潮流計(jì)算的基本算法及使用方法

1、潮流計(jì)算的基本算法及使用方法一、潮流計(jì)算的基本算法牛頓一拉夫遜法1. 1概述牛頓一拉夫遜法是目前求解非線性方程最好的一種方法。這種方法的特點(diǎn)就是把對(duì)非線 性方程的求解過程變成反復(fù)對(duì)相應(yīng)的線性方程求解的過程，通常稱為逐次線性化過程，就是 牛頓一拉夫遜法的核心。牛頓-拉夫遜法的基本原理是在解的某一鄰域內(nèi)的某一初始點(diǎn)出發(fā)，沿著該點(diǎn)的一階偏 導(dǎo)數(shù)一一雅可比矩陣，朝減小方程的殘差的方向前進(jìn)一步，在新的點(diǎn)上再計(jì)算殘差和雅可矩 陣?yán)^續(xù)前進(jìn)，重復(fù)這一過程直到殘差達(dá)到收斂標(biāo)準(zhǔn)，即得到了非線性方程組的解。因?yàn)樵娇?近解，偏導(dǎo)數(shù)的方向越準(zhǔn)，收斂速度也越快，所以牛頓法具有二階收斂特性。而所謂“某一 鄰域”是指雅可比方

2、向均指向解的范圍，否則可能走向非線性函數(shù)的其它極值點(diǎn)，一般來說 潮流由平電壓即各母線電壓（相角為0,幅值為1）啟動(dòng)即在此鄰域內(nèi)。1. 2 一般概念對(duì)于非線性代數(shù)方程組f （x ）= 0即f （x ,x，,x ）= 0（i = 1,2,n）（1 1）i 12 n在待求量x的某一個(gè)初始計(jì)算值x（0）附件，將上式展開泰勒級(jí)數(shù)并略去二階及以上的高階項(xiàng)，得到如下的線性化的方程組f （x（0）+ f（0）!x（0） 二0（12）(13)上式稱之為牛頓法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量 Ax （0）= _f（ （0）將Ax（O）和x（0）相加，得到變量的第一次改進(jìn)值xG）。接著再?gòu)膞G）出發(fā)，重

3、復(fù)上述計(jì)算(14)(15)過程。因此從一定的初值x（0）出發(fā)，應(yīng)用牛頓法求解的迭代格式為 f 偵）!x（ ）= f 偵）x (k+1) = x (k ) + Ax (k )上兩式中：f G）是函數(shù)f （x）對(duì)于變量x的一階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，即雅可比矩陣J ； k為迭代次數(shù)。由式（14）和式子（15）可見，牛頓法的核心便是反復(fù)形成求解修正方程式。牛頓法當(dāng)初始估計(jì)值尤（。）和方程的精確解足夠接近時(shí)，收斂速度非?？?，具有平方收斂特性。3潮流計(jì)算的修正方程運(yùn)用牛頓一拉夫遜法計(jì)算潮流分布時(shí)，首先要找出描述電力系統(tǒng)的非線性方程。這里仍 從節(jié)點(diǎn)電壓方程入手，設(shè)電力系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣已知，則系統(tǒng)中某節(jié)點(diǎn)U節(jié)點(diǎn)）電壓方程為

4、= SLJ Jffk f 從而得S= ufY UL L J JJ =1進(jìn)而有（1 8）0l l ij j ij j l ij j ij j j=1J這就是直角坐標(biāo)下的功率方程。可見，一個(gè)節(jié)點(diǎn)列出了有功和無功兩個(gè)方程。對(duì)于PQ節(jié)點(diǎn)（i = 1，2, , m -1），給定量為節(jié)點(diǎn)注入功率，記為P Q；，則由式（2 8）可得功率的不平衡量，作為非線性方程P = P leGe- B f)+ f (f + B e(19)i i iijjijj i j j j jj=1Q =必- f (Ge - B f)- e (Gf + B ei i i ij j ij j i ij j ij jj=1式中Ap、Q 分

5、別表示第i節(jié)點(diǎn)的有功功率的不平衡量和無功功率的不平衡量。對(duì)于PV節(jié)點(diǎn)（i = m +1,m + 2,n ），給定量為節(jié)點(diǎn)注入有功功率及電壓數(shù)值，記為p、U：，因此，可以利用有功功率的不平衡量和電壓的不平衡量表示出非線性方程，即有AP = P-乎 e(Ge B f)+ f (Gf + B e(1 10)i i i ij j ij j i ij j ij jU 2=u2e+f ；)式中AUi為電壓的不平衡量。對(duì)于平衡節(jié)點(diǎn)（i = m），因?yàn)殡妷簲?shù)值及相位角給定，所以U = es + jfs也確定，不需 要參加迭代求節(jié)點(diǎn)電壓。因此，對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)只能列出2（n-1）個(gè)方程，其中有功功率方程（n-

6、1）個(gè)，無(i = 1,2,，n,i 豐 m )展開，功功率方程（m-1）個(gè)，電壓方程（n - m）個(gè)。將式（19）、式（1 10）非線性方程聯(lián)立，稱為n個(gè)節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的非線性方程組，且按泰勒級(jí)數(shù)在f（。）、e（。）氣號(hào)fjNijSAPrSejAPHNHN:HNHNA111111212:1 p1 p1n1n1AQJLJL.JLJLAe111111212:1 p1 p1n1n1APHNHN HNHNA221212222:2 p2 p2 n2 n2AQJLJL:JLJLAe221212222:2 p2 p2 n2 n2:-:AP=HNHN HNHNAfpplP1p 2p 2:pppppnpnpAU 2

7、RSRS:RSRS成p:p1P1p 2p 2 pppppnpn.p:APHNHNHNHNAfnn1n1n 2n 2:npnpnnnnJ nAU 2RSRS. RSRSAenn1n1n 2n 2-npnpnnnnn并略去高次項(xiàng)，得到以矩陣形式表示的修正方程如下(111)上式中雅可比矩陣的各個(gè)元素則分別為/ _dQ_dAQ TOC o 1-5 h z y dfde HYPERLINK l bookmark71 o Current Document JJ HYPERLINK l bookmark38 o Current Document dAU 2dAU2R = i S =r-可 dfy de HY

8、PERLINK l bookmark41 o Current Document ij將(1-11)寫成縮寫形式AP 一QHJNLAe=0-AeAL/2RS (1-12)對(duì)雅可比矩陣各元素可做如下討論:當(dāng)時(shí)，對(duì)于特定的，只有該特定點(diǎn)的f.和。.是變量，于是雅可比矩陣中各非對(duì)角元素表示為TT 5AP 口 八H =r = B e -G f. J .lJ OJiJ i ij ijA7 SAP 八 廣N =r = G e B fij de ij i ij ijij= B f +G eij iLij= -G f +B e c.J .deij 1ij 1j6A/2 八i = UdfJ當(dāng)j = i時(shí)，雅可比矩

9、陣中各對(duì)角元素的表示式為秘P =_。f +B e )-G f +B e ij j ij j i H， J=l=e -B f )G e -B fU j ij j ij i ii ， j=l= M = Eje -B fce +B f oflJ J U J I J j=l二竺a*deSAt/2 八 i = 0 deJ6APJijf +B e )G f +B eij j ij j H i ii i j=l汕2f./Sij6A/2 ci- = 2ede ，j由上述表達(dá)式可知，直角坐標(biāo)的雅可比矩陣有以下特點(diǎn):雅可比矩陣是2(n -1)階方陣，由于氣豐H孔、%主七等等，所以它是一個(gè)不 對(duì)稱的方陣。雅可比矩陣

10、中諸元素是節(jié)點(diǎn)電壓的函數(shù)，在迭代過程中隨電壓的變化而不斷地改 變。雅可比矩陣的非對(duì)角元素與節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣七中對(duì)應(yīng)的非對(duì)角元素有關(guān)，當(dāng)*中的Y為零時(shí)，雅可比矩陣中相應(yīng)的H、N、J、L也都為零，因此，雅可比矩陣也是一個(gè) ijij ij ij ij稀疏矩陣。1. 3. 2極坐標(biāo)表示的修正方程在牛頓一拉夫遜計(jì)算中，選擇功率方程p + jQtU 於j = 0作為非線性函數(shù)方程， j=1把式中電壓向量表示為極坐標(biāo)形式U. = U eji = U (cos8. + jsin8.)U = U ej8j = U (os 8 . + j sin 8 .)則節(jié)點(diǎn)功率方程變?yōu)镻 + jQ U (cos 8 + j si

11、n 8 ) G jB U Cos 8 j sin 8 )= 0i i iiiij ij jjjj=1將上式分解成實(shí)部和虛部PUuG cos 8 + B sin 8 )= 0i i j ij ij ij ijj=1Q U u G sin8 B cos8 )= 0 i i j ij ij ij ij j=1這就是功率方程的極坐標(biāo)形式，由此可得到描述電力系統(tǒng)的非線性方程。對(duì)于pQ節(jié)點(diǎn)，給定了 G = 1、2、m 1)AP = P U.舄G cos 8 + B sin 8 )(1-13)i i i j ij ij ij j j=1Q = Qf U 舄.G sin 8 一 B cos8 )i i i j

12、 ij ij ij ijj=1對(duì)于所節(jié)點(diǎn)，給定、U,而Q未知，式(1-13)中AQi將失去作用，于是所 節(jié)點(diǎn)僅保留AP方程，以求得電壓的相位角。iAP = P U u G cos8 + B sin8 ) G = m +1、m + 2、n)i i i j ij ij ij ij j=1(1-14)對(duì)于平衡節(jié)點(diǎn)，同樣因?yàn)閁. s已知不參加迭代計(jì)算。將式（1-13）、式（1-14）聯(lián)立，且按泰勒級(jí)數(shù)展開，并略去高次項(xiàng)后，得出矩陣形式的修正方程AP1AQ1AP2AQ:2=HU1J11H，21J21N11L11N21L21H12J12H21J21N12L12N21L21:H:1 p J:1 p:H:2

13、p J2 pH1nL1nN2 nL2 nAP.HNHN HH:p,p1P1p 2p 2:pppnAPHNHN:HHn n1n1n 2n 2npnnASAU /斗AS 1AU2 u 2A5.pA5n(1-15)雅可比矩陣終，對(duì)PV節(jié)點(diǎn)，仍可寫出兩個(gè)方程的形式，但其中的元素以零元素代替，從而顯示了雅可比矩陣的高度稀疏性。式中電壓幅值的修正量采用Auu的形式，并沒有什么特殊意義，僅是為了雅可比矩陣中各元素具有相似的表達(dá)式。雅可比矩陣的各元素如下HijdAP = -UU G sin S B cos S ) dSi j ij ij ij ijjHii。竺=U u G sinS -B cosS )i j

14、ij ij ij ijj=1j-iNij竺udU jj=-U U G cos S + B sin S )i j ij ij ij ijNiiJijLu =-u u G cos S + B sin S )- 2U 2GdU i i j ijijijiji iiij =1j豐idAQ = UU G cosS + B sinS )dS i j ij ij ij ijjJiiLijdAQr = -U u G cosS + B sinS )i j ij ij ij ijj=1j -1-r = -U U G cos S 一 B sin S )dSi j ij ij ij ijjSAQLiiAQU =-U

15、2u G sinS -B cosS)+ 2U2BdS j i j ij ij ijiji iiij = 1j歸A5將式（1 15）寫成縮寫形式(1 16)AP H NQ J L以上得到了兩種坐標(biāo)系下的修正方程，這是牛頓一拉夫遜潮流計(jì)算中需要反復(fù)迭代求解 的基本方程式。快速分解法2. 1概述快速分解法的基本思想是：把節(jié)點(diǎn)功率表示為電壓向量的極坐標(biāo)方程式，抓主要矛盾， 以有功功率誤差作為修正電壓向量角度的依據(jù)，以無功功率誤差作為修正電壓幅值的依據(jù)， 把有功功率和無功功率的迭代分開來進(jìn)行?？焖俜纸夥ǜ鶕?jù)電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)的物理特 點(diǎn)，對(duì)牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化。2. 2基本公

16、式在交流高壓電網(wǎng)中，輸電線路的電抗要比電阻大得多，系統(tǒng)中母線有功功率的變化主要 受電壓相位的影響，無功功率的變化主要受母線電壓幅值變化的影響。在修正方程式的系數(shù) 眼 Q SAP眼 Q SAP矩陣中，偏導(dǎo)數(shù)豎和=的數(shù)值相對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)和*是相當(dāng)小的，作為簡(jiǎn)化的第 TOC o 1-5 h z SoSVSV So一步，可以將方程式（2 1）中的子塊N和K略去不計(jì)，即認(rèn)為它們的元素都等于零。這 樣，n -1 + m階的方程式便分解為一個(gè)n -1階和一個(gè)m階的方程式，即將式（21）簡(jiǎn)化 為式（22）和式（2 3）。-AP -HN -A5 -AQ_=一KL _V-1AV1- D(2 1) TOC o 1-5

17、h z AP = -HA0(22)AQ = -LVD1AV（23）上述的簡(jiǎn)化大大地節(jié)省了計(jì)算機(jī)的內(nèi)存和解題時(shí)間，但是矩陣H和L的元素都是節(jié)點(diǎn)電 壓幅值和相角差的函數(shù)，其數(shù)值在迭代過程中是不斷變化的。因此，快速分解法潮流計(jì)算的 第二個(gè)簡(jiǎn)化，也是最關(guān)鍵的一步簡(jiǎn)化就在于把系數(shù)矩陣H和L簡(jiǎn)化成在迭代過程中不變的常 數(shù)對(duì)稱矩陣。在一般情況下，線路兩端電壓的相角差是不大的（通常不超過 10。20。）因此 可以認(rèn)為cos5 牝 1 ，G sin5 B（24）此外，與系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)無功功率相適應(yīng)的導(dǎo)納BLo尹遠(yuǎn)小于該節(jié)點(diǎn)自導(dǎo)納的虛部，即BLDiQB BV 2 iiiQ V 2 Bii ii考慮到上面的關(guān)系，矩陣H

18、和L的元素的表達(dá)式便被簡(jiǎn)化為HijL = VV Bijij(i，j=1，2，n-1)(i，jT，2，m)(25)(26)B VB V2 21 1V BV2 B22V212V2V1 B1,n-1Vn-1V2 B2,n-1Vn-1(27)V Bn-1n-1,1B VB V2 21 1VmBm1V1VB Vn - 1n - 1, 22n - 1VB V.VB V1 12 211m mVB VVB V2 22 2:22m mV B VVB V分別代入式（22）m m 2 2m mm mV Bnn-1 J(28)將式（27）和式（2 8）和（2 3），便得到:P = - VD1B % ASQ = - V

19、D2B AV用Vd1和Vd2分別左乘以上兩式便得簡(jiǎn)化了的修正方程式，可展開寫成:P1VP2V2Pn-1Vn=1Q1VQ2V2式（2 9）和式一 BBB 一-V S 一11121, n - 111BBBV局21222,n-1:2:2BBBV S-n-1,1n-1,2n-1,n-1L n-1n-1B11B：21B12B22 B1mB2mVV：2B .m1Bm2 BmmVm(210)(29)(2 10)就是快速分解法潮流計(jì)算的修正方程式，其中系數(shù)矩陣都是由節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的虛部構(gòu)成，只是階次不同，矩陣B為n-1階，不含平衡節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行和列，矩陣Bn為m階，不含平衡節(jié)點(diǎn)和PV節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行和列。AP = P

20、 - P = P - V lV G cos 8 + B sin 8 ）（211）i is i is i j ijij ij ijj=1AQ = Q Q = Q V 工 V （G sin 8 + B cos 8 ）（212）i is i is i j ij ij ijijj=1修正方程式（2 9）和（210）與功率誤差方程式（2 11 ）和（2 12）構(gòu)成了快速 分解法迭代的基本計(jì)算公式。3快速分解法的特點(diǎn)快速分解法與牛頓法潮流計(jì)算的主要差別表現(xiàn)在它們的修正方程上?？焖俜纸夥ㄍㄟ^對(duì) 電力系統(tǒng)具體特點(diǎn)的分析，對(duì)牛頓法修正方程式的雅克比矩陣進(jìn)行了有效的簡(jiǎn)化和改進(jìn)，得 到式（2 9）、式（2 10）所

21、示的修正方程式。這兩組方程式和牛頓法的修正方程相比主要 有三個(gè)特點(diǎn)：a）快速分解法的修正方程式用兩個(gè)n階線性方程組代替了一個(gè)2n階線方程組。b）快速分解法的修正方程式中系數(shù)矩陣的所有元素在迭代過程中維持常數(shù)不變。c）快速分解法的修正方程式中系數(shù)矩陣是對(duì)稱矩陣。這些特點(diǎn)在提高計(jì)算速度和減少內(nèi)存方面的作用是很明顯的：首先，因?yàn)樾拚匠淌降?系數(shù)矩陣是導(dǎo)納矩陣的虛部，因此在迭代過程中不必像牛頓法那樣每次都要重新計(jì)算雅克比 矩陣，這樣不僅減少了運(yùn)算量，而且也大大簡(jiǎn)化了程序；其次，由于系數(shù)矩陣在迭代過程中 維持不變，因此在求解修正方程式時(shí)，不必每次都對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行消去運(yùn)算，只需要在進(jìn)入 迭代過程以前，將

22、系數(shù)矩陣用三角分解形成因子表，然后反復(fù)利用因子表對(duì)不同的常數(shù)項(xiàng) AP/V或AQ/V進(jìn)行消去和回代運(yùn)算，就可以迅速求得修正量，從而顯著提高了迭代速度;第三，由于對(duì)稱矩陣三角分解后，其上三角矩陣和下三角矩陣有非常簡(jiǎn)單的關(guān)系，所以在計(jì) 算機(jī)中可以只存儲(chǔ)上三角矩陣或下三角矩陣，從而也進(jìn)一步節(jié)約了內(nèi)存。快速分解法所采用的一系列簡(jiǎn)化假定只影響了修正方程的結(jié)構(gòu)，也就是說只影響了迭代 過程，但未影響最終結(jié)果。因?yàn)榭焖俜纸夥ê团ｎD法都采用同樣的數(shù)學(xué)模型，最后計(jì)算功率 誤差和判斷收斂條件都是嚴(yán)格按照精確公式進(jìn)行的，所以快速分解法和牛頓法一樣都可以達(dá) 到很高的精確度。為了改善快速分解法的收斂特性，修正方程的系數(shù)矩陣

23、B與B 一般并不簡(jiǎn)單的是電力 系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣的虛部，下面討論一下B與B”的構(gòu)成。B與B的階數(shù)是不同的，B為n 1階，B低于n 1階。因?yàn)槭剑? 10）不包含 于PV節(jié)點(diǎn)有關(guān)的項(xiàng)，所以，如果系統(tǒng)有r個(gè)PV節(jié)點(diǎn)，則B應(yīng)為n - r -1階。式（29）以有功功率誤差為依據(jù)修正電壓向量的角度，式（2 10）以無功功率誤差依據(jù)修正電壓幅 值。為了加速收斂，使它們能夠更有效地進(jìn)行修正，可以考慮在B中盡量去掉那些與有功功 率及電壓向量角度無關(guān)或影響較小的因素，而在B中盡量去掉與無功功率及電壓幅值影響 較小的因素。所以，我們以電力系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣的虛部作為B和B時(shí)，可以在B去掉充電電 容和變壓器變比的影響，在B中去

24、掉輸電線路電阻對(duì)B的影響。B和B的非對(duì)角元素和 對(duì)角元素可分別按式（2 13）和（2 14）計(jì)算：尤%b； = rBr（2.13）ij ij0 ij ij11B = -土B = Z 土 - b（2.14）七詢七式（2 13）中r和七.分別為支路ij的電阻和感抗，式（2 14）中b為節(jié)點(diǎn)i接地支路的 電納。快速分解法改變了牛頓法迭代公式的結(jié)構(gòu)，因此就改變了迭代過程的收斂性。牛頓法在 迭代開始時(shí)收斂得較慢，當(dāng)收斂到一定程度后，它的收斂速度非常之快，而快速分解法幾乎 是按同一速度收斂的，快速分解法每次迭代的計(jì)算量很小，因此快速分解法的計(jì)算速度比牛 頓法有明顯的提高。二、潮流計(jì)算的使用方法初始方式準(zhǔn)備對(duì)任何潮流模擬操作計(jì)算，總是在某一個(gè)初始的運(yùn)行方式上進(jìn)行。這種初始方式可以是 狀態(tài)估計(jì)提供的實(shí)時(shí)運(yùn)行方式，也可以是以往保存的歷史運(yùn)行方式。調(diào)度操作模擬在準(zhǔn)備好的初始潮流斷面上，可以繼續(xù)修改方式，模擬預(yù)想的潮流運(yùn)行方式，再進(jìn)行詳細(xì)的潮流分析。模擬操作包括：1）開