電動(dòng)力學(xué)-靜電場(chǎng)答案

1、-PAGE . z編號(hào)： 班級(jí)： *： ： 成績(jī)： 第1章 靜電場(chǎng)證明均勻介質(zhì)部的極化電荷體密度，總等于自由電荷體密度的1倍。2. 有一外半徑分別為的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為，使介質(zhì)均勻帶靜止自由電荷，求1空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；2極化體電荷和極化面電荷分布。解 1由電荷分布的對(duì)稱性可知：電場(chǎng)分布也是對(duì)稱的。電場(chǎng)方向沿徑向故：時(shí) 或 時(shí) 球殼體：在的球形外：式中 寫在一起2 與第一題相符外表：外外表：3. 證明：當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時(shí)，電場(chǎng)線的偏折滿足： 式中和分別為兩介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電場(chǎng)線與法線的夾角。證明：絕緣介質(zhì)分界面上自由電荷密度，故邊值關(guān)系為：, ,假設(shè)

2、兩種介質(zhì)都是線性均勻的，即， ；上邊兩式為:，于是得： 4. 試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體外表。1 導(dǎo)體2 絕緣體證明：設(shè)介質(zhì)1為導(dǎo)體，介質(zhì)2為絕緣體。靜電情況下：,由邊值關(guān)系：,可得：,即，對(duì)于各向同性線性介質(zhì)所以，即導(dǎo)體外的電場(chǎng)線垂直于導(dǎo)體外表2aO圖1 5. 如圖1，有一厚度為，電荷密度為的均勻帶電無(wú)限大平板，試用別離變量法求空間電勢(shì)的分布。解：以O(shè)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，為根據(jù)問(wèn)題的對(duì)稱性，電勢(shì)分布僅與*有關(guān)，*即一維問(wèn)題。容易寫出定解問(wèn)題：時(shí) 時(shí) 直接求解得6. 半徑，外半徑為的兩個(gè)同心導(dǎo)體球殼，令球接地，外球帶電量，試用別離變

3、量法求空間電勢(shì)分布。解.根據(jù)球?qū)ΨQ性，空間電勢(shì)分布僅與r有關(guān)，定結(jié)問(wèn)題為：r=b時(shí) 求解得 7. 均勻外電場(chǎng)中，置入半徑為的導(dǎo)體球。求以下兩種情況的電勢(shì)分布。1導(dǎo)體球上接有電池，使球保持電勢(shì)為；2導(dǎo)體球上帶有總電荷。解 建立球坐標(biāo)系 極軸方向?yàn)榫鶆螂妶?chǎng)方向，可知電勢(shì)分布具有軸對(duì)稱性，即電勢(shì)僅與r有關(guān)1的定解問(wèn)題為此時(shí)是導(dǎo)體球放入前，通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的等勢(shì)面的電勢(shì)，用別離變量法解為2的定解問(wèn)題為類似解為z8. 介電常數(shù)為的無(wú)限均勻介質(zhì)中，挖一個(gè)半徑為的空球，球心處置一電矩為的自由偶極子，試求空間電勢(shì)分布。解 如圖建立球坐標(biāo)系，的方向?yàn)闃O軸方向,的定解問(wèn)題為r=a時(shí)，；注意到泊松方程解的性質(zhì)及電勢(shì)分布

4、具有軸對(duì)稱性，可寫為：第二項(xiàng)為極化電荷激發(fā)的勢(shì)，該項(xiàng)在球心應(yīng)為有限值，故Bn=0解的電勢(shì)分布9半徑為R的均勻介質(zhì)球中心置一自由偶極子，球外充滿另一種介質(zhì)，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布介質(zhì)球介電常數(shù)為，球外為。解：求解與上題類似，只需得，極化電荷分布，在介質(zhì)球因此在球心處有一極化電偶極矩，在的界面上，由，可得，10.兩個(gè)接地的無(wú)限大導(dǎo)電平面，其夾角為，點(diǎn)電荷位于這個(gè)兩面角的平面上，并與棱邊兩面角之交線相距為。試用電像法求真空中的電勢(shì)。解：考慮到兩個(gè)無(wú)限大導(dǎo)電平面是接地的，且點(diǎn)電荷Q位于雙面角的平分線上，可按下面的方法求得像電荷的位置和大?。篈+QNNCDFEB-Q+Q-Q+Q-QA1首先考慮半

5、面，為了滿足平面的電勢(shì)為零，應(yīng)在Q關(guān)于對(duì)稱的位置B處有一像電荷-Q,2考慮半面，同樣為了滿足電勢(shì)為零的要求，對(duì)于A、B處兩個(gè)點(diǎn)電荷+Q和-Q，應(yīng)在A、B關(guān)于對(duì)稱的位置C、D處有兩個(gè)-Q、+Q，3再考慮半平面，對(duì)于C、D處的-Q和+Q，應(yīng)在E、F處有兩個(gè)像電荷+Q和-Q才能使導(dǎo)體的電勢(shì)為零?？梢宰C明E、F處的兩個(gè)點(diǎn)電荷+Q和-Q關(guān)于平面對(duì)稱，因而可滿足平面的電勢(shì)為零，這樣找出了5個(gè)像電荷，加上原來(lái)給定的點(diǎn)電荷，能夠使角域的場(chǎng)方程和邊界條件得到滿足，所以角域任一點(diǎn)P處的電勢(shì)可表為，其中分別為給定電荷Q及其像電荷到P點(diǎn)的距離。在其余空間的電勢(shì)為。11. 接地空心導(dǎo)體球，外半徑為和，球離球心處置一點(diǎn)電

6、荷，試用電像法求空間電勢(shì)分布。導(dǎo)體上感應(yīng)電荷分布在外表還是外外表？其量為多少？假設(shè)導(dǎo)體球殼不接地而是帶電量，則電勢(shì)分布又如何？假設(shè)導(dǎo)體球殼具有確定的電勢(shì)，電勢(shì)分布如何？解：根據(jù)題意設(shè)球區(qū)域電勢(shì)為，球外區(qū)域電勢(shì)為，RR1R2abrBQrQ設(shè)像電荷位置如下圖，其中由邊界條件要使上式對(duì)任意成立，必有*解得，舍去代入*，得由上可知，假設(shè)使有確定，且兩種情況有一樣解，由邊界條件所以，外外表感應(yīng)電荷面密度，外表感應(yīng)電荷面密度，總感應(yīng)電荷，可見(jiàn)全部在外表上12. 四個(gè)點(diǎn)電荷，兩個(gè)，兩個(gè)，分別處于邊長(zhǎng)為的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，相鄰的符號(hào)相反，求此電荷體系遠(yuǎn)處的電勢(shì)。-q-q+q+q解：該系統(tǒng)電荷分布為分立分布，在如圖坐標(biāo)系中位置為q(0,0,0)，-q(a,0,0)，-q(0,a,0)，q(0,0,a)的準(zhǔn)確到四極矩情況下，可求得遠(yuǎn)處的電勢(shì)分布為。13. 求面電荷密度按分布，半徑為的球的電矩。問(wèn)該系統(tǒng)是否存在電四極矩？解：，所以，14. 設(shè)真空中電場(chǎng)的勢(shì)為式中是離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，和是常數(shù)，求相應(yīng)的電荷分布。解：，時(shí)，時(shí)，15. 在一點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，距離它為的地方有一偶極子，其電矩，求在以下兩種情況下