理論分布和抽樣分布課件

1、第三章 理論分布和抽樣分布 第一節(jié)：概率及其計算 概率論：研究隨機現(xiàn)象規(guī)律性的科學(xué)。 統(tǒng)計學(xué)：基于實際觀測結(jié)果，利用概率論得出的規(guī)律，解釋偶然性中所寄寓的必然性。第1頁，共111頁。兩者都是研究隨機現(xiàn)象，概率論是統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，統(tǒng)計學(xué)是概率論得出規(guī)律在各領(lǐng)域中的實際應(yīng)用。第2頁，共111頁。一、事件與概率 事件是指某一事物的每一個現(xiàn)象，或某項試驗的每一結(jié)果。（試驗中所發(fā)生的現(xiàn)象）。分類： 、必然事件：在一定條件組下，必然要發(fā)生的事件。 例：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100這一組條件實現(xiàn)， 則水沸騰是必然事件。 第3頁，共111頁。、不可能事件：在一定條件組下，一定不能發(fā)生的事件。 例：在以上條件實

2、現(xiàn)，水結(jié)冰這一事件，就是不可能事件。、隨機事件：在一定條件組實現(xiàn)下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。例：一粒種子播種后發(fā)芽與否。紅花豌豆與白花豌豆雜交，2是紅花。第4頁，共111頁。概率的統(tǒng)計定義： 假定在相似條件下，重復(fù)進行同一類試驗，事件發(fā)生的次數(shù)a 與總試驗次數(shù)n的比數(shù)稱為頻率a/n，在試驗總次數(shù)n逐漸增大時， 事件的頻率愈來愈穩(wěn)定地接近定值p，于是定義事件的概率為p，并記為 P(A)=p第5頁，共111頁。一個總體的概率值在理論上是存在的，但在一般情況下，無法得到這個數(shù)值，只有通過樣本的頻率來推斷總體概率。因此便以n在充分大時事件的頻率作為該事件概率p的近似值，即 (A)=p(a/n)第6

3、頁，共111頁。概率的表示： 小數(shù)分?jǐn)?shù)0p(A)1 P(A)=1 時為必然事件 P(A)=0 時為不可能事件第7頁，共111頁。二、事件間的關(guān)系基本事件:就是不可能再分的事件。復(fù)合事件:由若干個基本事件組合而成的事件。 第8頁，共111頁。以“事件”一詞代表隨機事件，并以字母A, B, C. 等表示，以U表示必然事件，以V代表不可能事件。 1.事件A與事件B至少有一件發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱為事件A與事件B的和事件。記作：A+B讀作“或A發(fā)生，或B發(fā)生” 第9頁，共111頁。 和事件可以推廣到個事件：A+B+C+.+N表示N個事件至少有一個發(fā)生。 第10頁，共111頁。 2.兩個事件A與B同時發(fā)生

4、而構(gòu)成的新事件稱為事件A與事件B的積事件。記作： A.B，讀作“AB同時發(fā)生”第11頁，共111頁。積事件可以推廣到多個事件的情形：A.B.C.N表示N個事件同時發(fā)生。第12頁，共111頁。 3.兩個事件A與B如果不能同時發(fā)生，即A.B=V，那么稱A和B是互斥事件。例：任一玉米株高2.5m以上(A) 任一玉米株高2.0-2.5m(B) A.B:任一玉米株高既高于2.5m又在2.0-2.5m之間。拋硬幣：A：正面朝上B:反面朝上第13頁，共111頁。 4.如果事件A與事件必發(fā)生其一，但又不可能同時發(fā)生，即：A+B=u，A.B=V， 那么B是A的對立事件，可用表示。 第14頁，共111頁。 5.如

5、果事件A1、A2.An兩兩互斥，且每次試驗必發(fā)生其一，則稱A1、A2.An為完全事件系。例：袋中有紅、黃、黑、白四種顏色的球，每次取一個，“取到紅球”、“取到黃球”、“取到黑球”、“取到白球”構(gòu)成完全事件系。第15頁，共111頁。 、如果事件的發(fā)生與否不影響事件的發(fā)生，則稱其相互獨立。例：A:第一粒種子發(fā)芽B:第二粒種子發(fā)芽第16頁，共111頁。三、計算概率的法則法則一: 對立事件的概率：若事件A的概率為P( A)，那么其對立事件的概率為 P()=1-P(A) 例：小麥播種后發(fā)芽的概率為0.9，那么，不發(fā)芽的概率為(1-0.9)=0.1第17頁，共111頁。法則二： 互斥事件概率的加法： 若事

6、件A與事件B是互斥的，概率各為P(A)和P(B)，那么“A+B ”事件的概率為 P(A+B)=P(A)+P(B)第18頁，共111頁。法則三：獨立事件概率的乘法： 若確定事件A的概率時不受到事件B的影響，反之亦然，那么，這兩個事件是互相獨立，稱獨立事件。對于這類事件，同時出現(xiàn)這一新事件的概率必為每個事件概率的積。 P(A.B)=p(A).P(B)第19頁，共111頁。法則四：完全事件系的概率 若A1,A2.An是完全事件系，則這n個事件的概率之和為1，即P(A1+A2+A3+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)=1如果n個事件出現(xiàn)的概率是相等的，那么 P(Ai)=1/n第20頁，

7、共111頁。第二節(jié)總體分布一、二項分布(binomial distribution)（一）二項分布的概率函數(shù)二項總體：有非此即彼事件組成的總體。二項分布：以容量n從二項總體中抽樣,共有n+1種可能的結(jié)果,每種結(jié)果都有一個固定的概率,這種變量取值及其概率構(gòu)成的分布稱為二項分布.第21頁，共111頁。種子發(fā)芽試驗：一粒種子：發(fā)芽概率p、不發(fā)芽概率q概率相加得(p+q)兩粒種子： 甲乙均發(fā)芽：概率為p2 甲發(fā)乙不發(fā)：概率為p(1-p)pq 乙發(fā)甲不發(fā)：qp 甲乙均不發(fā)：q2概率相加得p2+pq+qp+q2=(p+q)2第22頁，共111頁。依此類推，獨立地對n粒種子進行實驗，一種結(jié)果出現(xiàn)x次的概率是

8、：稱為二項分布律或二項概率函數(shù)，是(p+q)n展開后含有p(x)的一項這一分布律也稱為貝努里分布第23頁，共111頁。其中，x=0,1,2,n, 為某事件出現(xiàn)次數(shù)。n為樣本含量,即事件發(fā)生總數(shù).第24頁，共111頁。二項分布是說明結(jié)果只有兩種情況的n次獨立實驗中發(fā)生某種結(jié)果為x次的概率分布。 第25頁，共111頁。因為（p+q），所以第26頁，共111頁。二項分布的累積函數(shù)： 二項分布中某結(jié)果最多發(fā)生k次的概率為發(fā)生0次、1次、.、直至k次的概率之和：第27頁，共111頁。(二)二項分布的應(yīng)用條件:(1) 每次實驗只有兩類對立的結(jié)果;(2) n次事件相互獨立；(3) 每次實驗?zāi)愁惤Y(jié)果的發(fā)生的概

9、率是一個常數(shù)。第28頁，共111頁。（三）二項分布的參數(shù)二項分布總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為：第29頁，共111頁。二項分布常表示為：B(n,p)即：二項分布是由n和p兩個參數(shù)據(jù)定的。 第30頁，共111頁。(四)二項分布的形狀二項分布的形狀有如下特征：(1)二項分布圖形的形狀取決于P 和n 的大小；(2) 當(dāng)P=0.5時，無論n的大小，均為對稱分布；(3)當(dāng)p0.5 ,n較小時為偏態(tài)分布,n較大時逼近正態(tài)分布。 第31頁，共111頁。一般來說，當(dāng)n大于，而p或q又不過?。ɡ绮唤咏冢?，且np及nq不小于時，可將其看作正態(tài)分布,可用正態(tài)公式求其概率。第32頁，共111頁。（五）二項分布的應(yīng)用實例

10、、一批種子的發(fā)芽率為0.8，現(xiàn)每穴播粒，問每穴出三棵苗的概率？平均每穴出苗幾棵？本例中，每穴出苗數(shù)為隨機變量X，它服從B(5,0.8)，故：第33頁，共111頁。若計算每穴出苗數(shù)低于4棵的概率，則計算累積概率：P(X3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)平均每穴出苗數(shù)：=np=50.8=4第34頁，共111頁。、兩個純合親本雜交(RRrr),F1自交，F(xiàn)2的基因型分離比。F2中，R基因出現(xiàn)的概率p=0.5，r基因出現(xiàn)的概率q=0.5第35頁，共111頁。一對因子：第36頁，共111頁。兩對因子：YYRRyyrrF2中顯:顯:顯:顯:顯第37頁，共111頁。3、兩對基因分離

11、：bbRRBBrrF1 BbRrF2 9B-R-:3B-rr:3bbR-:1bbrr問：樣本容量多大時，才能以99的概率至少得到一個bbrr個體？第38頁，共111頁。解：bbrr的概率q=1/16,非bbrr出現(xiàn)概率p=15/16。得到bbrr的概率99%,則非bbrr為，所以： pn=(15/16)n=0.01n(lg15-lg16)=lg0.01n=71.4因此：要以的可能獲得一個bbrr個體，樣本容量只少為。第39頁，共111頁。二、Poisson分布1. Poisson分布的概念:二項分布n很大而P很小時的特殊形式。其概率函數(shù) x=0,1,2.n，其中e為自然對數(shù)的底，為總體均數(shù)，x

12、為事件發(fā)生的次數(shù)。第40頁，共111頁。主要描述大量實驗中隨機稀疏現(xiàn)象，如：單位面積內(nèi)的昆蟲數(shù)、病斑數(shù)、植物種類、細(xì)胞計數(shù)、田間雜草分布等。第41頁，共111頁。2. Poisson分布的應(yīng)用條件:(1) 兩類結(jié)果要相互對立；(2) n次試驗相互獨立；(3) n應(yīng)很大, P應(yīng)很小。第42頁，共111頁。3. Poisson分布的參數(shù)方差與平均數(shù)相等，只有一個參數(shù)。 第43頁，共111頁。4. Poisson分布的性質(zhì):(1) 均數(shù)與方差相等；(2) 均數(shù)較小時呈偏態(tài),20時近似正態(tài)；(3) n很大, p很小，np=為常數(shù)時二項分布趨近于Poisson分布；(4) n個獨立的Poisson分布相

13、加仍符合Poisson分布第44頁，共111頁。5、形狀由決定：很小時分布很偏，增大后逐漸對稱，趨近于正態(tài)分布 第45頁，共111頁。三、正態(tài)分布（normal distribution）（一）正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)是連續(xù)性變數(shù)的一種理論分布。許多生物學(xué)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)都服從正態(tài)分布。正態(tài)分布是生物統(tǒng)計學(xué)的重要基礎(chǔ) 第46頁，共111頁。對于平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：-x 第47頁，共111頁。其中：平均數(shù)，是曲線最高值的橫坐標(biāo)，曲線以其為對稱；標(biāo)準(zhǔn)差，表示曲線展開程度，越大，曲線展開度越大，數(shù)據(jù)越分散；越小，曲線展開度越小，數(shù)據(jù)越集中；有了和，曲線形狀就可以確定下來。第

14、48頁，共111頁。，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)。以N(，2)表示平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布；以N(，)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。第49頁，共111頁。第50頁，共111頁。累積分布函數(shù)：第51頁，共111頁。（二）正態(tài)分布曲線的特性、以為原點左右對稱；、x=處f(x)具有最大值，且算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)合于這一點；、是一個曲線簇，由和確定：確定在x軸上的位置，確定其變異度；第52頁，共111頁。以平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差不同的正態(tài)分布系列曲線第53頁，共111頁。、在x=1有拐點；、x取值范圍是,，但多數(shù)集中在附近，離其越遠(yuǎn)，次數(shù)越少；且在

15、 x- 相等處具有相等次數(shù)。、曲線的總面積等于。曲線下任何定值之間的面積等于這兩個定值間面積占總面積的成數(shù)，或者說變量落入這個區(qū)間內(nèi)的概率。第54頁，共111頁。幾個常用區(qū)間與其相應(yīng)的面積或概率區(qū)間面積或概率 0.68272 0.95453 0.99731.960 0.95002.576 0.9900第55頁，共111頁。第56頁，共111頁。區(qū)間面積或概率10.682720.954530.99731.9600.95002.5760.9900正態(tài)分布第57頁，共111頁。（三）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布將x離其平均數(shù)的差數(shù)以為單位進行轉(zhuǎn)換，于是: u為正態(tài)離差?？蓪⒁话惴匠剔D(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布方程。第58頁，共

16、111頁。概率密度函數(shù)：-u 第59頁，共111頁。(四)正態(tài)分布區(qū)間概率的計算方法隨機變量落在某區(qū)間(a,b)內(nèi)的概率，可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)表中查出。對于一般的正態(tài)分布，先將其化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布再查表 .第60頁，共111頁。例：u=-0.82, （0.82）0.2061 u=1.15 （u）=0.8749例：隨機變量U服從N (0,1)，求其落在0,1.21間的概率：P(0U1.21)= (1.21)(0)=0.88690.5000=0.3869落在-1.96和1.96之間的概率：P(|U|u)=1-2(-u)=1-2(-1.96) 1-0.0500=0.9500第61頁，共111

17、頁。正態(tài)分布第62頁，共111頁。例：變量X服從N (156.2,4.822),求：(1)X164; (3)152X162的概率第63頁，共111頁。(1) (161-156.2)/4.82=1 P(X164)=1-P(X164)= P(X-164)=(-u)=(-1.62)=0.0526 第64頁，共111頁。(3) u1=(152-156.2)/4.82= -0.87 u2=(162-156.2)/4.82=1.2P(152P162)= (u2)-(u1) =(1.2)-(-0.87)=0.8849-0.1921=0.6928第65頁，共111頁。(五)正態(tài)分布的單側(cè)分位數(shù)/臨界值上面介紹

18、了正態(tài)分布區(qū)間概率的計算方法。即對于給定的u，通過正態(tài)分布累積函數(shù)表查Uu)= 時的u值。u稱為的上側(cè)分位數(shù)。對于左側(cè)尾區(qū)，滿足：P(Uu/2)= 時的u/2稱為的雙側(cè)分位數(shù)。第67頁，共111頁。第68頁，共111頁。對于單尾表（上側(cè)分位）：對于雙尾表： 第69頁，共111頁。第三節(jié) 抽樣分布(sampling distribution) 可從兩個方向研究總體與樣本的關(guān)系：一是總體到樣本，即由已知的總體研究樣本的分布規(guī)律；二是從樣本到總體的方向，即由樣本推斷未知的總體。抽樣分布是研究第一個方向的問題,是統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。第70頁，共111頁。第71頁，共111頁。從一個總體進行隨機抽樣:從無限

19、總體中可抽取無限多個隨機樣本。從容量為N的有限總體:樣本容量為n，有Nn個所有可能樣本。每個樣本可得一平均數(shù)： ，構(gòu)成一新的總體，平均數(shù)為新總體的變量。每一平均數(shù)會有差異，所以平均數(shù)新總體也有其分布，稱為平均數(shù)的抽樣分布。 第72頁，共111頁。（一）從一個正態(tài)總體抽出的隨機樣本的平均數(shù)分布、總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時的平均數(shù)分布u分布從一個正態(tài)總體抽出的隨機樣本,無論樣本容量大小，其樣本平均數(shù)的抽樣分布必呈正態(tài)分布第73頁，共111頁。若總體不是正態(tài)分布，但具有一定量的和2，只要樣本容量n足夠大（一般n30），從總體抽出的樣本平均數(shù)也近似地服從正態(tài)分布N(,2/n )，稱為中心極限定理。 第74頁，共

20、111頁。(1)該抽樣分布的平均數(shù)與母總體的平均數(shù)相等(2)該抽樣分布的方差與母總體方差間存在如下關(guān)系： 即：第75頁，共111頁。第76頁，共111頁。標(biāo)準(zhǔn)化：其中，n為樣本容量， 是樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為標(biāo)準(zhǔn)誤（差），可以度量抽樣分布的變異 第77頁，共111頁。例：從N3(2,4,6),以n=1,2,4,8復(fù)置抽樣第78頁，共111頁。n=1n=2n=4n=8 ffff2122122.0122.00122.258182.54102.5036902.751123083263.010303.002667983.2550416383.516563.5078427443.751 01638

21、1041443124.019764.001 10744284.251 01643184.516724.5078435284.75504239452105.010505.0026613305.251125885.54225.50361985.758466166166.0166.00166總和31293681324656126244均數(shù)12/3= (4)36/9= (4)324/ 81 =(4)26244 / 6561= (4)方差8/34/32/31/3第79頁，共111頁。、總體標(biāo)準(zhǔn)差未知(或雖然總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，但總體不呈正態(tài)，且n較小)時的平均數(shù)分布t分布總體2未知，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體

22、標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)化變量 不服從正態(tài)分布，而是服從自由度為n-1的t分布 第80頁，共111頁。其中 ， 為標(biāo)準(zhǔn)誤。第81頁，共111頁。t分布也是一組對稱密度函數(shù)曲線分布，它只有一個參數(shù)自由度確定其分布。與正態(tài)曲線相比，t分布曲線稍微扁平，峰頂略低，尾部稍高。理論上，隨著自由度的增大，t 分布趨于正態(tài)分布：30時接近正態(tài)曲線，時，與正態(tài)曲線合一。第82頁，共111頁。第83頁，共111頁。正態(tài)分布t分布40。正態(tài)分布t分布4000.10.20.30.4123-3-2-1正態(tài)分布曲線與t分布曲線的比較第84頁，共111頁。概率密度函數(shù)：t分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差：第85頁，共111頁。t 分布的累積函數(shù)

23、：第86頁，共111頁。t分布的概率累積函數(shù)也分為一尾表和兩尾表，一尾表是t到的面積，兩尾表是-t到-的面積和t到的面積之和。單尾表表頭上的各概率（）是t大于表中所列t值時的概率。例如從表中查出df=9, =0.05的t單側(cè)分位數(shù)t0.05=1.8331,表示t1.8331 時，曲線下面積（或概率）為0.05第87頁，共111頁。由于曲線的對稱性，對于單側(cè)分位數(shù)可以表示為：P(tt)=P(t-t)= 第88頁，共111頁。兩尾時，每一尾的面積只有給出概率的1/2 。例如df=9, =0.05的t雙側(cè)分位數(shù)，就要查/2=0.025時的單側(cè)分位數(shù)：t0.025,9=2.2622,由于對稱性，另一側(cè)

24、-t0.025,9=-2.2622即：t2.2622和t2.2622（相當(dāng)于|t|2.2622）兩尾面積之和為0.05。第89頁，共111頁。（二）樣本總和數(shù)的抽樣分布樣本總和數(shù)（以x表示）的抽樣分布參數(shù)與母總體間存在如下關(guān)系：（）抽樣分布的平均數(shù)是母總體平均數(shù)的n倍xn(2) 抽樣分布的方差是母總體方差的n倍x2n2第90頁，共111頁。（三）從兩個正態(tài)總體抽出的隨機樣本的平均數(shù)差數(shù)的分布總體N(，12),以n1抽樣: ,s1；總體2N(，22),以n2抽樣: , s2；第91頁，共111頁。、標(biāo)準(zhǔn)差1、已知： 兩者抽樣相互獨立，則兩個獨立隨機抽取的樣本平均數(shù)間差數(shù)( )的抽樣分布參數(shù)與兩個母總體間存在如下關(guān)系：第92頁，共111頁。第93頁，共111頁。標(biāo)準(zhǔn)化： 第94頁，共111頁。、標(biāo)準(zhǔn)差1、未知：若1、未知，但兩個總體相互獨立而且都是正態(tài)分布，同時1= =，則差數(shù)分布服從df1+df2的t分布,其中df1=n1-1,df2=n2-1；第95頁，共111頁。第96頁，共111頁。3 近似t分布： 當(dāng)兩個總體標(biāo)準(zhǔn)差1和2未知，且12，符合近似t檢驗因為12，差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤需用兩個樣本的S1、S2均方分別估計1、2第97頁，共111頁。具有自由度第98頁，共111頁。二、二項總體的抽樣分布（一）樣本平均數(shù)（成數(shù)）的