高考數(shù)學中地內切球和外接球問題附習題

1、格式高考數(shù)學中的內切球和外接球問題一、 有關外接球的問題如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點.考查學生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要 運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑之間的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用一、直接法（公式法） 1、求正方體的外接球的有關問題例1若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為. 27工.例2 一個正方體的各頂點均在同一

2、球的球面上，若該正方體的表面積為24,則該球的體積為 . 43.2、求長方體的外接球的有關問題例3 一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1,2,3 ,則此球的表面積為 .14例4、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為 4,體積為16,則這個球的表面積為（）.CA. 16 B. 20 C. 24D. 32專業(yè)資料格式3.求多面體的外接球的有關問題 例5. 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為9 ,底面周8 TOC o 1-5 h z 長為3,則這個球的體積為解設正六棱柱的底面邊長為 x，高為h,則有6x

3、3,1一 _ x r-29326 x h, h 3. 843.外2，正六棱柱的底闔圓的半徑接球的半徑R 2 d .體積:r2一 一1一r ,球心到底面的距離d4V 3 .RV33小結本題是運用公式222R r d求球的半徑的）該公式是求球的半徑的常用公式:、構造法（補形法）1、構造正方體.9.F _ JL = 71例5若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為3 ,則其外接球的表面積是例3 若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為 3 ,則其外接球的表面積是故其外接球的表面積S 4 R2 9小結：一般地，若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c ,則就可以將這個三棱錐補成一個長方

4、體，于是長方體的專業(yè)資料WORD格式體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設其外接球的半徑為R ,專業(yè)資料格式尸222則有2R a b c出現(xiàn)“墻角”結構利用補形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為體對角線長為l a-a 2 b2 c2即 R = -2b2 c2,幾何體的外接球直徑為2R體對角線長l練習：在四面體知中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為1, v6,3 ,若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。球的表面積為S4162R例6 一個四面體的所有棱長都為四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（A. 3B. 4C.D. 6A.（如圖2）例7在

5、等腰皮形ABCD中，AB=2DC=2 ,DAB=60中點，將 ADE與 BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P,則三棱錐P-DCE的外接球的仍積為（fV兀所以專業(yè)資料4 3A. 276B. 26C. 86D.24解析：（如圖3）因為 AE=EB=DC=10, DAB= CBE= DEA=60 ）,即三棱錐P-DCE為正四面體，至此,WORD格式這與例6就完全相同了）故選 C.專業(yè)資料格式.一.一 .r八平面八r八例8 （2已知球O的面上四點 A、B、C、D, DA A ABC , AB工BC ,DA=AB=BC= J3,則球O的體積等于解析：本題同樣用一般方法時，需要找出球心，求出

6、球的半徑.而利用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于DA工平面ABC ,AB BC ,聯(lián)想長方體中的相應線段關系，構造如圖4所示的長方體，又因為DA=AB=BC=，則此長方體為正方體，所以CD長即為外接球V9的直徑，利用直角三角形解出CD=3 .故球0的體積等于x .（如圖4）D2、例9 （2008年安徽高考題）已知點 A、B、C、D在同一個球面上，A 產面 ，BC DC ,若AB =6, AC=2 /3，池=8 ,則球的體積是 B BCD解析：首先可聯(lián)想到例8,構造下面的長方體，于是AD為球的直徑，O為球心，OB=OC=4為半徑，要求 B、C兩點間的球面距離，只要求出BOC即可，在RtABC

7、中，求出BC =4,所以-BO ,直 C=60 -714B、C兩點間的球面距離是3 .（如圖5）專業(yè)資料格式本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。三.多面體幾何性質法例2 已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積dWJflFMF-JIJlJIM為16,則這個球的表面積是A. 16B. 20C.24D.32 .選 C.小結本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質來求解的.DCOiAB圖3四.尋求軸截面圓半徑法 例4 正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側棱長都為S、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為解 設正四棱錐的底面中心為 Oi ,外接球

8、的球心為O,如圖1所示.，由球的截面的性質，可得OO專業(yè)資料平面ABCDWORD格式專業(yè)資料格式一 C一平面 ACCCI 、,又S01ABCD , 球心O必在SO所在的直線上ikSC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就2 2 2SC AC .是外接球的半徑.在 AASC 中）由 SA = SC = 7 2, AC =2）得SA4 .故V球3“ASC AC AC為斜邊的RtAC12是外接圓的半徑，也是外接球的半徑小結 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該

9、方法的實質就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉化為平面幾何問題來研究.這種等價轉化的數(shù)學思想方法值得我們 學習.五.確定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB 4, BC3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角 B ACnABCD的外接球的體積為H125A. 1212591256125D.設矩形對角線的交點為0,則由矩形對角線互相平分，可知0A OB 0C 0D .，點0到四面體的四個頂點 A、B、C、D的距離相等，即點0為四面體的外接球的球心，如圖2所示.，外接球的半徑專業(yè)資料格式R =OA =52 .故V TOC o 1-5 h z 4125一二 3 R36.選C.出現(xiàn)

10、兩個垂直關系，利用直角三角形結論【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點。R4=/例耨125已和至棱聊四今廖離郡在球0的球面上，且, PB = 5，求球二所體極C 0解：7二 十 行且40?）AC2= PA2 +PC2 ,因為PAL PC 所以知所比上A45C所磔可得圖形為:RPAC 中斜邊為二在中斜邊為取斜邊的中點 =三在 RtA%。中 opoboc所以在幾何體中 1 月 C =,即為該四面體的外接球的球心所以該外接球的體積為【總結】斜邊一般為四面體中除了直角頂點以外的兩個點連線。4.（陜西理？ 6） 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上,其中底面的三個頂點在

11、該球的一個大圓上,則該正三棱錐的體積專業(yè)資料格式3V123 3 BA.4答案 B5.直三棱柱ABC A B C的各頂點都在同一球面上，若111AB AC AA1,BAC 120 ,則此球的表面積等于2解：在 ABC中AB AC 2 , BAC 120，可得 BC 2 3，由正弦定理 ，可得ABC外接圓半徑=r=2,設此圓圓心為O ,球而為二03在RT OBO中）易得球半徑R 5 7故此球的表面積為3.正三棱柱 ABC A B C內接于半徑為1114 R2 20 .2的球，若A, B兩點的球面距離柱的體積為答案 84.表面積為2的體積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上,71則此球r71A.

12、23【解析】此正八面體是每下面的邊長均為a的正三角形，所以由23a2 34a知，8,則此球的直徑為2，故選A。專業(yè)資料格式 TOC o 1-5 h z 6,已知正方體外接球的體積是32兀，那么正方體的棱長等于（）3一 2C 4 2A.2 2B. 2 oC，%一3一33V 4 3 D.3答案 D（2006山東卷） 正方體的內切球與其外接球的體積之比為（） 廠VVA. 1 ：3B, 1 ： 3C, 1 ： 3 3D. 1 ： 9答案 C（ 2008海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且9該六棱柱的體積為底面周長3,則選球的體積為8答案43

13、（2007天津理？ 12） 一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且 一個頂點上的三條棱的長別為2, 3,則此球的表面積為答案 14兀（2007全國 卿? 15） 一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm 的球面上。如果正四棱柱的底面冰:為cm,那么該棱柱的表面積為c m2.專業(yè)資料格式答案 2 4 22的半球內有一內接正六棱錐（ 2006遼寧） 如圖，半徑為P -ABCDEF ,則此正六棱錐的側面積是.答案 6 7棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個（遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學上學期第一次月考球面上）若過該球球心的一個截面如圖）則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是 答案 213.

14、 （2009 棗莊一模）71一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體2正血外接球的表眄積為MIfflB.C. 163D.以上都不對答案C7T14.設正方體的棱長為B.2 33,則它的外接球的表面積為（2 兀C. 4 兀 D. 43答案C專業(yè)資料20、人因為心里不快樂，才浪費，是一種補償作用21、我要你知道，在這個世界上總有一個人是等著你的，不管在什么時候，不管在什么地方，反正你知道，總有這么個人。22、回憶這東西若是有氣味的話，那就是樟腦的香，甜而穩(wěn)妥，像記得分明的塊樂，甜而悵惘，像忘卻了的憂愁。23、對于三十歲以后的人來說，十年八年不過是指縫間的事，而對于年輕人而言，三年五年就可以是一生一世

15、。24、一般的說來，活過半輩子的人，大都有一點真切的生活經驗，一點獨到的見解。他們從來沒想到把它寫下來，事過境遷，就此湮沒了格式25、男人做錯事，但是女人遠兜遠轉地計劃怎樣做錯事。女人不大想到未來一一同時也努力忘記她們的過去一一所以天曉得她們到底有什么可想的!26、男人憧憬著一個女人的身體的時候，就關心到她的靈魂，自己騙自己說是愛上了她的靈魂。惟有占領了她的身體之后，他才能夠忘記她的靈魂。27、要是真的自殺，死了倒也就完了，生命卻是比死更可怕的，生命可以無限制地發(fā)展下去，變的更壞，更壞，比當初想象中最不堪的境界還要不堪。28、太大的衣服另有一種特殊的誘惑性，走起路來，一波未平，一波又起，有人的

16、地方是人在顫抖，無人的地方是衣服在顫抖，虛虛實實，極其神秘。29、因為懂得，所以慈悲。30、這世上沒有一樣感情不是千瘡百孔的專業(yè)資料格式想要忘記一段感情，方法永遠只有一個：時間和新歡。要是時間和新歡也不能讓你忘記一段感情，原因只有一個：時間不夠長，新歡不瞰張小嫻面包樹上的女人 TOC o 1-5 h z 假如沒有遇上你，我會不會有另一種人生？不管有沒有結果，我還是寧愿與你相逢。張小嫻只是希望能有個人，在我說沒事的時候，知道我不是真的沒事；能有個人，在我強顏歡笑的時候，知道我不是真的開心。張小嫻有一些人，這輩子都不會在一起，但是有一種感覺卻可以藏在心里，守一輩子？ ？張小嫻愛情是一百年的孤獨，直到遇上那個矢志不渝的守護你的人，那一刻，所有苦澀的孤獨，都有了歸途張小嫻我終究是愛你的當你想念一個人的時候，盡情去想念吧，也許有一天，你再也不會如此想念他了。到了那一天，你會想念曾經那么想念一個人的滋味。當你愛一個人的時候，盡情去愛吧，也讓他