高考理科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)案解析幾何

1、第9講解析幾何調(diào)研一直線與圓備考工具一、直線方程的相關(guān)概念.表示直線方向的兩個(gè)量(1)直線的傾斜角：定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)(取x軸作 為基準(zhǔn))，X軸正方向與直線l向上方向之間所成的角.范圍：0V芯180 .(2)直線的斜率：定義：當(dāng) m 900時(shí)，tan%表示直線l的斜率，用k表示，即k = tan%;當(dāng)= 90時(shí)，直線l的斜率k不存在.計(jì)算公式：給定兩點(diǎn) Pi(xi, y。, P2(x2, y2)(x1?x2),經(jīng)過(guò)Pi,P2兩點(diǎn)的直線的斜率公式為k=y2二.X2-Xi.直線方程的形式(1)點(diǎn)斜式：y-y0=k -x(-X0)(2)斜截式：y=kx+b(3)兩點(diǎn)式:y

2、Y xxiy2_ y1X2_ X1(4)截距式:-Y b十X- a一般式：Ax+By+C=0(A2 + B2#0)X= X0+ tCOS a(6)參數(shù)式：(t為參數(shù))y=yo+ tsin a.兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程y = k1x+ b1, y= k2x+ b2A1X+ By+ C1 =。，A2x+B2y+ C2=0相交k1 豐 k2A1B2 A2B1 豐 0垂直k1 k2 = - 1A1A2+ B1B2 = 0平行ki = k2 且 bi # b2AiB2 A2Bi = 0, 或BiC2 B2Ci * 0Ai B2 A?Bi = 0,AiC2 AzCi * 0重合ki = k2 且

3、 bi = b2Ai B2 A?Bi= BiC2 BCi =AiC2 AzCi = 04.距離距離公式點(diǎn) P0(x。, y0)到直線 l: Ax+ By+ C=0的距離|Ax0 + By0+ C| d- 4a2+b2兩條平行直線Ax+By+ Ci = 0 與 Ax+ By+ C2 = 0(C產(chǎn) C2)間 的距離|Ci - C21Va2+b2二、圓的方程及相關(guān)概念1.圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程:名稱(chēng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程方程(x- a)2 + (y-b)2 = r2(r0)x2+y2 + Dx+Ey+ F = 0(D2 + E2-4F0)圓心(a, b)DE 2，2半徑ri/D2+E

4、2-4FA(xi, yi), B(地, y2),以AB為直徑的圓的方程為(x-xi)(x- X2)十(yyi)(y y2)=0.(3)參數(shù)方程：x = a+rcos8 y=b+rsin 0(。為參數(shù))圓心(a, b),半徑為r.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 C: (xa)2+(yb)2=r2,直線 l: Ax+ By + C=0,圓心 C(a, x a 2+ y b 2= r2,b)到直線l的距離為d,由消去y(或x),得到Ax+ By+C = 0,關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為 方法 位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d0相切d= r= 0相離drU0.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為 R,

5、r, Rr,圓心距為d,則兩圓的位置 關(guān)系可用下表來(lái)表示：X1+X2 = .M(x, y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足y=2 ，yi + y2位置關(guān) 系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含同心 圓幾何特 征dR+ rd = R+ rRrd R+ rd=Rr0d0)相交所得的弦長(zhǎng)為2虛，則圓C的半徑r =()A.蛆B, 2C. 2V2D. 4解析：解法一：依題意，圓C的圓心為(2,1),圓心到直線的距離d=l2-H-5| =也 又弦長(zhǎng)為2也 所以2，r2 d2 = 2也，所以r = 2, 1+1故選B.x+ y 5= 0解法二：聯(lián)立得 ，22,整理得2x2- 12x+20-x-2 2+ y-1 2= r2r2= 0,設(shè)直線與圓的

6、兩交點(diǎn)分別為 A(xb y0, B(x2, y?),所以xi + x2_20 產(chǎn)=6, x1 x2=-2，所以|AB|=q1 + k2|x1 x2|=V2q x1+x2 24x1x2 =2 .2,解得 r=2.答案：B4. 2019河北九校聯(lián)考圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為()A . x2+y2 -2x -3=0 x2 + y2 + 4x = 0 x2 + y2 -4x = 0 x2+y2 + 2x-3=0解析：由題意設(shè)所求圓的方程為(X- m)2+y2=4(m0),則覆卷14 .=2,解得m=2或m=可(舍去)，故所求圓的萬(wàn)程為(x-2

7、)2 + y2 = 4, 3即 x2+y24x=0.故選 C.答案：C2019廣州調(diào)研若點(diǎn)P(1,1)為圓C: x2+y2-6x=0的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為()2x+y-3=0 x-2y+1 = 0 x+2y-3=02x-y-1 = 0解析：由圓的方程易知圓心C的坐標(biāo)為(3,0),又P(1,1),所以kpc TOC o 1-5 h z 0 11 一=7=一5.易知 MNXPC,所以 kMN kpc=-1,所以 kMN = 2根據(jù)弦12MN所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)得所求直線方程為y-1 = 2(x- 1),即2x y1 = 0.故選 D.答案：D2019湖北重點(diǎn)中學(xué)已知兩點(diǎn)A

8、(a,0), B( a,0)(a0),若圓(x -A/3)2 + (y- 1)2=1上存在點(diǎn)P,使得/APB=90,則正實(shí)數(shù)a的取 值范圍為()A. (0,3B. 1,3C. 2,3D. 1,2解析：以AB為直徑的圓的方程為x2 + y2=a2,則由題意知圓(x 43)2+(y 1)2=1 與圓 x2+ y2 = a2有公共點(diǎn)，則 a- 1|/ 3 2+ 12 0) x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是 4 |x+x+ x x解析：通解：設(shè)Px, x+4 , x0,則點(diǎn)P到直線x+y=0的距 x，一，4 一 一一4,當(dāng)且僅當(dāng)2x= 4,即x=也時(shí) x取等號(hào)，故點(diǎn)P到直線x+y

9、=0的距離的最小值是4.優(yōu)解：由 y=x+ X(x0)得 y =1* 令 15= 1，得 x=也 則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(血，3亞)時(shí)，點(diǎn)P到直線x+ y= 0的距離最小, 曰|肉3一| a最小值為慈 = 4.答案：42019唐山摸底已知直線l: kx-y-k + 2=0與圓C: x2 + y2 -2y- 7 = 0相交于A, B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為.解析：直線l的方程為y-2=k(x-1),經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(1,2),由已知 可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 + (y1)2=8,可知圓心C(0,1),半徑r = 2, 由圓的性質(zhì)可知當(dāng)直線l與CP垂直時(shí)弦長(zhǎng)最小，因?yàn)?|CP| =1 1-0 2+ 2-1

10、2 = R 故|AB|min = 2y2/2-觀2 =26.答案：2v62019廣東六校聯(lián)考已知點(diǎn)P(1,2)及圓(x3)2 + (y 4)2 = 4, 一光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)x軸上一點(diǎn)Q反射后與圓相切于點(diǎn)T,則|PQ| 十 |QT|的值為.解析：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P ( 1,2),如圖，連接PP, P Q,由對(duì)稱(chēng)性可知，P Q與圓相切于點(diǎn)T,則|PQ|+|QT|=|P T|. 圓(x3)2+(y4)2=4 的圓心為 A(3,4),半徑 r = 2,連接 AP , AT, 則|AP |2= ( 13)2 + ( 24)2 = 52, |AT|=r = 2,所以|PQ|+|QT| = |P T

11、|=1|AP |2一|AT|2 = 43.答案：4 32019浙江卷已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0, m),半徑長(zhǎng)是r. 若直線2x y+3 = 0與圓C相切于點(diǎn)A( 2,1)Mm=, r =.解析：解法一：設(shè)過(guò)點(diǎn)A( 2, 1)且與直線2x- y+ 3=0垂直 的直線方程為l: x+ 2y + t=0,所以22+t=0,所以t=4,所以 l: x + 2y+4=0.令 x= 0,得m= 2,則 r = , -2-0 2+ -1 + 2 2 = 5.解法二：因?yàn)橹本€2x y+3=0與以點(diǎn)(0, m)為圓心的圓相切， 且切點(diǎn)為 A( 2, 1),所以 0mL； X2=-1,所以 m= 2, r = 1

12、-2-0 2+ 1 + 2 2= 5.答案：一25調(diào)研二橢圓、雙曲線備考工具一、定義.橢圓的定義(1)定義：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1, F2的距離的和等于常數(shù)(大于IF1F2I)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦 點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.(2)集合語(yǔ)言：P = M|MF1|十|MF2| = 2a,且 2a|FF2|, |FF2| = 2c,其中ac0,且a, c為常數(shù).(3)當(dāng)2a|FF2|時(shí),軌跡為橢圓；當(dāng)2a=|FiF2|時(shí)，軌跡為線段F1F2； 當(dāng)2a|FiF2|時(shí),軌跡不存在.雙曲線的定義及理解(1)定義：平面上到兩定點(diǎn) F1, F2的距離之差的絕對(duì)值為非零常 數(shù)(

13、小于|FiF2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩 焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.(2)符號(hào)語(yǔ)言:|MFi|MF2|=2a(2a|FiF2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.二、方程和性質(zhì)1.橢圓的方程與性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2 y2定+#= 1(ab0)1(ab0)圖形蒞1Ju 可b力，出立性質(zhì)范圍axa, by b一 bw xw b, 一a y0, b0)y-A(a0, b0)圖形一性 質(zhì)范圍xa 或 xw a, y Rx R, ya 或 yw a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)Ai(-a,0), A2(a,0)Ai(0, a), A2(0, a)軸實(shí)軸：線段AiA2,虛軸：BiB2焦距|FiFz

14、|= 2c離心率c -，、e= e (i , +oo) aa, b, c 的關(guān)系c2 = a2 + b2漸近線y=以y=(x三、離心率e的作用(1)橢圓：e越大，圖形越扁.(2)雙曲線：e越大，開(kāi)口越小.四、常見(jiàn)結(jié)論1.橢圓 2b2 (1)橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)長(zhǎng)為2b,通徑是最短的 a焦點(diǎn)弦.(2)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的焦點(diǎn)，則|PF|a-c, a+c,即 橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為 a+ c,最小值為a- c.(3)橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0, y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的4PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形.如圖所示，設(shè)/ FFF2= e當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，0最大.一 -1-

15、 sin A - A 1 - =2lpF1| PF2I sn b2 1 + c0s0= b2tan2= c|yo|,當(dāng) |yo|= b, 即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S&%后取最大值，最大值為bc.焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).x2 y2(4)設(shè)F1, F2是橢圓+y2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，AB是過(guò)Fi 的弦，則 |AF2|十|BF2|+|AB| = 4a.x2 y2(5)AB 為橢圓+岸=1(ab0)的弦，A(Xi, y。, B(二 以 弦中 點(diǎn) M(Xo, y0),則弦長(zhǎng)ijl + k2 |xi x2| = J+k |yiy2|(其中k為直線AB的斜 率)；直線AB的斜率kAB=-b2X0.

16、a y02.雙曲線(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為 b.(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)i, F2分別為雙曲線的左、右焦 點(diǎn)，則 |PFl|min=a + C, |PF2|min = Ca.(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)，其 2 b2長(zhǎng)為詈；異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為 2a.(4)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)i, F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則 SzPFiF2= -b-0,其中0= Z F1PF2.tan2(5)若P是雙曲線，一，=1(a0, b0)右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的 任意一點(diǎn)，F(xiàn)1, F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為PF1F2內(nèi)切圓

17、 的圓心，則圓心I的橫坐標(biāo)為定值a.x2 y2(6)設(shè)F1, F2是雙曲線了一余=1(20, b0)的焦點(diǎn)，AB是過(guò)F1 的弦，則 |AF2|十|BF2|AB|=4a.x2 y2(7)AB 為雙曲線孑一禍=1(20, b0)的弦，A(x1, y) B(x2, Ni), 弦中點(diǎn)M(x, y).則弦長(zhǎng)l=W + k2|x1 -x2| = pk|y1y2|(其中k為直線AB的斜 率)；直線AB的斜率kAB =蹙0.a y0五、特殊曲線.等軸雙曲線(1)定義：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸 長(zhǎng)相等的雙曲線叫作等軸雙曲線.(2)性質(zhì)：a=b;e=2;漸近線互相垂直；等軸雙曲線 上任意一點(diǎn)

18、到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng).共鈍雙曲線(1)定義：如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線的 虛軸和實(shí)軸，那么這兩條雙曲線互為共鈍雙曲線.(2)性質(zhì)：它們有共同的漸近線；它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓； 它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于 1.六、求橢圓、雙曲線離心率的方法(1)定義法：直接求出a, c的值來(lái)解e,通過(guò)已知條件列方程， 解出a, c的值.(2)解方程法：由已知條件得出關(guān)于 a, c的二元齊次方程，然后 轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解.(3)通過(guò)特殊值或特殊位置求離心率.此方法多用于選擇題和填 空題.(4)求離心率的最值(或范圍)，往往借助圖形的性質(zhì)、曲線的范圍、 正余弦函

19、數(shù)的有界性、基本不等式等來(lái)構(gòu)造關(guān)于 a, b, c的不等式， 從而達(dá)到求解的目的.自測(cè)自評(píng).、.一 x2 v211 . 2019北京卷已知橢圓了 +點(diǎn)=1(ab0)的離心率為2，則 ()A . a2= 2b2B. 3a2 = 4b2C. a=2bD. 3a=4b解析：由題意得，：=2，：c = 4，又a2 = b2 + c2,a2 b2 1 b2 3 一 一 a = 4，U = 4，. bnSa2.故選 B.答案：Bx22. 2019全國(guó)卷出雙曲線C:-j=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|PO|=|PF|,則 PFO的面積為()R盟22V2D. 3V2解析：不妨設(shè)點(diǎn)P

20、在第一象限，根據(jù)題意可知 c2=6,所以|OF|=乖.又tan/POF = b=乎，所以等腰三角形POF的高h(yuǎn)=6x = a 222學(xué),所以.。fo = 2X斤蕓乎.答案：A3. 2018全國(guó)卷I 已知雙曲線C: .y2=1, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為 M, N. TOC o 1-5 h z 若4OMN為直角三角形，則|MN|=()A 3A.B. 3C. 2 3D. 4解析：因?yàn)殡p曲線X2y2=1的漸近線方程為y=fx,所以/3 、一， ，MON = 60不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線與直線y= x交于點(diǎn)M,由4OMN3為直角三角形，不妨設(shè)/ OMN = 90,

21、則/ MFO=60,又直線 MN 過(guò)點(diǎn)F(2,0),所以直線MN的方程為y = - V3(x 2),y=- V3 x-2 , 由V 3 x，3/口2，b33寸得由 所以M；, I ,所以|OM|y= 2，二勺 |2+ 坐2 =小，所以 |MN|=/3|OM|=3.答案：Bx2 v24. 2019洛陽(yáng)統(tǒng)考已知雙曲線孑一Vi=1(a0, b0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,點(diǎn)P(2, 3)在雙曲線上，且|PFi|, |FiF2|, |PF2|成 等差數(shù)列，則該雙曲線的方程為()A . x2-v2=1B.y y- = 123C. x2-y-= 1D.，y=13IO 4解析：通解：肝小|F1F2|,

22、 |PF2|成等差數(shù)列，|PF1|十|PF2|=4c, 點(diǎn) P 位于第一象限,4c2+ 2c a 2 2c+ a4c 2c-a |PF1|PF2|=2a, .|PF1|=2c+a, |PF2|=2c a,.cos/ PF2F12 c 2a-=-,又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, V3)5 -sin TOC o 1-5 h z 2c a/3c 2a 03ZPF2F1 = , ，二 2+-2= 1,化簡(jiǎn)得(c 2a)2+ 3= (2c2ca 2c a 2ca a)2, c2a2=b2=1,又，看=1，：a2=1,雙曲線的方程為x2一 y2 = 1,故選 A.優(yōu)解：|PF1|, |F1F2|, |PF2|成等差

23、數(shù)列，|PF1|十|PF2|=4c, 點(diǎn)P 位于第一象限，.|PF1|PF2|=2a, .|PF1| = 2c+a, |PF2|=2ca,cos/ PF2F1 =4c2 + 2c a 2 2c+a4c 2c-a2 c 2a-=c-a,又點(diǎn)P的坐標(biāo)2c a3 c 2a 23為(2,他)，/開(kāi)丹=2-a， - 2 + Z =1，化間得 (c-2a)2+ 3= (2c a)2, c2 a2 = b2=1,此時(shí)可以排除選項(xiàng) B, C, D, 故選A.答案：Ax2 v22019石家莊一模已知橢圓al + v|=1(ab0),點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為下頂點(diǎn)，平行于FP的直線l交橢圓于A, B兩點(diǎn)，且AB11

24、a，2的中點(diǎn)為M 1, 2 ,則橢圓的離心率為()bD.解析：:FP的斜率為一b,FP/ l, .直線l的斜率為一b.設(shè)A(xi, ccX1 y122X1X2T2T2a a 3+b2=1,y。，B(X2, y2),由 x2o九占1b2 X1+X2,一，、，AB 的中點(diǎn)為 M 1, a y1 + y2b2 + c2= 2bc,b= c2b2a2， .a2 = 2bc,B.b=c, .a = /2c, 橢圓的離心率為 孝，故選答案：BX2 y2，2019鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)二已知雙曲線b2=1(a0, b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若雙曲線上存在點(diǎn)P使IM鬻產(chǎn)則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(A.3

25、 172，3 十后2-3 +幣B. (1,2)U 2,C. 1,3+ 72D. (1,2)U 2,3 十折sin / PF1F2 2a解析：通解：因?yàn)榕枘甓所以點(diǎn)P不可能在雙曲線的 左、右兩個(gè)頂點(diǎn)處，（1）當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線白右支上（不包括雙曲線的右頂點(diǎn)）時(shí), 根據(jù)雙曲線的定義，得|PF1| |PF2|=2a,因?yàn)閟in/PFF2 2a=一sin/ PF2F1所以由正弦定理得解得1PF1戶(hù)居,因?yàn)閟in/PFF2 2a=sin/ PF2F1|PFrc 4a21PF2|=Ua,所以c 2a0,所以e2.2ac4 a2在PF1F2 中，|PF1|十|PF2|FF2|,即+ 2c,整理 c 2a c2

26、a/日 22 寸.23歷3 + V17得 2a2+3acc20,所以 e2 3e20,解得2e 2 33 +行綜上，2e0,所以e|2|,即/+亳2C,整理1 c 3 一，得 2a2ac+ c20,所以 e2- e+ 20,又 e-g 2 + |0 怛成立，由 e 1,所以 1e 2.綜上所述，該雙曲線的離心率e的取值范圍為（1,2）U2,3+ 172優(yōu)解：因?yàn)閟in/ PF1F2sin/PF2Fi2ac，所以點(diǎn)P不可能在雙曲線的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)處，（1）當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線白右支上（不包括雙曲線的右頂點(diǎn)）時(shí)，2/。=2 e_ 1 + 1 ,所以 e? 3ec3 + V172e2, asinZ PF1

27、F2|PF2|PF2|PF2|一， 2a /因?yàn)?|PF2|ca,所以 e 2. + 1c c 3 1731720,解得一2一e一寸一，所以當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線白左支上（不包括雙曲線的左頂點(diǎn)）時(shí)，e=C=2x-差匕2x鼾2x -2莓* = 2 1 磊 a + c,所以 e2 1-aq =2 1，所以 e2-e+一 1 c 320,又 e-22 + 20怛成立，e1,所以 1e0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,則該雙曲線的漸近線方程是 .解析：因?yàn)殡p曲線x2- 5=1（b0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,所以9倍=1, 得b=爽，所以該雙曲線的漸近線方程是 y= *x= mx.答案：y=.2xx2 y22019全國(guó)卷田設(shè)F1

28、, F2為橢圓C:而十方=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若 MF1F2為等腰三角形，則 M的坐 標(biāo)為.解析：不妨令Fi, F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，根據(jù)題意可 知c= 36-20 = 4.因?yàn)?MF1F2為等腰三角形，所以易知|FiM| = 2c =8,所以 |F2M|=2a 8=4.設(shè) M(x,x2 y2.十 = 136 20則 |FiM|2= x + 42 + y2 = 64,x0,y0,y),x= 3,得y= 15,所以M的坐標(biāo)為（3,機(jī)）.9. 2019全國(guó)卷I 已知雙曲線_ x2 y2C: b2=1(a0, b0)的左、答案：（3,i5）右焦點(diǎn)分別為Fi, F2,過(guò)F1

29、的直線與C的兩條漸近線分別交于A, B兩點(diǎn).若F1A = AB, FB = 0,則C的離心率為解析：通解：因?yàn)橛?= 0,所以FiB F2B,如圖.所以 |OFi| = |OB|,所以/ BFiO=/FiBO, 所以/ BOF2=2/BFiO.因?yàn)镕iA = AB,所以點(diǎn)A為FiB的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為FiF2的中點(diǎn)，所以O(shè)A/BF2,所以FiBXOA,因?yàn)橹本€OA, OB為雙曲線C的兩 ab.條漸近線，所以 tan/ BFiO =工 tan/BOF2 = ：.因?yàn)?tan/BOF2=tan（2 baab 2Xb/BFiO),所以b=所以 b2= 3a2,所以 c2a2 = 3a2,即 2a =a

30、1-b2c,所以雙曲線的離心率e= |=2.優(yōu)解：因?yàn)镕lBF2fe=0,所以 FiBF2B,在 RtFiBF2 中，|OB| = |OF2|,所以/ 0BF2=/OF2B,所以A為FiB的中點(diǎn)，所以O(shè)A/ F2B,所以/ FiOA=/OF2B.又/ FiOA=/BOF2,所以 OBF2 為等 邊三角形.由F2(c,0)可得Bc, 乂1c ,因?yàn)辄c(diǎn)B在直線y=gx上，所22a以乎c= bc，所以b=$，所以e=、不! =2.2 a 2 aa答案：2,.一一 x2 y210. 2019浙江卷已知橢圓3十七=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在橢 9 5圓上且在x軸的上方.若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|O

31、F|為 半徑的圓上，則直線PF的斜率是.解析：通解：依題意，設(shè)點(diǎn)P(m, n)(n0),由題意知F( 2,0),所以線段FP的中點(diǎn)M二m，n在圓x2+y2 = 4上，所以二2tm 2+ n2=4,又點(diǎn)P(m, n)在橢圓x+y = 1上，所以m+n=1,所以 29 5954m2 36m63=0,所以 m= 2或 mM舍去)，n= 25 所以群15八V-0= V15.22優(yōu)解：如圖，取PF的中點(diǎn)M,連接OM,由題意知|OM|=|OF| =2,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為Fi,連接PFi,在APFFi中，OM為中位線， 所以|PFi|=4,由橢圓的定義知|PF|十|PFi| = 6,所以|PF| = 2.因?yàn)?/p>

32、M 為PF的中點(diǎn)，所以|MF|=1.在等腰三角形OMF中，過(guò)O作OH，MF于點(diǎn)H,所以QH|=22 2 2 = 25,所以 kpF = tanZHFO=-1p2= 15.答案：,15調(diào)研三拋物線備考工具.拋物線的定義平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線1(1不過(guò)F)的距離相等的點(diǎn)的軌 跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線1叫做拋物線的準(zhǔn)線.拋物線定義的理解拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.如果問(wèn)題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那 么用拋物線定義就能解決問(wèn)題.3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方 程y

33、2 =2px(p0)y2=2px(p0)x2=2py(p0)x2=一2py(p0)圖形心XXTTv 1頂點(diǎn)(0,0)1對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸焦點(diǎn)Fp, 0F -2，0_ pF 0, 2衛(wèi)F0, -2準(zhǔn)線-2x=py=-2y=2.拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)焦點(diǎn)弦：線段AB為拋物線y2 = 2px(p0)的焦點(diǎn)弦，A(xi, yi),B(x2, y2),則P2(1)xiX2= 4；(2)yiy2= 一 p2;(3)焦半徑 |AF|=xi+p(4)弦長(zhǎng)l = xi+x2 + p.當(dāng)弦AB，x軸時(shí)，弦長(zhǎng)最短為2p,此時(shí)的 弦又叫通徑；弦長(zhǎng)1=潦譯(0為AB的傾斜角).直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線1與圓錐曲線C的位

34、置關(guān)系時(shí)，通常將直線1的方程Ax + By+ C=0(A, B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x, y) = 0, 消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程.Ax+ By+ C = 0,即消去y得ax2+ bx+ c= 0.F x, y = 0,(1)當(dāng)a#0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2+bx+ c= 0的判別式為,則 20?直線與圓錐曲線C相交；= 0?直線與圓錐曲線C相切；0)的焦點(diǎn)為13 一F,點(diǎn) Px。，2 在 C上，且 |PF|=4,則 p=()A-4c.3D. 1解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為y=1因?yàn)镻x0,；在拋物線上， 所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d = 2+p= |PF|=

35、3,則p = 2，故選B.答案：Bx2 y22019全國(guó)卷H若拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓式+工3P P TOC o 1-5 h z =1的一個(gè)焦點(diǎn)，則P=()A. 2B. 3C. 4D. 8解析：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 p, 0 ,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(卻加，0),所以2 = 癢，解得p=8,故選D.答案：D2019天津卷已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.若l , tt x2 y2與雙曲線$ 1(a0, b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn) A和點(diǎn)B,且 TOC o 1-5 h z |AB| = 4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為()A. 2B, 3C. 2dJ5解析：由

36、題意，可得F(1,0),直線l的方程為x= 1,雙曲線的漸近線方程為y= Bx.將x=-1代入y=且，得y= 所以點(diǎn)A, aaaB的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均為b.由|AB|=4|OF|可得2b = 4,即b=2a, b2 =4a2,故雙曲線的離心率e=c=彳。=5.aa答案：D2019江西五校聯(lián)考過(guò)拋物線C: y2=2px（p0）的焦點(diǎn)F且傾 斜角為銳角的直線l與C交于A, B兩點(diǎn)，過(guò)線段AB的中點(diǎn)N且垂 直于l的直線與C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M,若|MN|=|AB|,則直線l的傾 斜角為（） TOC o 1-5 h z A. 15B. 30C. 45D. 60解析：分別過(guò)A, B, N作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂

37、足分別為A,1B , N,由拋物線的定義知 |AF|=|AA |, |BF|=|BB |, |NN尸,11.(|AA |+|BB |) = 2|AB|,因?yàn)?|MN|=|AB|,所以 |NN |=2|MN|,所以 /MNN =60,即直線MN的傾斜角為120,又直線MN與直線l 垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30,故選B.答案：B5.2019廣東六校聯(lián)考拋物線y= 2x2上有一動(dòng)弦AB,中點(diǎn)為M, 且弦AB的長(zhǎng)為3,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值為（）-3C.2D. 1解析：通解：由題意設(shè)A(X1, y1), B(X2, y2), M(X0, y0),直線y= kx+ b,AB的方程

38、為y=kx+ b.由題意知y0Ab0.聯(lián)立得& 整理得 2x2 kx b= 0, = k2 + 8b0, Xi+x2=, XiX2= 2，則 |AB|= 1 + k2 fJf + Zb,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)丫0= /=x2+x2=f + b.因?yàn)橄褹B的長(zhǎng) 為 3,所以，1與 +2b=3,即(1+k2) ,+ 2b =9,故(1+4y 4b)(y0+b) = 9,即(1+4y4b)(4y0+4b) = 36.由基本不等式得，(1 + 4y0 4b) + (4y0 + 4b) A21 1 + 4y0 4b 4y0+ 4b =12,當(dāng)且僅當(dāng)1 b=8,11 y0=g11時(shí)取等號(hào)，即1 + 8y0A 12,

39、 y04x，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小811值為8.故選A.優(yōu)解：由題意得，焦點(diǎn)F 0, 1 ,準(zhǔn)線y= 1.設(shè)A(x1, y)，B(x2, 88i 111111y2), M(X0, y),則 yo=2(y1+y2)=2 丫1+8+丫2 + 8-4 =2(|AF|+|BF|) 1 11 11 t8421AB|8=萬(wàn).(當(dāng)且僅當(dāng)A, B, F二點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)).答案：A2019安徽示范高中聯(lián)考設(shè)拋物線C: y2= 2Px(p0)的焦點(diǎn)為 F,點(diǎn)M在C上，|MF| = 5,若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),則C的 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A. 4或 8B. 2 或 4C. 2或 8D. 4 或 16解析：

40、拋物線C的方程為y2= 2Px(p0),.Fp, 0,準(zhǔn)線方程為x=，.如圖，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K, 則|KF|=p.過(guò)M作MP平行于x軸交準(zhǔn)線于P,則|MP|=|MF|=5.取 MF的中點(diǎn)為N,過(guò)N作NQ平行于x軸交準(zhǔn)線于Q,交y軸于A, 則|NQ| = |MP|2|FK|=5+p, |AN|=|NQ|-p=|=|MFJ,，以 MF 為直 徑的圓與y軸相切，A為切點(diǎn)，即A(0,2),.42，2 ,故 M 5-2, 4 , .16 = 2p5 p , p210p+16=0,.p=2 或 p=8,故選 C.答案：C7. 2019湖南四校調(diào)研已知F是拋物線C: y2 = 8x的焦點(diǎn)，M 是C上一

41、點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=()B. 6A. 4C. 8D. 10優(yōu)解：設(shè)N(0, a),由題意知F(2,0),則故選B.解析：通解：如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn) 線l: x= 2與x軸交于點(diǎn)F,作MBH 于點(diǎn)B, NAH 于點(diǎn)A, 則|AN|=2, |FF |=4.在直角梯形ANFF中，由中位線定理，知|BM| = |AN|+2FF 1 =3.由拋物線的定義，知|MF|=|MB|=3,結(jié)合題意，拋物線上，所以j=8,解得a=狙,所以N(0,4.2),所以 |FN|M 1,0 2+ 0必 2 = 6,故選 B.答案：B2019山西第一次聯(lián)考已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F, 過(guò)點(diǎn)F的直線與