穿過狹縫之前，在y方向（垂直于粒子前進(jìn)方向，x方向）的動(dòng)量是零。 穿過狹縫時(shí)，粒子的遭到改變?？梢杂闪Ｗ拥诌_(dá)偵測(cè)屏障的位置計(jì)算出來。的 不確定性大約是當(dāng)粒子穿過狹縫時(shí)，我們可以相當(dāng)有信心的說，粒子的位置不確定性是狹縫寬 度：。所以，。從德布羅意假說；其中，是普朗克常數(shù)，是動(dòng)量。所以，編輯海森堡顯微鏡實(shí)驗(yàn)用來定位電子位置的海森堡伽馬射線顯微鏡。波長(zhǎng)為的入射伽馬射線（以綠色 表示），被電子散射后，進(jìn)入顯微鏡的孔徑角。散射的伽馬射線以紅色表示。 在經(jīng)典光學(xué)里，分辨電子位置的不確定性是。主條目：海森堡顯微鏡實(shí)驗(yàn)為了辯解不確定性原理，海森堡設(shè)計(jì)了一個(gè)想像的伽馬射線顯微鏡

11、實(shí)驗(yàn)在。在這 實(shí)驗(yàn)里，一個(gè)測(cè)量者朝著電子射出一粒光子，想要測(cè)量一個(gè)電子的位置和動(dòng)量。波長(zhǎng)短的光子可以很精確地測(cè)量到電子位置；但是，這光子的動(dòng)量很大，而且會(huì) 因?yàn)楸簧⑸渲岭S機(jī)方向，轉(zhuǎn)移了一大部分不確定的動(dòng)量給電子。波長(zhǎng)很長(zhǎng)的光子 動(dòng)量很小，這散射不會(huì)大大地改變電子的動(dòng)量?？墒?，我們也只能大約地知道電 子的位置。根據(jù)瑞利判據(jù)，電子位置的不確定性是其中，是顯微鏡的焦距，是光子的波長(zhǎng)，是孔徑的直徑。假設(shè)，電子原本的位置是在顯微鏡的焦點(diǎn)，那么，;其中，是孔徑角所以，由于動(dòng)量守恒定律，光子的碰撞會(huì)改變電子的動(dòng)量。根據(jù)康普頓散射理論，電子 動(dòng)量的不確定性是;其中，是普朗克常數(shù)所以，不論光子波長(zhǎng)和孔徑尺寸為何

12、，位置測(cè)量的不確定性和動(dòng)量測(cè)量的不確定性，其 乘積必定大于或等于一個(gè)下界，普朗克常數(shù)的數(shù)量級(jí)。海森堡并沒有給予不確定 性原理一個(gè)精確界。他比較喜好將不確定性原理用為一個(gè)啟發(fā)性的數(shù)量宣告，正 確至小因子。編輯批評(píng)與反應(yīng)主條目：玻爾-愛因斯坦辯論愛因斯坦認(rèn)為，不確定性原理顯示出，波函數(shù)不能夠完全地描述一個(gè)粒子的量子 行為；波函數(shù)只能描述一個(gè)系綜的粒子概率性的量子行為。玻爾則主張，波函數(shù) 能夠完全地描述一個(gè)粒子的量子行為。從波函數(shù)求得的概率分布是基礎(chǔ)的，是無(wú) 法約化的。一個(gè)粒子只能擁有明確的位置或動(dòng)量，不能同時(shí)擁有兩者。這是不確 定性原理的真諦擊。就好像魚與熊掌的不可兼得，一個(gè)粒子不能同時(shí)擁有明確的

13、 位置與明確的動(dòng)量。兩位物理大師的辯論，對(duì)于不確定性原理以及其所涉及的種 種物理實(shí)際問題，延續(xù)了很多年。編輯愛因斯坦狹縫單狹縫實(shí)驗(yàn)的固定隔版與其狹縫。愛因斯坦提出了一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)來挑戰(zhàn)不確定性原理。愛因斯坦認(rèn)為這個(gè)思想實(shí) 驗(yàn)，稱為愛因斯坦狹縫問題，能夠同時(shí)測(cè)量明確的位置與動(dòng)量，：愛因斯坦狹縫問題的實(shí)驗(yàn)裝置與單狹縫實(shí)驗(yàn)的裝置類似。最大的不同就是 只考慮一個(gè)粒子的量子行為。如右圖，假設(shè)一片隔版的中間有一條狹縫。 朝著這隔版的狹縫發(fā)射一個(gè)粒子。發(fā)射的方向垂直于隔版。粒子穿過了狹 縫，再移動(dòng)一段行程后，抵達(dá)偵測(cè)屏障。假若不確定性原理是正確的，那 么，這寬度為的狹縫，在粒子通過的時(shí)候，給予了粒子的動(dòng)量大約

14、的不 確定性。但是，我們可以測(cè)量隔版的反彈作用至任意精確度。根據(jù)動(dòng)量守 恒定律，粒子的動(dòng)量等于隔版的反彈動(dòng)量，取至任意精確度；而粒子位置 的不確定性只有。所以，不確定性原理不成立。為了實(shí)現(xiàn)愛因斯坦的提議，玻爾設(shè)計(jì)出一個(gè)改良的實(shí)驗(yàn)裝置，如圖右。玻爾回應(yīng)， 隔版也是量子系統(tǒng)的一部分。假若要測(cè)量反彈作用的動(dòng)量，同時(shí)保持不確定性小 于或等于，則必須知道，在粒子通過前后，隔版的動(dòng)量，而且這動(dòng)量的不確定 性必須小于或等于。這個(gè)要求造成了隔版位置的不確定性。這不確定性會(huì)轉(zhuǎn)移 成為狹縫位置的不確定性和粒子位置的不確定性。所以，不確定性原理是正確的。編輯愛因斯坦盒子愛因斯坦又設(shè)計(jì)出一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)，來挑戰(zhàn)時(shí)間-能量

15、不確定性原理，。這個(gè)實(shí)驗(yàn) 與愛因斯坦狹縫實(shí)驗(yàn)類似，祇是在這里，粒子穿過的狹縫是時(shí)間。試想一個(gè)裝滿了光子的盒子。有一扇百葉窗裝在盒子的一邊。百葉窗的控 制器可以自動(dòng)的開啟百葉窗很短的一段時(shí)間，讓一粒光子發(fā)射出去，然 后自動(dòng)的關(guān)閉。為了要測(cè)量發(fā)射出去的光子的能量，愛因斯坦又建議，先 稱一稱發(fā)射前盒子的重量，再稱一稱發(fā)射后盒子的重量。藉用狹義相對(duì)論 的質(zhì)能方程，可以計(jì)算出來失去的能量。由于，理論上，我們可以測(cè)量 盒子的重量至任意精確度。因此，可以使變的很微小。這樣，會(huì)得到， 因而推翻時(shí)間-能量不確定性原理。經(jīng)過一天的長(zhǎng)考，玻爾發(fā)現(xiàn)了愛因斯坦這篇巧妙論述的破綻。為了保證實(shí)驗(yàn)正確 的運(yùn)作，必須用彈簧將愛

16、因斯坦盒子懸吊于一個(gè)重力場(chǎng)之中，在盒子的一邊裝備 一個(gè)指針。盒子的支撐架固定了一根直尺。指針?biāo)冈谥背叩臄?shù)目，可以用來紀(jì) 錄盒子的位置。從位移數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出盒子在光子發(fā)射前后的重量差?？墒?， 位置的不確定性會(huì)造成重量的不確定性，以及能量的不確定性。換另一方面。由于整個(gè)系統(tǒng)都處于一個(gè)重力場(chǎng)之中，根據(jù)等價(jià)原理，時(shí)鐘的時(shí)針 位置的不確定性會(huì)造成時(shí)間測(cè)量的不確定性。仔細(xì)的分析這效應(yīng)可以證明時(shí)間- 能量不確定性原理是正確的。編輯EPR吊詭在愛因斯坦提出EPR吊詭這思想實(shí)驗(yàn)以后，玻爾不得不修改他對(duì)不確定性原理的 認(rèn)識(shí)。于1935年，愛因斯坦、玻理斯波多斯基、納森羅森共同發(fā)表了 EPR 吊詭，分析兩個(gè)相隔

17、很遠(yuǎn)的粒子的量子糾纏現(xiàn)象。愛因斯坦認(rèn)為，測(cè)量其中一個(gè) 粒子A，會(huì)同時(shí)改變另外一個(gè)粒子B的概率分布；但是，狹義相對(duì)論不允許資 訊的傳播速度超過光速，測(cè)量一個(gè)粒子A，不可能同時(shí)擾動(dòng)另外一個(gè)粒子B。這 個(gè)吊詭使得玻爾修改了他對(duì)不確定性原理的認(rèn)識(shí)：不確定性不是由直接的測(cè)量作 用造成的心。從這思想實(shí)驗(yàn)，愛因斯坦獲得益愈深遠(yuǎn)的結(jié)論。他覺得對(duì)于物理實(shí)際的一個(gè)完備 的描述，必須使用局域決定的數(shù)量來預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。因此，超過不確定性原理所 能夠允許的，這描述需要包含更多的資訊。1964年，約翰貝爾對(duì)愛因斯坦的假定提出質(zhì)疑。他表明這假定可以被嚴(yán)厲地 檢驗(yàn)。因?yàn)?，這假定意示著某種不等式存在于幾個(gè)不同實(shí)驗(yàn)的概率。依照貝

18、爾的 提示，實(shí)驗(yàn)者做了很多這方面的實(shí)驗(yàn)，結(jié)果確認(rèn)了量子力學(xué)的預(yù)測(cè)，排除了局域 隱變量(hidden variable)的假定。雖然，我們?nèi)耘f可以假定，非局域隱變量給予了量子力學(xué)的預(yù)測(cè)。事實(shí)上，大衛(wèi)波 姆就提出了這樣一種表述。但是，對(duì)于大多數(shù)物理學(xué)家，這并不是一個(gè)令人滿意 的詮釋。他們認(rèn)為量子力學(xué)是正確的。因?yàn)榻?jīng)典直覺不能對(duì)應(yīng)于物理實(shí)際，EPR 吊詭只是一個(gè)吊詭EPR吊詭的意義相依于到底采用哪一種詮釋。哥本哈根詮釋 主張，測(cè)量這動(dòng)作造成了瞬間的波函數(shù)坍縮。但是，這并不是瞬間的因果效應(yīng)。 測(cè)量這動(dòng)作只影響我們定義物理系統(tǒng)的數(shù)量的能力，并沒有影響整個(gè)物理系統(tǒng)。編輯波普爾批評(píng)主條目：波普爾實(shí)驗(yàn) 卡爾波

19、普爾是以做為一位邏輯學(xué)者與唯實(shí)論者所持有的態(tài)度來研究不確定性關(guān) 系。出他不贊同將不確定性關(guān)系應(yīng)用于單獨(dú)粒子，認(rèn)為應(yīng)該應(yīng)用于稱為系綜的 許多同樣制成的粒子，他稱這為“統(tǒng)計(jì)散射關(guān)系”。曲E這種統(tǒng)計(jì)詮釋要求特定 的測(cè)量又能夠滿足任意準(zhǔn)確度，又能夠不違反量子理論。這詮釋明顯地與哥本哈 根詮釋迥然不同，因哥本哈根詮釋乃為非決定性理論。1934年，波普爾發(fā)表論文評(píng)論不確定性關(guān)系(Zur Kritik derUngenauigkeitsrelationen)b，同年又發(fā)表著作科學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯(The Logic of Scientific Discovery)，其中，他大致略述了贊成統(tǒng)計(jì)詮釋的理 由。1982

20、年，在著作量子理論與物理學(xué)分歧里，他表明：無(wú)可置疑地，從量子理論的統(tǒng)計(jì)公式可以推導(dǎo)出海森堡的公式。但是，很多量子理 論者經(jīng)常會(huì)誤解這些公式，他們認(rèn)為這些公式可以詮釋為決定測(cè)量準(zhǔn)確度勺某種上 限。(原文以斜體強(qiáng)調(diào))卡爾波普爾m波普爾提出了一個(gè)證偽不確定性關(guān)系的實(shí)驗(yàn)，但在與卡爾馮魏茨澤克、海森 堡、愛因斯坦會(huì)談后，他又將初始版本收回。這實(shí)驗(yàn)可能影響了后來EPR實(shí)驗(yàn)的 表述。E1999年，波普爾實(shí)驗(yàn)的一個(gè)版本成功付諸實(shí)現(xiàn)。曲編輯反駁實(shí)證維也納科技大學(xué)的長(zhǎng)谷川祐司準(zhǔn)教授與名古屋大學(xué)的小澤正直教授等學(xué)者于 2012年1月15日在Nature Physics的電子期刊上發(fā)表反駁海森堡不確定性 原理的實(shí)證結(jié)

21、果。他們用兩臺(tái)儀器分別測(cè)量中子的自旋角度并計(jì)算后，得到了比 海森堡不確定性原理所示的誤差更小的精確測(cè)量結(jié)果，此即證明海森堡不確定性 原理所主張的測(cè)量極限是錯(cuò)誤的。但是，不確定性原理仍舊正確無(wú)誤，因?yàn)檫@是 粒子的量子秉性 。1516編輯導(dǎo)引當(dāng)兩個(gè)算符和作用于一個(gè)函數(shù)時(shí)，它們不一定會(huì)對(duì)易。例如，設(shè)定為乘以， 設(shè)定為取隨著的導(dǎo)數(shù)。那么，使用算符語(yǔ)言，可以表達(dá)為O這例子很重要。因?yàn)?，它很像量子力學(xué)的正則對(duì)易關(guān)系。特別地，位置算符和 動(dòng)量算符的正則對(duì)易關(guān)系是在希爾伯特空間內(nèi)，任意兩個(gè)態(tài)矢量和,必定滿足柯西-施瓦茨不等式O限制算符和 為厄米算符。它們所代表的都是可觀察量。設(shè)定， O那么，O一個(gè)復(fù)數(shù)的絕對(duì)值

22、平方必定大于其虛數(shù)部分的絕對(duì)值平方：；其中，表示取右邊項(xiàng)目的虛數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)的虛數(shù)部分等于這復(fù)數(shù)減去其共軛復(fù)數(shù)，從這三排公式，可以得到羅伯森-薛定諤關(guān)系式：O羅伯森-薛定諤不確定性關(guān)系式還不是海森堡不確定性關(guān)系式的形式。為了要求 得海森堡不確定性關(guān)系式，執(zhí)行以下替換：， O那么，O定義標(biāo)準(zhǔn)偏差為則可得到任意兩個(gè)可觀察量算符的不確定性原理:編輯矩陣力學(xué)在矩陣力堂里，位置的不確定性與動(dòng)量的不確定性的關(guān)系式為何？位置矩陣與動(dòng)量矩陣的對(duì)易算符永遠(yuǎn)不等于零，而是等于常數(shù)乘以單位矩陣:O這意味著，與無(wú)法共同擁有同樣的本征態(tài)，無(wú)法同時(shí)被對(duì)角化。所以，一個(gè)量 子態(tài)絕對(duì)無(wú)法同時(shí)給予與明確的本征值與；否則，O給予任

23、意量子態(tài)，位置和動(dòng)量的期望值和：，O由于位置和動(dòng)量是可觀察量，和 都是實(shí)數(shù)。當(dāng)兩個(gè)矩陣分別做單位矩陣的不 同實(shí)數(shù)倍數(shù)的移位，新得的兩個(gè)矩陣的對(duì)易算符不變。O設(shè)定和分別為位置和動(dòng)量與其期望值的偏差：，O那么，它們的對(duì)易算符的期望值是：使用類似前面導(dǎo)引段落所述方法，設(shè)定，O那么，根據(jù)柯西-施瓦茨不等式O注意到、，可以得到，或者，一個(gè)復(fù)數(shù)的絕對(duì)值必定大于其虛數(shù)部分的絕對(duì)值:而虛數(shù)部分是這樣，可以得到位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系式:假若，將實(shí)數(shù)部分也包括在內(nèi)，則會(huì)增添一個(gè)項(xiàng)目于不確定性關(guān)系式里。這額外 項(xiàng)目對(duì)于位置和動(dòng)量的不確定性并不太有用。因?yàn)?，?duì)于高斯波包，量子諧振子 的基態(tài)，它的期望值是零。但是，這額

24、外項(xiàng)目可以用來給予自旋算符(spin operator)一個(gè)下界。編輯波動(dòng)力學(xué)在薛定諤的波動(dòng)力學(xué)里，波函數(shù)描述粒子的量子行為。在某個(gè)位置，波函數(shù)絕對(duì) 值的平方是粒子處于那位置的概率；概率越高，則粒子越常處于那位置。動(dòng)量則 與波函數(shù)的波數(shù)有關(guān)。編輯區(qū)域性波包 一個(gè)區(qū)域性的波包必定沒有很確定的波數(shù)。假設(shè)一個(gè)波包的尺寸大約為.那么， 通過點(diǎn)數(shù)波包的周期數(shù)，我們可以知道其波數(shù)：假若，點(diǎn)數(shù)的準(zhǔn)確度為，那么，波數(shù)的不確定性是從德布羅意假說，我們知道。因此，動(dòng)量的不確定性是O由于粒子位置的不確定性是，所以，不確定性原理成立:編輯高斯波包高斯波函數(shù)的動(dòng)量與位置不確定性關(guān)系式的計(jì)算，是一個(gè)很有啟發(fā)性的練習(xí)。設(shè)

25、定一個(gè)粒子的波函數(shù)是高斯函數(shù):O由于對(duì)稱性，這粒子的位置期望值 等于零。經(jīng)過查閱積分手冊(cè)，位置標(biāo)準(zhǔn)偏差 是O接下來，傅里葉變換高斯函數(shù)至波數(shù)空間的波函數(shù)：O為了要除去最右邊的積分對(duì)于波數(shù)的相依，做連續(xù)變量替換，。那么，O由于這復(fù)平面的積分路徑的改變并沒有經(jīng)過任何奇點(diǎn)，得到的積分不相依于。查閱積分手冊(cè)，可以得到波數(shù)空間的波函數(shù)O由于對(duì)稱性，波數(shù)期望值等于零。經(jīng)過查閱積分手冊(cè)，波數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差是O根據(jù)德布羅意假說，。所以，O因此，可以得到位置和動(dòng)量的不確定性關(guān)系式：O特別注意，由于波函數(shù)是高斯函數(shù)，這關(guān)系式很緊密，是個(gè)等號(hào)關(guān)系式。編輯羅伯森-薛定諤關(guān)系式給予量子態(tài)，任意兩個(gè)厄米算符和，其對(duì)應(yīng)的測(cè)量的標(biāo)

26、準(zhǔn)偏差分別為和。那么，其中，是反對(duì)易算符稱這關(guān)系式為羅伯森-薛定諤關(guān)系式。海森堡不確定性原理是它的一個(gè)特別案例。編輯其它不確定性原則羅伯森-薛定諤關(guān)系式給予了兩個(gè)不相容可觀察量的不確定性關(guān)系式：處于一個(gè)一維位勢(shì)，一個(gè)粒子的能量與位置的不確定性關(guān)系式為角動(dòng)量算符的兩個(gè)互相垂直的分量算符的不確定性關(guān)系式為；其中，標(biāo)記沿著-軸的角動(dòng)量。這關(guān)系式意味著，在做實(shí)驗(yàn)時(shí)，一次只能測(cè)量角動(dòng)量的一個(gè)分量，通常是 平行于外磁場(chǎng)或外電場(chǎng)的分量。根據(jù)金茲堡-朗道方程M，在一個(gè)超導(dǎo)體內(nèi)的電子數(shù)量和相位的不確定 性關(guān)系式為編輯能量-時(shí)間不確定性原理很多早期的量子力學(xué)先驅(qū)，包括玻爾在內(nèi)，認(rèn)為能量-時(shí)間不確定性關(guān)系式成立:可

27、是，他們并不清楚，到底是什么？時(shí)間不是一個(gè)屬于粒子的算符，而是一個(gè) 描述系統(tǒng)演化的參數(shù)。愛因斯坦和玻爾很明白這關(guān)系式的啟發(fā)性意義：一個(gè)只能 暫時(shí)存在的量子態(tài)，不能擁有明確的能量。為了要擁有明確的能量，量子態(tài)的頻 率必須很準(zhǔn)確，這連帶地要求量子態(tài)持續(xù)很多周期。例如，在光譜學(xué)里，激發(fā)態(tài)(excited state)的壽命是有限的。根據(jù)能量-時(shí)間 不確定性原理，激發(fā)態(tài)沒有明確的能量。每次衰變所釋放的能量都會(huì)稍微不同。 發(fā)射出的光子的能量，其峰值是量子態(tài)的理論能量，可是，其分布的峰寬是有 I限的，稱為自然線寬(spectral linewidth)。衰變快的量子態(tài)有線寬比較寬 闊；而衰變慢的量子態(tài)線寬

28、比較狹窄。衰變快的量子態(tài)的線寬，因?yàn)楸容^寬闊，不確定性比較大。為了要得到清晰的能 量，實(shí)驗(yàn)者甚至?xí)褂梦⒉涨?microwave cavity)來減緩衰變率眼(decay rate)。這線寬效應(yīng)，使得衰變快的粒子的測(cè)量靜止質(zhì)量工作，也變的很困難。 粒子衰變?cè)娇?，它的質(zhì)量的測(cè)量越不確定。能量-時(shí)間不確定性原理還有一個(gè)時(shí)常會(huì)遇到的錯(cuò)誤解釋：假若，一個(gè)量子系統(tǒng) 的能量測(cè)量，準(zhǔn)確度是，那么，需要的測(cè)量時(shí)間是。這句話的錯(cuò)誤為，是系 統(tǒng)不受到擾動(dòng)的時(shí)間間隔；而不是實(shí)驗(yàn)儀器開啟關(guān)閉的時(shí)間間隔。1945年，Leonid Mandelshtam和伊戈?duì)査饭餐芯砍鲆环N能量-時(shí)間不確 定性原理的表述日。思考一

29、個(gè)量子系統(tǒng)的相依于時(shí)間的量子態(tài)，表示其可觀察 量的算符為。設(shè)定。那么，能量-時(shí)間不確定性關(guān)系式成立：；其中，是能量算符作用于的標(biāo)準(zhǔn)偏差，而是時(shí)間間隔，期望值減少或增加一 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差所需的時(shí)間間隔。編輯導(dǎo)引根據(jù)埃倫費(fèi)斯特定理O其中，是時(shí)間，是哈密頓算符一般而言，算符不顯性地相依于時(shí)間。所以，稍加編排，取絕對(duì)值，可以得到O不確定性原理闡明，對(duì)于任意兩個(gè)可觀察量算符 和，O所以，對(duì)于量子態(tài)，哈密頓算符與能量的關(guān)系是O設(shè)定。那么，能量-時(shí)間不確定性關(guān)系式成立:O編輯參閱對(duì)應(yīng)原理編輯參考文獻(xiàn)1.2.3.4.5.6.7.8.9.2 W. Heisenberg, Uber quantentheoretish

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