2021量子力學考研與量子力學考點復習筆記

1、2021量子力學考研與量子力學考點復習筆考研真題與解題的思路43試求屏蔽庫侖場-；*的微分散射截面。浙江大學2014研【解題的思路】對于屏蔽庫侖場，可以直接使用玻恩近似計算微分散射截面。【解答】由玻恩近似可得微分散射截面為簫岸嚴楓姦対*Jsin(X?)drK疋+/AnTO1【知識儲備】玻恩近似法適用條件V高能散射）微分散射截面JrUp)sJii(A)dr其中U(r)為粒子和散射中心相互作用的勢能,K=kf-k,kk分別為粒召子散射前后的波矢，并且二二3是散射角?！就卣拱l(fā)散】對于本題所給信息,也可以用分波法計算，并將計算結果與玻恩近似的結果比較。44設算符A和B不對易，二三廣匚，但A和B都與C對

2、易，即二匸，(1)_.：.匚廣-口-,n為正整數(shù);(2)廈門大學2012研【解題的思路】根據(jù)所給條件，利用對易恒等式關系，推導出遞推關系，即可得證。【解答】(1)因為a:b=c所以十腳曠二亡=CSnl十目（町4嚴訂十眞B曠丄）=CBnl+鞏町扈護-+匚訂）二CB+BC1+B2A:B+方*4“(2)【知識儲備】e指數(shù)函數(shù)的展開式對易式中滿足的基本恒等式A,B+C二A,B+A,CA,BC二BA,C+A,BCAB,C=AB,C+A,CBA,B,C+B,C,A+C,A,B二045粒子被束縛在半徑為r的圓周上運動。（1）設立路障進一步限制粒子在-二的一段圓弧上運動，即求解粒子的能量本征值和本征函數(shù)。（2

3、）設粒子處于情形（1）的基態(tài)，求突然撤去路障后，粒子仍然處于最低能量態(tài)的幾率是多少？南京大學2002研【解題的思路】分析題意，這是不隨時間改變的勢場，所以可以直接使用定態(tài)薛定諤方程和波函數(shù)性質求解能量本征值和本征波函數(shù)。【解答】（1）當二二二一時，L；當二二時，粒子的轉動慣量為二;，對應的哈密頓量為二由定態(tài)薛定諤方程可得即令求解得由波函數(shù)的連續(xù)性可得-=?，即上-=-，所以肖)=-Ae=2L4sin(jtJ)1=,即X-，所以2由波函數(shù)的歸一化條件可得(2)當撤去路障后，粒子的本征波函數(shù)和本征能量為由本征波函數(shù)的完備性可得由傅里葉變換可得所以粒子仍然處于最低能量態(tài)的幾率是知識儲備】定態(tài)薛定諤方

4、程【拓展發(fā)散】改變變化方式，緩慢撤去路障，求解粒子仍然處于最低能量態(tài)的幾率，并且將結果和突然撤去路障的結果比較，區(qū)別這兩種情形對量子態(tài)的影響。46設算符.=，且_：1o證明：如果是的本征函數(shù)，對應的本征值為則波函數(shù)一二從也是N的本征函數(shù)，對應的本征值為,I；而J二八-也是N的本征函數(shù)，對應的本征南京大學2002研【解題的思路】利用本征方程的定義，以及升降算符的對易關系?！窘獯稹扛鶕?jù)題意，N的本征方程為W=。因為嚴兀叭=疋呷=(aa+-1)口蘭=ua+aaf=必少一叱+=-1)1/=(A_1)網(wǎng)即波函數(shù)一二軋是N的本征函數(shù)，對應的本征值為.-1；N寧;-Nduf=d(十口)抄二應-歲十?-0),

5、所以哈密頓量為明顯可知哈密頓量的本征態(tài)為I，本征值為由角動量的合成可得，三個自旋為1/2的總自旋為1/2或者3/2。所以簡并度為4；簡并度為4?！局R儲備】土遲S在空間任意方向上的投影只能取兩個數(shù)值一二，滿足記S2二s(s+1)h2,則s二1/2,稱s為自旋量子數(shù)?！就卣拱l(fā)散】三個自旋為1/2的粒子，它們的哈密頓量為三二-,利用同樣的對稱思想可以求其本征值和簡并度。48設有兩個質量為m的一維全同粒子，它們之間的相互作用為??；一匸(a(1)若粒子自旋為0,寫出它們的相對運動的基態(tài)能量和波函數(shù);(2)若粒子自旋為，寫出它們的相對運動的基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)能量和波函數(shù)。北京大學2001研【解題的思路】分

6、析兩個粒子的勢能形式，與諧振子勢相同，之后要考慮它們是全同粒子還是非全同粒子，根據(jù)它們對波函數(shù)的對稱性要求，就可以通過構造波函數(shù)坐標部分和自旋部分各自的交換對稱性來最終滿足總波函數(shù)的對稱性要求?！窘獯稹?1)對于兩個粒子間的勢場為，可以固定一個粒子，即令其中，二_：,一：二；.，.，。若粒子自旋為0,總自旋s二0,則基態(tài)能量為對應的波函數(shù)為-Pi(2)若粒子自旋為，則它們都是費米子，總波函數(shù)滿足交換反對稱性?；鶓B(tài)：能量為右苛IErhe前攝(0Hu)極Mg用堅(戈oW：十善SKXH善【les-卜3agoHQHbHxb會)口冷g+SVOQHhe?)白方【十bsvoo-H(氣taGJ7Jdx3H*s

7、*s百tras序*啟I(總X話只B電HE黒廿Mtr昏IHtr+F-ZIH禺|”閭闔IH忙氏AA=AsgBsfrmCN二股爲掃友0)即H-IX雄呂cfe邑畐3+El刑1HUEgH小性II去IIm只B【矍2閏H目兇H忙所以空仗)二exp(:空=+Tsiifi)crl3)7(0)cos(酚)isin(f)cos白八1-/cos(i)+iSA.n(JDf)cosBssin()sin6ecIj呂in(妙)sin臼舀wi&因此，可以從波函數(shù)得出t時刻粒子仍處于自旋向下態(tài)的幾率為=|cos(tyr)cos=co5x(a)-Fsin2(co5x&【知識儲備】波函數(shù)隨時間的變化規(guī)律由含時薛定諤方程給出當U(r,

8、t)與t無關時，可以利用分離變量法，將時間部分的函數(shù)和空間部分的函數(shù)分開考慮，(r)滿足定態(tài)薛定諤方程此方程即是能量算符的本征方程。其中，整個定態(tài)波函數(shù)的形式為般情況下，若所求解能量的本征值是不連續(xù)的，則最后的波函數(shù)寫成各個能量定態(tài)波函數(shù)的求和形式；如果能量是連續(xù)值，則相應的寫成積分形式。自旋算符2:2.JxoL=2e(jA泡利算符。滿足下列關系:【拓展發(fā)散】AAAA在oz表象中，Ox，Oy，Oz的表示矩陣分別為：勺C,&=-oTJ5T丿粒子處于磁場B中初始狀態(tài)的自旋為1/2和-1/2的疊加態(tài)，如|叭0)=同-+創(chuàng)+)，最后可以問粒子在t時刻處在自旋為1/2或者-1/2的幾率；當粒子處于磁場B

9、中初始狀態(tài)的自旋為1/2，也可以問粒子在t時刻發(fā)生躍遷到自旋為-1/2的幾率；類似于本題的粒子處在電磁場中的問題，也可以用來考查微擾的相關知識，比如定態(tài)非簡并微擾和含時微擾，可用來解決躍遷等相關問題。1概念證明：(1)證明任意算符的平均值滿足如下等式:(2)若某哈密頓量H的所有本征態(tài)非簡并，并且算符f滿足?，證明f和H可以同時對角化。華南理工大學2018研【解題的思路】解答】（1）因為對力學量的平均值求時間的導數(shù)，可以利用含時薛定諤方程帶入計算，由此就可以得出要證明的關系式;對于兩個互相對易的力學量算符，有共同的本征態(tài)。因此，m/n時，【知識儲備】含時薛定諤方程力學量的平均值公式S二洌如)42設某二能級系統(tǒng)的能級分別為E2(E),并有對應的兩個無簡并定態(tài)，在初始時刻系統(tǒng)處于基態(tài)，而后加入微擾作用V試求以后任意時刻系統(tǒng)處于這兩個定態(tài)的幾率。南京大學2014研【解題的思路】分析題意，這是含時微擾，直接利用含時微擾理論公式帶入已知條件即可求解?！窘獯稹吭诙芗壪到y(tǒng)中，加入微擾，可以利用含時微擾理論得體系在微擾作用下由初態(tài)躍遷到終態(tài)態(tài)的概率幅為所以相應的躍遷幾率為陷二魯-)乜28旦笑因此，在t時刻，系統(tǒng)處在態(tài)的幾率為系統(tǒng)處在態(tài)的幾率