高考數學二輪三角恒等變換與解三角形

1、第2講三角色等變換與解三角形高考定位 1.三角函數的化簡與求值是高考的命題熱點， 其中同角三角函數的基本關系、誘導公式是解決計算問題的工具，三角包等變換是利用三角恒等式（兩 角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）進行變換，“角”的變換是三角恒等 變換的核心；2.正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內容，主要 考查邊、角、面積的計算及有關的范圍問題明考向也要點真題感悟考點整合I真題感悟321.(2016 全國田卷)若 tan a =4,則 cos a+2sin 2 a =()A.65b.45C.116D.25案3- 4-a. A2.2cos a +2sin 2 a則 cos a +

2、2sin 2 a = co9 a + sin2 a1 + 4tan a 64=2=1+tan 225.(2016山東卷)在AABC中，角A, B, C的對邊分別是a, b, c,已知b= c,a2=2b2(1 - sin A),則 A=()冗冗冗A1 冗B.JC.7口.石解析因為 b=c, a2=2b2(1 sin A),b2 + c2 - a2 2b22b2 (1-sin A)所以 cos A=2bc =2b2，則 cos A= sin A.冗在 ABC 中，A=.答案 C3.(2017全國I卷)AABC的內角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知sin B+sin A(sin C-

3、cos C) = 0, a = 2, c=也，則 C=()冗A.127tB石7t7tC.JD.萬解析 由題意得 sin(A+C) + sin A(sin C - cos C) = 0,. sin Acos C + cos Asin C + sin Asin C sin Acos C= 0,則 sin C(sin A+cos A) =2sin Csin冗A+4 J=0,一.一一 .因為sin C刃，所以sin a+ 4)=0,又因為AC （0,冗），所以3兀 冗，所以A=彳.由正弦定理sin A-sin C彳曰一八2行 3Jsin Csin4i11 冗則 sin C = 2，得 C=百.答案 B

4、4.（2017浙江卷）已知 ABC, AB=AC=4, BC = 2.點D為AB延長線上一點，BD=2,連接CD,則4BDC的面積是,cos/ BDC =由題意知 AB=AC=4, BC=BD=2,15. 151因為 cos/DBC = - cosZABC= - 4=BD，BC2 CD2 8-CD22BD BC所以8CD= . 10.由余弦定理,4+104 近得 8s/BDC = 2X2X痂=4 .104解析 依題意作出圖形，如圖所示, 則 sin/DBC = sinZABC.,一 15, 一 1則 sinZABC=丁，cos/ ABC=一，1/ 一八1 C C所以 Szbdc = BC BD

5、sin/DBC = 2X2X2X考點整合1.三角函數公式(1)同角關系：Sin2 a + COS2 asin a=1，COS = an a .(2)誘導公式：對于“ a , kCZ的三角函數值”與“ a角的三角函數值”的關系可按下面口訣記憶：奇變偶不變，符號看象限(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：sin(a3 = sin a cos B cos a sin 0 ； cos(a份= cos a cos B ?sin a sin B；tan a tan 0tan(a3 = i?tan a tan y(4)二倍角公式：sin 2a =2sin a cos a, cos 2a =cos2 a s

6、in2 a = 2coJ a 1 = 12sin a .(5)輔助角公式：asin x+bcos x=7a2+ b2sin(x+機 其中 tan 4 =.2.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式(1)正弦定理在4ABC中，號MlbMq7MZWR為4ABC的外接圓半徑); sin A sin B sin Ca變形：a=2Rsin A, sin A=tz, 2Ra ： b ： c= sin A ： sin B ： sin C 等.(2)余弦定理在 ABC 中，a2= b2 + c22bccos A;十m 22八 八 b2 + c2a2變形：b+ca=2bccos A, cos A= o.2bc(3)

7、三角形面積公式111$ abc= 2absin C = bcsin A=2acsin B.前點聚焦題型突破I.研熱點.析再度熱點一三角恒等變換及應用【例U 冗(2015 重慶卷)若 tan a =2tan ,5cos則sinA.1B.2C.3D.4(2)如圖,圓O與x軸的正半軸的交點為A,點O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為周,/ AOC= a若 |BC|=1 ,貝U小coJ-2-sin。, cosy值為cos解析sinsinsin7t冗a一三5Jsin7ta5sin7tsin acos5+cos asin =7t7tsin acos5 cos asin-tan a十1冗tan- 5tan

8、 a-1冗tan53兀70=()C,冗oc + T5，冗a - V5)2+1=3.2-1由題意得|OC|=|OB|=|BC|=1,從而AOBC為等邊三角形，所以sinZAOB=九sin o- a_ _5_= 13,又因為，3cos21 + cos .3 :sin a 挹2 2=-gsin*-3 a 2 cos a九sin 5 = 13.,、5答案(1)C (2)13 13探究提高1.三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡求值.2.解決條件求值問題的三個關注點(1)分析已知角和未知角之間的關系，正確地用已知角來表示未知角.(2)正確地運用有關公式將所求角的三角函數值用已知角的三角函數

9、值來表示.(3)求解三角函數中給值求角的問題時，要根據已知求這個角的某種三角函數值， 然后結合角的取值范圍，求出角的大小.【訓練11 (1)(2017北京卷)在平面直角坐標系xOy中，角a與角B均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.若sin a =1,則cos(a =.3.、一 一，114/3兀 冗(2)(2017石豕莊質檢)右 cos(2a 9 = 14，sin(a 2f)= 7 ， 0vBZa/，則a+ B的值為.解析 (1)a與B的終邊關于y軸對稱，則a+ A九+2即，kCZ,0=兀a+ 2k兀，k Z. COs(a = COs( a 九+ a2k 九)2 、cos 20c (1 2s

10、in a)1712X9 尸7.一 一 11 1九一 一(2)因為 cos(2a 3 = 14且42口一 出冗,門、15所以 sin(2a 9= 14 .4 ；3因為 sin(a 29= 77t7t且4a 2壇1 所以 COs(a 2 A7.所以 COs(a+ = COs(2 a (a 2 用= cos(2a/ cos(a 2 + sin(2a 3sin( a 2311 1 5,3 4 3 114 7142-7t因為4a+次彳，所以一7 冗答案(1) 7 (2)93熱點二正弦定理與余弦定理命題角度1利用正（余）弦定理進行邊角計算【例2 1 （2017武漢二模）在 ABC中，a, b, c分別是角

11、A, B, C的對邊,且 2cos Acos C(tan Atan C 1) = 1.求B的大??；（2）若a+c= 竽，b = 求 ABC的面積.解 (1)由 2cos Acos C(tan Atan C1)=1,得 2(sin Asin C cos Acos C)= 1,即1 cos(A+C) = 2,1 . cos B= cos(A+C) = 2,.一 一 九又 0B2ac ac,所以ac&3(當且僅當a=c=3時取等號).所以 SaABc=gacsin B&x3Xsin-= .2234故 ABC面積的最大值為 邛.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的邊長、角、面積等基

12、本計算，或將兩個定理與三角包等變換相結合綜合解三角形2.關于解三角形問題，一般要用到三角形的內角和定理， 正、余弦定理及有關三 角形的性質，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統一”，即“統 一角、統一函數、統一結構”，這是使問題獲得解決的突破口 .【訓練2】（2017全國II卷）AABC的內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知 sin(A+C)=8sin2|.(1)求 cos B;(2)若 a+c=6, 4ABC面積為 2,求 b.解 （1）由題設及 A+B+C=兀，得 sin B=8sin22,故 sin B = 4(1 cos B).上式兩邊平方，整理得17co$B

13、 32cos B+15=0,15解得 cos B=1(舍去)，cos B = 17.由cos B =號 sin B = 17,2acsin B=ac.17又 $ abc = 2,則 ac=萬.由余弦定理及a+c=6得b2= a2 + c22accos B = (a + c)2 2ac(1 + cos B)= 362X冷X ;1+1|戶4.所以b = 2.命題角度2應用正、余弦定理解決實際問題【例2 2（2017衡水質檢）某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型” 氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在 C處（點C在水平地面下方，O為CH與水平 地面ABO的交點）進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀

14、察點A, B兩地相距100米，/ BAC= 60 ,其中A到C的距離比B到C的距離遠40米.A地測得 該儀器在C處的俯角為/ OAC=15 , A地測得最高點H的仰角為/ HAO= 30。，則該儀器的垂直彈射高度CH為（）A.210（衽 + 啦）米B.140加米C.210 啦米D.20（V6 也）米解析 由題意，設AC = x米，則BC=（x 40）米，在4ABC內，由余弦定理:BC2= BA2+CA2- 2BA CA cos/BAC,即（x 40）2=x2+ 10 000 100 x,解得 x=420 米.在AACH 中，AC = 420 米，/CAH = 30 由5 必5 , CHA=90

15、 -30 =60 ,由正弦定理:CH ACsin/CAH sin/AHC14076（米）.sinZCAH 可得CH=AC :sinZAHC答案 B探究提高 1.實際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形， 這時 需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要求的解.【訓練3】 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 A處時測得公 路北側一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此

16、山頂 在西偏北75的方向上，仰角為30 ,則此山的高度CD =m.解析45.由題意，在 4ABC 中，/BAC = 30 , ABC =180 -75 W05 ,迎 ACB又 AB = 600 m,故由正弦定理得600 BC=sin 45 sin 30解得 BC = 300/2(m). 在 Rt9CD 中，CD=BCtan 30 T00也x= 100/6(m).3答案 100.6熱點三解三角形與三角函數的交匯問題【例 3】(2017 長沙質檢)已知函數 f(x)= 2ysin xcos x 2cos2x1, xC R.(1)求函數f(x)的最小正周期和最小值；(2)在4ABC 中，A, B,

17、C 的對邊分別為 a, b, c,已知 c= 3, f(C)=0, sin B=2sin A,求 a, b 的值.解 (1)f(x)= */3sin 2x- 2co$x 1=-/3sin 2x (cos 2x+ 1)1 =5sin 2x cos 2x 2c. r c . = 2sin 2x & !- 2,6一， 一一，2九 一，一所以函數f(x)的最小正周期T=空-=兀，最小值為一4.(2)因為 f(C) = 2sin 2C-6 b2 = 0, Q所以 sinC 9 = 1,又 CC(0,九)，Ai 九111 一一冗 冗 ,口 九知一至2C 至互九，所以2c 8 =萬，行。=耳.因為sin B

18、 = 2sin A,由正弦定理得b = 2a,由余弦定理得，c2= a2+b22abcos C = a2 + 4a22a2=3a2,又 c=J3,所以 a= 1, b=2.探究提高1.解三角形與三角函數的綜合題，其中，解決與三角包等變換有關的 問題，優(yōu)先考慮角與角之間的關系；解決與三角形有關的問題，優(yōu)先考慮正弦、2.求解該類問題，易忽視C為三角形內角，未注明C的限制條件導致產生錯解.I 兀.x + g + m(m R),當x 0, 2時，f(x)的最小值為1.(1)求實數m的值;(2)在4ABC 中，已知 f(C)=1, AC = 4,延長 AB 至 D,使 BD=BC,且 AD = 5, 求

19、4ACD的面積.解(1)= f(x) = 4cos xsin,+ 6 J4cosx sin xcosg + cos xsin g + m = /3sin 2x+ 2coSx+ m=V3sin 2x+ cos 2x+ 1 + m2sin 2x+-6- + m+1.卜 冗xC 0,c 九】a行2印哈+互品一， f(x)min 1 1+m+1,解得 m= - 1.,冗! L .由(1)知 f(x) = 2sin 2x+ - 且 f(C) = 1,-2sinC+i廣 1， , C (0,兀)，得 2C+ -.2C +/=等，解得C =?如圖，設 BD = BC = x, WJ AB = 5 x,.、-

20、1 42+x2 (5 x)2X4Xx在AACB中，由余弦定理，得 cos C = 2 =二 cos A=2X4X J5-2)= 14，得 sin A=11 coS2 A=3.2解3 得 x=2.c 113.3 15. 3Saacd = 2AC ADsin A=2*5X4X14= 7 .日細總結思維升華I探規(guī)律”防法崔.：.對于三角函數的求值，需關注：（1）尋求角與角關系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應用公式；注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用；（3）對于條件求值問題，要認真尋找條件和結論的關系，尋找解題的突破口，對 于很難入手的問題，可利用分析法.三角形中判

21、斷邊、角關系的具體方法：（1）通過正弦定理實施邊角轉換；（2）通過余弦定理實施邊角轉換；（3）通過三角變 換找出角之間的關系；（4）通過三角函數值符號的判斷以及正、余弦函數的有界 性進行討論；（5）若涉及兩個（或兩個以上）三角形，這時需作出這些三角形，先解 條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內角和 定理，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程 （組）求解.解答與三角形面積有關的問題時，如已知某一內角的大小或三角函數值，就選一 1擇S= 2absin C來求面積，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的邊或角 .專題小練對接高考I求落實迎高考、選擇題， 一 一，. 一，

22、 九 一一 1 一1.（2016全國田卷）在 ABC中，B = Z，BC邊上的圖等于&BC,則cos A=（）A.喑3.10D10 TOC o 1-5 h z 一 冗12解析 設BC邊上的圖AD父BC于點D,由題意B=-, BD=,BC, DC=&BC,433一.-1 + 2-, 同tan/BAD=1, tan/CAD = 2, tan/BAC = 3,所以 cos/BAC= .1-1X210答案 C2.（2017德州二模）已知cos民=5，cos(a 3=書2,且 0VBA九A.12_九B6C5解析由7tcosa=5，00萬,得sin45,又 cos( a一)冗,0Ba2，即20. 2D.3

23、 3解析c2=(ab)2 + 6,即 c2=a2+b22ab+ 6.冗C=w，由余弦定理得3c2 = a2+ b2 ab,由和得ab= 6,S zABC = absin C = 2*6X3 3；3答案 C4.（2017南昌模擬）已知cos-x的值為（1A.一91B.95C.3解析cos2x-5兀一3；. 2+ sincosGx 2 小 sin22=1 2cos7t.2P 1 cos3)2=2 3cos兀x-3,J53.答案 C5.（2017山東卷）在AABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b,c.若AABC為銳角三角形，且滿足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C +

24、cos A sin C,則下列等式成立的是（）A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A解析 等式右邊=2sin Acos C + cos Asin C = sin Acos C+sin(A+C) = sinAcos C + sin B.等式左邊=2sin Bcos C+sin B,則 2sin Bcos C+ sin B = sin Acos C + sin B,因為角C為銳角三角形的內角，所以cos C不為0.所以2sin B = sin A,根據正弦定理，得 a= 2b.答案 A、填空題6.（2017全國II卷）4ABC的內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,若2bcos

25、B = acos C + ccos A,貝U B=解析由正弦定理得 2sin Bcos B = sin Acos C + sin Ccos A= sin（A+C） = sin B. .2sin Bcos B= sin B,1 一 九又 sin BQ . cos B=2，故 B = .I ,7t,則 sin + a 617.（2017池州模擬）已知sinl a尸/0a V3 3/ 3l解析1=3, cos九sin 13冗 冗冗又 0Voe2，.,-/2ac,.-a2 + c2 b2 也 cos B = -2ac -= 2，從而 B =三、解答題.(2017天津卷)在AABC中，內角A, B, C

26、所對的邊分別為a, b, c.已知ab,a = 5,3c= 6, sin B=b ，5(1)求b和sin A的值;(2)求 sin 2A+解 (1)在AABC中，因為ab,一， _ 3 _ 4故由 s1n B = 5,可行 8s B = g.由已知及余弦定理，有 b2 = a2+c2 2accos B=13,所以b = J13.由正弦定理_a_b_ - = 一sin A sin B得 sin A=as* =臂. b 13所以,b的值為y13, sin A的值為3 ,1313由(1)&ac,彳# cos A=2 ,1313 12所以 sin 2A=2sin Acos A=,137tcos 2A=12sin2A= 葛 13故 singA+ -4 = sin 2Acos4- + cos 2Asin.設 f(x) = sin xcos x cos2