文科高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

1、-. z文科高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第一章 集合一定義集合是高中數(shù)學(xué)中最原始的不定義的概念，只給出描述性的說明。*些確定的且不同的對象集在一起就成為集合。組成集合的對象叫做元素。二集合的抽象表示形式用大寫字母A，B，C表示集合；用小寫字母a，b，c表示元素。三元素與集合的關(guān)系有屬于，不屬于關(guān)系兩種。元素a屬于集合A，記作；元素a不屬于集合A，記作。四幾種集合的命名有限集：含有有限個元素的集合；無限集：含有無限個元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然數(shù)集：N；正整數(shù)集：N*或N+；整數(shù)集：Z；有理數(shù)集：Q；實數(shù)集：R。五集合的表示方法(一)列舉法：把元素一一列舉在大括號的表示方法

2、，例如：a,b,c。注意：但凡以列舉法形式出現(xiàn)的集合，往往考察元素的互異性。(二)描述法：有以下兩種描述方式1代號描述：【例】方程的所有解組成的集合，可表示為*|*2-3*+2=0。*是集合中元素的代號，豎線也可以寫成冒號或者分號，豎線后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的條件。2文字描述：將說明元素性質(zhì)的一句話寫在大括號?！纠看笥?小于5的整數(shù)；描述法表示的集合一旦出現(xiàn)，首先需要分析元素的意義，也就說要判斷元素到底是什么。(三)韋恩圖法：用圖形表示集合定義了兩個集合之間的所有關(guān)系。1子集：如果屬于A的所有元素都屬于B，則A就叫做B的子集，記作：，如圖1-1所示。 圖1-1子集有兩種極限情

3、況：(1)當(dāng)A成為空集時，A仍為B的子集；(2)當(dāng)A和B相等時，A仍為B的子集。真子集：如果所有屬于A的元素都屬于B，而且中至少有一個元素不屬于A，則A叫做B的真子集，記作或。真子集也是子集，和子集的區(qū)別之處在于。對于同一個集合，其真子集的個數(shù)比子集少一個。(1)求子集或真子集的個數(shù)，由n各元素組成的集合，有2n個子集，有2n-1個真子集；(2)空集的考察：但凡提到一個集合是另一個集合的子集，作為子集的集合首先可以是空集，的等價形式主要有：。2交集：由兩個集合的公共元素組成的集合，叫做這兩個集合的交集，記作，讀作A交B，如圖1-2所示。圖1-2 圖1-3 圖1-43并集：由兩個集合所有元素組成

4、的集合，叫做這兩個集合的并集，記作，讀作A并B，如圖1-3所示。4補集：由所有不屬于的元素組成的集合，叫做在全集中的補集，記作，讀作A補，如圖1-4所示。德摩根公式 ：.(四)區(qū)間表示法：數(shù)軸上的一段數(shù)組成的集合可以用區(qū)間表示，區(qū)間分為開區(qū)間和閉區(qū)間，開區(qū)間用小括號表示，是大于或小于的意思；閉區(qū)間用中括號表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，2,3，(2,3，2，3第二章 函數(shù)一 映射與函數(shù)的根本概念(一) 映射A集合中的每個元素按照*種對應(yīng)法則在B集合中都能找到唯一的元素和它對應(yīng)，這種對應(yīng)關(guān)系叫做從A集合到B集合的映射。A中的元素叫做原象，B中的相應(yīng)元素叫做象。在A到B的映射中

5、，從A中元素到B中元素的對應(yīng)，可以多對一，不可以一對多。圖2-1是映射 圖2-2是一一映射 圖2-3不是映射()求映射(或一一映射)的個數(shù)，m個元素的集合到n個元素的集合的映射的個數(shù)是nm。()判斷是映射或不是映射：可以多對一，不可以一對多。(二) 函數(shù)的概念定義域到值域的映射叫做函數(shù)。如圖2-4。高中階段，函數(shù)用f(*)來表示：即*按照對應(yīng)法則f對應(yīng)的函數(shù)值為f(*)函數(shù)有解析式和圖像兩種具體的表示形式。偶爾也用表格表示函數(shù)。函數(shù)三要素：定義域A：*取值圍組成的集合。值域B：y取值圍組成的集合。對應(yīng)法則f：y與*的對應(yīng)關(guān)系。有解析式和圖像和映射三種表示形式函數(shù)與普通映射的區(qū)別在于：(1)兩個

6、集合必須是數(shù)集； (2)不能有剩余的象，即每個函數(shù)值y都能找到相應(yīng)的自變量*與其對應(yīng)。圖2-4 二 定義域題型 (一)具體函數(shù)：即有明確解析式的函數(shù)，定義域的考察有兩種形式直接考察：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中，；在與中且，列不等式求解。(二)抽象函數(shù)：只要對應(yīng)法則一樣，括號里整體的取值圍就完全一樣。三 值域題型(一) 常規(guī)函數(shù)求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段。常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對號函數(shù)。(二) 非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域。解題步驟：(1)換元變形；(2)求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值圍；(3)畫圖像

7、，定區(qū)間，截段。(三) 分式函數(shù)求值域 ：四種題型(1)：則且。(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用*的圍解不等式求y的圍。(3)：，則且。(4)求的值域，當(dāng)時，用判別式法求值域。，值域(四) 不可變形的雜函數(shù)求值域： 利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)趨勢圖像，定區(qū)間，截段。判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其次用定義。詳情見單調(diào)性局部知識講解。(五) 原函數(shù)反函數(shù)對應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域。(六) 值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷驀?。?函數(shù)運算

8、法則一 指數(shù)運算法則運用指數(shù)運算法則，一般從右往左變形。二 對數(shù)運算法則同底公式：運用對數(shù)運算法則，同底的情況，一般從右往左變形。不同底公式：運用對數(shù)運算法則，不同底的情況，先變成同底。五 函數(shù)解析式(一) 換元法：如f(2* + 3)=*2 + 3* + 5，求f(3-7*)，(設(shè)2* + 3=3-7t)。(二) 構(gòu)造法：如，求f(*)。(三) 待定系數(shù)法：通過圖像求出y=Asin(* +) + C中系數(shù)(四) 遞推：需利用奇偶性、對稱性、周期性的定義式或運算式遞推。(五) 求原函數(shù)的反函數(shù)：先反表示，再*、y互換。六 常規(guī)函數(shù)的圖像常規(guī)函數(shù)圖像主要有：指數(shù)函數(shù)：逆時針旋轉(zhuǎn)，對數(shù)函數(shù)：逆時針

9、旋轉(zhuǎn)，底數(shù)越來越大 底數(shù)越來越小冪函數(shù)：逆時針旋轉(zhuǎn)，指數(shù)越來越大。其他象限圖象看函數(shù)奇偶性確定。七 函數(shù)的單調(diào)性(一) 定義：在給定區(qū)間圍，如果*越大y越大，則原函數(shù)為增函數(shù)；如果*越大y越小，則原函數(shù)為減函數(shù)。(二) 單調(diào)性題型：1.求單調(diào)性區(qū)間：先找到最根本函數(shù)單元的單調(diào)區(qū)間，用復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，從而確定單調(diào)區(qū)間。復(fù)合函數(shù)法： ：當(dāng)0 * 1時，*，*2，- *2，2.判斷單調(diào)性 (1).求導(dǎo)函數(shù)：為增函數(shù)，為減函數(shù)(2).利用定義：設(shè)*1* 0時，有.或.無理不等式：(1).(2).(3)(三)指數(shù)不等式 對數(shù)不等式不等號兩邊同時取指數(shù)或同時取對數(shù)，變成一樣的形式后，

10、再換元成有理不等式求解。(1)當(dāng)時,;.(2)當(dāng)時,;三 線性規(guī)劃線性規(guī)劃，出題現(xiàn)象如下： 設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 )A.4 B.11 C.12 D.14解題步驟：1把不等式組中的一次式看成直線，在平面直角坐標(biāo)系中畫直線，標(biāo)明直線序號2依據(jù)以下結(jié)論確定平面區(qū)域：是點在直線上方包括直線 是點在直線下方包括直線；是點在直線上方不包括直線是點在直線下方不包括直線3確定目標(biāo)函數(shù)函數(shù)值的幾何意義 4eq oac(,1)假設(shè)目標(biāo)函數(shù)值z表示截距，在區(qū)域平移目標(biāo)函數(shù)直線，找出使截距取最大值和最小值的端點，求出端點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得出z的最值。eq oac(,2)假設(shè)目標(biāo)函數(shù)z表示距離或者距

11、離的平方，準(zhǔn)確作圖，在圖像中直接觀察距離的最大值與最小值相當(dāng)于是點與點的距離還是點與直線的距離，用距離公式直接求最值。eq oac(,3)假設(shè)目標(biāo)函數(shù)z表示斜率，準(zhǔn)確畫圖，利用求斜率取值圍結(jié)論，求最值。第七章 直線和圓的方程一、直線方程.1. 直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的圍是.注：當(dāng)或時，直線垂直于軸，它的斜率不存在.每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時，其傾斜角也對應(yīng)確定.2. 直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、

12、兩點式、斜切式.特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點，即直線在軸，軸上的截距分別為時，直線方程是：.注：假設(shè)是一直線的方程，則這條直線的方程是，但假設(shè)則不是這條線.附：直線系：對于直線的斜截式方程，當(dāng)均為確定的數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果變化時，對應(yīng)的直線也會變化.當(dāng)為定植，變化時，它們表示過定點0，的直線束.當(dāng)為定值，變化時，它們表示一組平行直線.3. 兩條直線平行：兩條直線平行的條件是：和是兩條不重合的直線.在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或無視其中任一個前提都會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.一般的結(jié)論是：對于兩條直線，它們在軸上的縱截距是，則，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件

13、，且推論：如果兩條直線的傾斜角為則. 兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：設(shè)兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在.，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. 即是垂直的充要條件4. 直線的交角：直線到的角方向角；直線到的角，是指直線繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時所轉(zhuǎn)動的角，它的圍是，當(dāng)時.兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值圍是，當(dāng)，則有.5). 過兩直線的交點的直線系方程為參數(shù)，不包括在6. 點到直線的距離：點到直線的距離公式：設(shè)點，直線到的距離為，則有.注：兩點P1(*1,y1)、P2(*2,y2)的距離公

14、式：.特例：點P(*,y)到原點O的距離： 定比分點坐標(biāo)分式。假設(shè)點P(*,y)分有向線段,其中P1(*1,y1),P2(*2,y2).則 特例，中點坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。直線的傾斜角0180、斜率:過兩點. 當(dāng)即直線和*軸垂直時，直線的傾斜角，沒有斜率兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.注；直線系方程1. 與直線：A*+By+C= 0平行的直線系方程是：A*+By+m=0.( mR, Cm).2. 與直線：A*+By+C= 0垂直的直線系方程是：B*-Ay+m=0.( mR)3. 過定點*1,y1的直線系方程是： A(*-*1)+B(y-y1)=

15、0 (A,B不全為0)4. 過直線l1、l2交點的直線系方程：A1*+B1y+C1+( A2*+B2y+C2=0 (R 注：該直線系不含l2.7). 關(guān)于點對稱和關(guān)于*直線對稱：關(guān)于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.關(guān)于*直線對稱的兩條直線性質(zhì)：假設(shè)兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.假設(shè)兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.點關(guān)于*一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上方程，過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直方程可解得所求對稱點.注：曲線、直線關(guān)于一直線對稱的解法：y換*，*換y.

16、例：曲線f(* ,y)=0關(guān)于直線y=*2對稱曲線方程是f(y+2 ,*2)=0. 曲線C: f(* ,y)=0關(guān)于點(a ,b)的對稱曲線方程是f(a *, 2b y)=0. 二、圓的方程.1. 曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果*曲線上的 與一個二元方程的實數(shù)建立了如下關(guān)系：曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解.以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.則這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線圖形.曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點其坐標(biāo)與方程的一種關(guān)系，曲線上任一點是方程的解；反過來，滿足方程的解所對應(yīng)的點是曲線上的點.注：如果曲線C的方程是f(* ,y)=0，則點P0(*0 ,y)線

17、C上的充要條件是f(*0 ,y0)=02. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為的圓的方程是：.注：特殊圓的方程：與軸相切的圓方程與軸相切的圓方程與軸軸都相切的圓方程3. 圓的一般方程：.當(dāng)時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.當(dāng)時，方程表示一個點.當(dāng)時，方程無圖形稱虛圓.注：圓的參數(shù)方程：為參數(shù).方程表示圓的充要條件是：且且.圓的直徑或方程：用向量可征.4. 點和圓的位置關(guān)系：給定點及圓.在圓在圓上在圓外5. 直線和圓的位置關(guān)系： 設(shè)圓圓：； 直線：； 圓心到直線的距離.時，與相切；附：假設(shè)兩圓相切，則相減為公切線方程.時，與相交；附：公共弦方程：設(shè)有

18、兩個交點，則其公共弦方程為.時，與相離. 附：假設(shè)兩圓相離，則相減為圓心的連線的中與線方程. 由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關(guān)于或的一元二次方程，其判別式為，則：與相切；與相交；與相離.注：假設(shè)兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.6. 圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過圓上一點的切線方程為：.一般方程假設(shè)點(*0 ,y0)在圓上，則(* a)(*0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特別地，過圓上一點的切線方程為.假設(shè)點(*0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.7. 求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.的方程 又以

19、ABCD為圓為方程為 ，所以BC的方程即代，相切即為所求.三、曲線和方程1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(*,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：1 曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(*,y)=0的解純粹性；2 方程f(*,y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上完備性。則稱方程f(*,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(*,y)=0的曲線。2.求曲線方程的方法：.1直接法：建系設(shè)點，列式表標(biāo),簡化檢驗; 2參數(shù)法; 3定義法， 4待定系數(shù)法.第八章 圓錐曲線一橢圓方程一 橢圓的定義：方程為橢圓；無軌跡；以為端點的線段。二 橢圓的方程: = 1 * GB3 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： = 1

20、 * roman i. 中心在原點，焦點在*軸上：. = 2 * roman ii. 中心在原點，焦點在軸上：. = 2 * GB3 一般方程：.= 3 * GB3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為三橢圓的幾何性質(zhì)： = 1 * GB3 頂點：A,B,C和D. = 2 * GB3 軸：對稱軸：*軸，軸；長軸長=，短軸長=.焦點：, = 4 * GB3 焦距：，. = 5 * GB3 離心率：.二雙曲線方程一雙曲線的定義：二雙曲線的方程 = 1 * GB3 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程： = 1 * roman i. 中心在原點，焦點在*軸上：. = 2 * roman ii. 中心在原點，焦點在軸上： = 2

21、 * GB3 一般方程：.= 3 * GB3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為三雙曲線的幾何性質(zhì) = 1 * roman i. 焦點在軸上：頂點：；焦點：；漸近線方程：或 = 2 * roman ii. 焦點在軸上：頂點：；焦點：；漸近線方程：或，軸：為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. = 3 * GB3 離心率. = 4 * GB3 參數(shù)關(guān)系.四常見的特殊雙曲線：等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.共軛雙曲線：以雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.= 3 * GB3共漸近線的雙曲線系方程

22、：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設(shè)為.例如：假設(shè)雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得.五直線與雙曲線的位置關(guān)系：如下列圖.區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；區(qū)域：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.三拋物線方程設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何

23、性質(zhì)：圖形焦點準(zhǔn)線圍對稱軸軸軸頂點(0，0)離心率焦半徑注：頂點.則焦點半徑;則焦點半徑為.= 3 * GB3通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.= 4 * GB3(或)的參數(shù)方程為(或)(為參數(shù)).第九章. 立體幾何一、 平面.1. 經(jīng)過不在同一條直線上的三點確定一個面.注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面.2. 兩個平面可將平面分成3或4局部.兩個平面平行，兩個平面相交3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.三條直線在一個平面平行，三條直線不在一個平面平行注：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個.4. 三個平面最多可把空間分成 8 局部.*、Y、Z三個

24、方向空間直線.1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線共面有反且有一個公共點；平行直線共面沒有公共點；異面直線不同在任一平面注：可能兩條直線平行，也可能是點和直線等直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交假設(shè)直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面.兩條平行線在同一平面的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點.射影不一定只有直線，也可以是其他圖形并非是從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段是夾在兩平行平面間的線段，假設(shè)，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2. 異面直線判定定理：過平面外一點與平面一點的直線和平面不經(jīng)過該點的直線是異面直線.不在任何一個平面的兩條直

25、線3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4. 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向一樣，則這兩個角相等如下列圖. 二面角的取值圍 直線與直線所成角 斜線與平面成角 直線與平面所成角向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成銳角或直角相等.5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交共面垂直和異面垂直.是異面直線，則過外一點P，過點P且與都平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點在同一平面. 或在這個做出的平面不能叫與平行的平面直線與平面平行、直線與平面垂直.1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、

26、在平面.2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面一條直線平行，則這條直線和這個平面平行.線線平行，線面平行注：直線與平面外一條直線平行，則.直線與平面外一條直線相交，則與平面相交. 假設(shè)直線與平面平行，則必存在無數(shù)條直線與平行.兩條平行線中一條平行于一個平面，則另一條也平行于這個平面或在平面上平行于同一直線的兩個平面平行或相交平行于同一個平面的兩直線相交或異面或平行直線與平面、所成角相等，則或與相交3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，則這條直線和交線平行.線面平行，線線平行4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂

27、直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點有且只有一個平面和一條直線垂直. 假設(shè)，得三垂線定理，得不出. 因為，但不垂直O(jiān)A.三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面的兩條相交直線都垂直，則這兩條直線垂直于這個平面.線線垂直，線面垂直直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行.注：垂直于同一條直線的兩個平面平行垂一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面垂直于同一平面的兩條直線平行5. 垂線段和斜線段長定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線

28、段中，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；垂線段比任何一條斜線段短.注：垂線在平面的射影為一個點.射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，則這點在平面的射影在這個角的平分線上平面平行與平面垂直.1. 空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一個平面有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.線面平行，面面平行推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.注：一平面間的任一直線平行于另一平面.3. 兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，

29、則它們交線平行.面面平行，線線平行4. 兩個平面垂直性質(zhì)判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個平面與一條直線垂直，則經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.線面垂直，面面垂直注：如果兩個二面角的平面對應(yīng)平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，則在一個平面垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因為則.6. 兩異面直線任意兩點間的距離公式：為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有7. 最小角定理：為最小角，如

30、圖最小角定理的應(yīng)用PBN為最小角簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有. 棱錐、棱柱.1. 棱柱.直棱柱側(cè)面積：為底面周長，是高該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.斜棱住側(cè)面積：是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體.直四棱柱平行六面體=直平行六面體.棱柱具有的性質(zhì)：棱柱的各個側(cè)面都是平行四

31、邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖直棱柱定義棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分.注：四棱柱的對角線不一定相交于一點.定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則.推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側(cè)面所成的角為，則.注：斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形應(yīng)是各側(cè)面

32、都是正方形的直棱柱才行只能推出對角線相等，推不出底面為矩形棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. 兩條邊可能相交，可能不相交，假設(shè)兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件2. 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形.注：一個棱錐可以四各面都為直角三角形.一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以.正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心.注：i. 正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.不是等邊三角形ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：假設(shè)一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形即側(cè)

33、棱相等；底面為正多邊形.正棱錐的側(cè)面積：底面周長為，斜高為棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：側(cè)面與底面成的二面角為附： 以知，為二面角. 則，得.注：S為任意多邊形的面積可分別多個三角形的方法.棱錐具有的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等它叫做正棱錐的斜高.正棱錐的高、斜高和斜高在底面的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影也組成一個直角三角形.特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心.棱錐的各側(cè)面與底面所成角均

34、相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形心.棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形心.三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心.每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；每個四面體都有切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑.注：i.各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等ii. 假設(shè)一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直.簡證：ABCD，ACBD BCAD. 令得，則.iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中

35、點的四邊形一定是矩形.iv. 假設(shè)是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點的四邊是一定是正方形.簡證：取AC中點，則平面90易知EFGH為平行四邊形EFGH為長方形.假設(shè)對角線等，則為正方形.3. 球：球的截面是一個圓面.球的外表積公式：.球的體積公式：.緯度、經(jīng)度：緯度：地球上一點的緯度是指經(jīng)過點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).經(jīng)度：地球上兩點的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點的經(jīng)線與地軸所確定的二個半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點的經(jīng)線是本初子午線時，這個二面角的度數(shù)就是點的經(jīng)度.附：圓柱體積：為半徑，為高圓錐體積：為半徑，為高錐形體積：為底面積，為高 4. 切球：當(dāng)四面體為正四面體

36、時，設(shè)邊長為a，得.注：球切于四面體：外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.六. 空間向量.1. 1共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.注：假設(shè)與共線，與共線，則與共線. 當(dāng)時，不成立向量共面即它們所在直線可能異面假設(shè)，則存在小任一實數(shù)，使.與不成立假設(shè)為非零向量，則.2共線向量定理：對空間任意兩個向量， 的充要條件是存在實數(shù)具有唯一性，使.3共面向量：假設(shè)向量使之平行于平面或在，則與的關(guān)系是平行，記作.4共面向量定理：如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實數(shù)對*、y使.空間任一點O和不共線三點A、B、C，則是PABC四點共面的充要

37、條件.簡證：P、A、B、C四點共面注：是證明四點共面的常用方法.2. 空間向量根本定理：如果三個向量不共面，則對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組*、y、z，使.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組*、y、z使 (這里隱含*+y+z1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是BCD的重心，則向量用即證.3. 1空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的*軸是橫軸對應(yīng)為橫坐標(biāo)，y軸是縱軸對應(yīng)為縱軸，z軸是豎軸對應(yīng)為豎坐標(biāo).令=(a1,a2,a3),，則(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)空間兩點的距離公式：.2法向量：假設(shè)向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量

38、垂直于平面，記作，如果則向量叫做平面的法向量.3用向量的常用方法：利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小方向一樣，則為補角，反方，則為其夾角.證直線和平面平行定理：直線平面，且CDE三點不共線，則a的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.常設(shè)求解假設(shè)存在即證畢，假設(shè)不存在，則直線AB與平面相交.II. 競賽知識要點一、四面體.1. 對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)：四面體的六條棱的垂直平分面交于一點，

39、這一點叫做此四面體的外接球的球心；四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點，這一點叫做此四面體的接球的球心；四面體的四個面的重心與相對頂點的連接交于一點，這一點叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為31；12個面角之和為720，每個三面角中任兩個之和大于另一個面角，且三個面角之和為180.2. 直角四面體：有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當(dāng)于平面幾何的直角三角形. 在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、外表積、外接球半徑、切球半徑及側(cè)面上的高，則有空間勾股定理：S2ABC+S2BCD+S2ABD=S2ACD.3. 等腰四面體：對棱

40、都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形.根據(jù)定義不難證明以長方體的一個頂點的三條面對角線的端點為頂點的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補成一個長方體.在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，接球半徑為r，高為h，則有等腰四面體的體積可表示為；等腰四面體的外接球半徑可表示為；等腰四面體的四條頂點和對面重心的連線段的長相等，且可表示為；h = 4r.二、空間正余弦定理.空間正弦定理：sinABD/sinA-BC-D=sinABC/sinA-BD-C=sinCBD/sinC-BA-D空

41、間余弦定理：cosABD=cosABCcosCBD+sinABCsinCBDcosA-BC-D立體幾何知識要點一、知識提綱一空間的直線與平面平面的根本性質(zhì) 三個公理及公理三的三個推論和它們的用途斜二測畫法空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線、平行直線、異面直線公理四平行線的傳遞性等角定理異面直線的判定：判定定理、反證法異面直線所成的角：定義求法、圍直線和平面平行 直線和平面的位置關(guān)系、直線和平面平行的判定與性質(zhì)直線和平面垂直直線和平面垂直：定義、判定定理三垂線定理及逆定理5.平面和平面平行兩個平面的位置關(guān)系、兩個平面平行的判定與性質(zhì)6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理二直線與平面

42、的平行和垂直的證明思路見附圖三夾角與距離7.直線和平面所成的角與二面角平面的斜線和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平面所成的角、直線和平面所成的角二面角：定義、圍、二面角的平面角、直二面角互相垂直的平面及其判定定理、性質(zhì)定理8.距離點到平面的距離直線到與它平行平面的距離兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線、公垂線段異面直線的距離：異面直線的公垂線及其性質(zhì)、公垂線段四簡單多面體與球9.棱柱與棱錐多面體棱柱與它的性質(zhì)：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性質(zhì)平行六面體與長方體：平行六面體、直平行六面體、長方體、正四棱柱、正方體；平行六面體的性質(zhì)、長方體的性質(zhì)棱錐與它的性質(zhì)：棱錐、正棱錐

43、、棱錐的性質(zhì)、正棱錐的性質(zhì)直棱柱和正棱錐的直觀圖的畫法10.多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)簡單多面體的歐拉公式正多面體11.球球和它的性質(zhì)：球體、球面、球的大圓、小圓、球面距離球的體積公式和外表積公式二、常用結(jié)論、方法和公式1.從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，假設(shè)AOB=AOC，則點A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；A2. :直二面角MABN中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面，BC和AB的射影BA1成，設(shè)ABC=,則coscos=cos；4.異面直線所成角的求法：1平移法：在異面直線中的一條直

44、線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；5.直線與平面所成的角斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上*個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；6.二面角的求法1定義法：直接在二面角的棱上取一點特殊點，分別在兩個半平面作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認(rèn)真觀察圖形的特性；2三垂線法：二面角其中一個面一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；3垂面法：二面角一點到兩

45、個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；4射影法：利用面積射影公式S射S原cos,其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫出平面角；特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法尤其要考慮射影法。7.空間距離的求法1兩異面直線間的距離，高考要給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進展計算；2求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；3求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作，因此，確定面的垂面是關(guān)鍵；二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方

46、程求解；8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)cos=S底；9.:長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1; 假設(shè)長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;10.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；11.歐拉公式：如果簡單多面體的頂點數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E.則V+FE=2；并且棱數(shù)E各頂點連著的棱數(shù)和的一半各面邊數(shù)和的一半；12.柱體的體積公式：柱體棱柱、圓柱的體積公式是V柱體=Sh.其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.13.直棱柱的側(cè)面積和全面積S直棱柱側(cè)= c (c表示底

47、面周長，表示側(cè)棱長) S棱柱全=S底+S側(cè)14棱錐的體積:V棱錐=，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。15.球的體積公式V=，外表積公式；掌握球面上兩點A、B間的距離求法：1計算線段AB的長，2計算球心角AOB的弧度數(shù)；(3)用弧長公式計算劣弧AB的長；第十章排列組合二項定理一、兩個原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可以有重復(fù)元素的排列.從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，則第一、第二第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重復(fù)排列數(shù)mm m = mn. 例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？

48、 解：種二、排列.1. 對排列定義的理解.定義：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.一樣排列.如果；兩個排列一樣，不僅這兩個排列的元素必須完全一樣，而且排列的順序也必須完全一樣.排列數(shù).從n個不同元素中取出m(mn)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號表示.排列數(shù)公式： 注意： 規(guī)定0! = 1 規(guī)定2. 含有可重元素的排列問題.對含有一樣元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個不同元素a1，a2,.an其中限重復(fù)數(shù)為n1、n2nk，且n = n1+n2

49、+nk, 則S的排列個數(shù)等于. 例如：數(shù)字3、2、2，求其排列個數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個數(shù)？其排列個數(shù). 三、組合.1. 組合：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.組合數(shù)公式：兩個公式： 從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個

50、不同元素中取m個元素方法時，對于*一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有. 排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出m個元素.區(qū)別：前者是排成一排，后者是并成一組，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.幾個常用組合數(shù)公式常用的證明組合等式方法例.i. 裂項求和法. 如：利用ii. 導(dǎo)數(shù)法. iii. 數(shù)學(xué)歸納法. iv. 倒序求和法.v. 遞推法即用遞推如：.vi.構(gòu)造二項式. 如：證明：這里構(gòu)造二項式其中的系數(shù)，左邊為，而右邊四、排列、組合綜合.1

51、. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：直接法. 排除法.捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們局部的排列.它主要用于解決元素相鄰問題，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中*個元素必相鄰的排列有個.其中是一個整體排列，而則是局部排列.又例如有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數(shù)為.有n件不同商品，假設(shè)其中A、B排在一起有.有n件不同商品，假設(shè)其中有二件要排在一起有.注：區(qū)別在于是確定的座位，有種；而的商品地位一樣，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中

52、，此法主要解決元素不相鄰問題.例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？插空法，當(dāng)n m+1m, 即m時有意義.占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用先特殊后一般的解題原則.調(diào)序法：當(dāng)*些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進展全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的*一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即假設(shè)n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.例如：n個元素全排列，其中m個元素順

53、序不變，共有多少種不同的排法？解法一：逐步插空法m+1m+2n = n！/ m?。唤夥ǘ罕壤峙浞?平均法：假設(shè)把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有.例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法？有平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了又例如將200名運發(fā)動平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少？注意：分組與插空綜合.例如：n個元素全排列，其中*m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法？有，當(dāng)n m+1 m, 即m時有意義.隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全一樣的球排成一列，在它們之間形成11個空隙

54、中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應(yīng)著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式如圖所示故方程的解和插板的方法一一對應(yīng).即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).注意：假設(shè)為非負(fù)數(shù)解的*個數(shù)，即用中等于，有，進而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個數(shù)為 .定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定*r個元素都包含在，并且都排在*r個指定位置則有.例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中*個元素必須固定在或不固定在*一位置上，共有多少種排法？固定在*一位置上：；不在*一位置上：或一類是不取出特殊元素a，有，一

55、類是取特殊元素a，有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的指定元素排列組合問題. i. 從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列或組合，規(guī)定*r個元素都包含在 。先C后A策略，排列；組合.ii. 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列或組合，規(guī)定*r個元素都不包含在。先C后A策略，排列；組合.iii 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列或組合，規(guī)定每個排列或組合都只包含*r個元素中的s個元素。先C后A策略，排列；組合. II. 排列組合常見解題策略：特殊元素優(yōu)先安排策略；合理分類與準(zhǔn)確分步策略；排列、組合混合問題先選后排的策略處理排列組

56、合綜合性問題一般是先選元素，后排列；正難則反，等價轉(zhuǎn)化策略；相鄰問題插空處理策略；不相鄰問題插空處理策略；定序問題除法處理策略；分排問題直排處理的策略；小集團排列問題中先整體后局部的策略；構(gòu)造模型的策略.2. 組合問題中分組問題和分配問題.均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為其中A為非均勻不編號分組中分法數(shù).如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以.例：10人分成三組，各組元素個數(shù)為2、4、4，其分法種數(shù)為.假設(shè)分成六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數(shù)為非均勻編號分組: n個不同元素分組，各組元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的

57、順序，其分法種數(shù)為例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：種.假設(shè)從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有種均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數(shù)一樣且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為.例：10人分成三組，人數(shù)分別為2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數(shù)為非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數(shù)目均不一樣，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數(shù)為例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5，其分法種數(shù)為假設(shè)從10人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3，其分法種數(shù)為.五、二項式

58、定理.1. 二項式定理：.展開式具有以下特點：項數(shù)：共有項；系數(shù)：依次為組合數(shù)每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.二項展開式的通項.展開式中的第項為：.二項式系數(shù)的性質(zhì).在二項展開式中與首未兩項等距離的兩項的二項式系數(shù)相等；二項展開式的中間項二項式系數(shù)最大.I. 當(dāng)n是偶數(shù)時，中間項是第項，它的二項式系數(shù)最大；II. 當(dāng)n是奇數(shù)時，中間項為兩項，即第項和第項，它們的二項式系數(shù)最大.系數(shù)和：附：一般來說為常數(shù)在求系數(shù)最大的項或最小的項時均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解. 當(dāng)時，一般采用解不等式組的系數(shù)或系數(shù)的絕對值的方法來求解.如何來求展開式中含的系數(shù)呢？其中且把視為二

59、項式，先找出含有的項，另一方面在中含有的項為，故在中含的項為.其系數(shù)為.2. 近似計算的處理方法.當(dāng)a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式，因為這時展開式的后面局部很小，可以忽略不計。類似地，有但使用這兩個公式時應(yīng)注意a的條件，以及對計算準(zhǔn)確度的要求.第十一章 概率一 事件一、在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生*種結(jié)果，這種現(xiàn)象叫做確定性現(xiàn)象二、在一定條件下，*種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象三、必然會發(fā)生的事件叫做必然事件；肯定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件二 概率在一樣條件下，隨

60、著試驗次數(shù)的增多，隨機事件發(fā)生的頻率會在*個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個常數(shù)來刻畫該隨機事件發(fā)生的可能性大小，而將頻率作為其近似值。1.概率： 一般地，如果隨機事件在次試驗中發(fā)生了次，當(dāng)試驗的次數(shù)很大時，我們可以將發(fā)生的頻率作為事件發(fā)生的概率的近似值，即2概率的性質(zhì)： 隨機事件的概率為，必然事件和不可能事件看作隨機事件的兩個特例，分別用和表示，必然事件的概率為，不可能事件的概率為，即，;3.1頻率的穩(wěn)定性 即大量重復(fù)試驗時，任何結(jié)果事件出現(xiàn)的頻率盡管是隨機的，卻穩(wěn)定在*一個常數(shù)附近，試驗的次數(shù)越多，頻率與這個常數(shù)的偏差大的可能性越小，這一常數(shù)就成為該事件的概率;2頻率和概率這兩個概念