2021量子力學(xué)考研與量子力學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)筆記

1、2021量子力學(xué)考研與量子力學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)筆考研真題與解題的思路43試求屏蔽庫(kù)侖場(chǎng)-；*的微分散射截面。浙江大學(xué)2014研【解題的思路】對(duì)于屏蔽庫(kù)侖場(chǎng)，可以直接使用玻恩近似計(jì)算微分散射截面?！窘獯稹坑刹６鹘瓶傻梦⒎稚⑸浣孛鏋楹嵃秶?yán)楓姦対*Jsin(X?)drK疋+/AnTO1【知識(shí)儲(chǔ)備】玻恩近似法適用條件V高能散射）微分散射截面JrUp)sJii(A)dr其中U(r)為粒子和散射中心相互作用的勢(shì)能,K=kf-k,kk分別為粒召子散射前后的波矢，并且二二3是散射角?！就卣拱l(fā)散】對(duì)于本題所給信息,也可以用分波法計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與玻恩近似的結(jié)果比較。44設(shè)算符A和B不對(duì)易，二三廣匚，但A和B都與C對(duì)

2、易，即二匸，(1)_.：.匚廣-口-,n為正整數(shù);(2)廈門(mén)大學(xué)2012研【解題的思路】根據(jù)所給條件，利用對(duì)易恒等式關(guān)系，推導(dǎo)出遞推關(guān)系，即可得證?！窘獯稹?1)因?yàn)閍:b=c所以十腳曠二亡=CSnl十目（町4嚴(yán)訂十眞B曠丄）=CBnl+鞏町扈護(hù)-+匚訂）二CB+BC1+B2A:B+方*4“(2)【知識(shí)儲(chǔ)備】e指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式對(duì)易式中滿(mǎn)足的基本恒等式A,B+C二A,B+A,CA,BC二BA,C+A,BCAB,C=AB,C+A,CBA,B,C+B,C,A+C,A,B二045粒子被束縛在半徑為r的圓周上運(yùn)動(dòng)。（1）設(shè)立路障進(jìn)一步限制粒子在-二的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)，即求解粒子的能量本征值和本征函數(shù)。（2

3、）設(shè)粒子處于情形（1）的基態(tài)，求突然撤去路障后，粒子仍然處于最低能量態(tài)的幾率是多少？南京大學(xué)2002研【解題的思路】分析題意，這是不隨時(shí)間改變的勢(shì)場(chǎng)，所以可以直接使用定態(tài)薛定諤方程和波函數(shù)性質(zhì)求解能量本征值和本征波函數(shù)?！窘獯稹浚?）當(dāng)二二二一時(shí)，L；當(dāng)二二時(shí)，粒子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為二;，對(duì)應(yīng)的哈密頓量為二由定態(tài)薛定諤方程可得即令求解得由波函數(shù)的連續(xù)性可得-=?，即上-=-，所以肖)=-Ae=2L4sin(jtJ)1=,即X-，所以2由波函數(shù)的歸一化條件可得(2)當(dāng)撤去路障后，粒子的本征波函數(shù)和本征能量為由本征波函數(shù)的完備性可得由傅里葉變換可得所以粒子仍然處于最低能量態(tài)的幾率是知識(shí)儲(chǔ)備】定態(tài)薛定諤方

4、程【拓展發(fā)散】改變變化方式，緩慢撤去路障，求解粒子仍然處于最低能量態(tài)的幾率，并且將結(jié)果和突然撤去路障的結(jié)果比較，區(qū)別這兩種情形對(duì)量子態(tài)的影響。46設(shè)算符.=，且_：1o證明：如果是的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值為則波函數(shù)一二從也是N的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值為,I；而J二八-也是N的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征南京大學(xué)2002研【解題的思路】利用本征方程的定義，以及升降算符的對(duì)易關(guān)系?！窘獯稹扛鶕?jù)題意，N的本征方程為W=。因?yàn)閲?yán)兀叭=疋呷=(aa+-1)口蘭=ua+aaf=必少一叱+=-1)1/=(A_1)網(wǎng)即波函數(shù)一二軋是N的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值為.-1；N寧;-Nduf=d(十口)抄二應(yīng)-歲十?-0),

5、所以哈密頓量為明顯可知哈密頓量的本征態(tài)為I，本征值為由角動(dòng)量的合成可得，三個(gè)自旋為1/2的總自旋為1/2或者3/2。所以簡(jiǎn)并度為4；簡(jiǎn)并度為4?！局R(shí)儲(chǔ)備】土遲S在空間任意方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值一二，滿(mǎn)足記S2二s(s+1)h2,則s二1/2,稱(chēng)s為自旋量子數(shù)?！就卣拱l(fā)散】三個(gè)自旋為1/2的粒子，它們的哈密頓量為三二-,利用同樣的對(duì)稱(chēng)思想可以求其本征值和簡(jiǎn)并度。48設(shè)有兩個(gè)質(zhì)量為m的一維全同粒子，它們之間的相互作用為??；一匸(a(1)若粒子自旋為0,寫(xiě)出它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的基態(tài)能量和波函數(shù);(2)若粒子自旋為，寫(xiě)出它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)能量和波函數(shù)。北京大學(xué)2001研【解題的思路】分

6、析兩個(gè)粒子的勢(shì)能形式，與諧振子勢(shì)相同，之后要考慮它們是全同粒子還是非全同粒子，根據(jù)它們對(duì)波函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性要求，就可以通過(guò)構(gòu)造波函數(shù)坐標(biāo)部分和自旋部分各自的交換對(duì)稱(chēng)性來(lái)最終滿(mǎn)足總波函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性要求?！窘獯稹?1)對(duì)于兩個(gè)粒子間的勢(shì)場(chǎng)為，可以固定一個(gè)粒子，即令其中，二_：,一：二；.，.，。若粒子自旋為0,總自旋s二0,則基態(tài)能量為對(duì)應(yīng)的波函數(shù)為-Pi(2)若粒子自旋為，則它們都是費(fèi)米子，總波函數(shù)滿(mǎn)足交換反對(duì)稱(chēng)性。基態(tài)：能量為右苛IErhe前攝(0Hu)極Mg用堅(jiān)(戈oW：十善SKXH善【les-卜3agoHQHbHxb會(huì))口冷g+SVOQHhe?)白方【十bsvoo-H(氣taGJ7Jdx3H*s

7、*s百tras序*啟I(總X話(huà)只B電HE黒廿Mtr昏IHtr+F-ZIH禺|”閭闔IH忙氏AA=AsgBsfrmCN二股爲(wèi)掃友0)即H-IX雄呂cfe邑畐3+El刑1HUEgH小性II去IIm只B【矍2閏H目?jī)碒忙所以空仗)二exp(:空=+Tsiifi)crl3)7(0)cos(酚)isin(f)cos白八1-/cos(i)+iSA.n(JDf)cosBssin()sin6ecIj呂in(妙)sin臼舀wi&因此，可以從波函數(shù)得出t時(shí)刻粒子仍處于自旋向下態(tài)的幾率為=|cos(tyr)cos=co5x(a)-Fsin2(co5x&【知識(shí)儲(chǔ)備】波函數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律由含時(shí)薛定諤方程給出當(dāng)U(r,

8、t)與t無(wú)關(guān)時(shí)，可以利用分離變量法，將時(shí)間部分的函數(shù)和空間部分的函數(shù)分開(kāi)考慮，(r)滿(mǎn)足定態(tài)薛定諤方程此方程即是能量算符的本征方程。其中，整個(gè)定態(tài)波函數(shù)的形式為般情況下，若所求解能量的本征值是不連續(xù)的，則最后的波函數(shù)寫(xiě)成各個(gè)能量定態(tài)波函數(shù)的求和形式；如果能量是連續(xù)值，則相應(yīng)的寫(xiě)成積分形式。自旋算符2:2.JxoL=2e(jA泡利算符。滿(mǎn)足下列關(guān)系:【拓展發(fā)散】AAAA在oz表象中，Ox，Oy，Oz的表示矩陣分別為：勺C,&=-oTJ5T丿粒子處于磁場(chǎng)B中初始狀態(tài)的自旋為1/2和-1/2的疊加態(tài)，如|叭0)=同-+創(chuàng)+)，最后可以問(wèn)粒子在t時(shí)刻處在自旋為1/2或者-1/2的幾率；當(dāng)粒子處于磁場(chǎng)B

9、中初始狀態(tài)的自旋為1/2，也可以問(wèn)粒子在t時(shí)刻發(fā)生躍遷到自旋為-1/2的幾率；類(lèi)似于本題的粒子處在電磁場(chǎng)中的問(wèn)題，也可以用來(lái)考查微擾的相關(guān)知識(shí)，比如定態(tài)非簡(jiǎn)并微擾和含時(shí)微擾，可用來(lái)解決躍遷等相關(guān)問(wèn)題。1概念證明：(1)證明任意算符的平均值滿(mǎn)足如下等式:(2)若某哈密頓量H的所有本征態(tài)非簡(jiǎn)并，并且算符f滿(mǎn)足?，證明f和H可以同時(shí)對(duì)角化。華南理工大學(xué)2018研【解題的思路】解答】（1）因?yàn)閷?duì)力學(xué)量的平均值求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，可以利用含時(shí)薛定諤方程帶入計(jì)算，由此就可以得出要證明的關(guān)系式;對(duì)于兩個(gè)互相對(duì)易的力學(xué)量算符，有共同的本征態(tài)。因此，m/n時(shí)，【知識(shí)儲(chǔ)備】含時(shí)薛定諤方程力學(xué)量的平均值公式S二洌如)42設(shè)某二能級(jí)系統(tǒng)的能級(jí)分別為E2(E),并有對(duì)應(yīng)的兩個(gè)無(wú)簡(jiǎn)并定態(tài)，在初始時(shí)刻系統(tǒng)處于基態(tài)，而后加入微擾作用V試求以后任意時(shí)刻系統(tǒng)處于這兩個(gè)定態(tài)的幾率。南京大學(xué)2014研【解題的思路】分析題意，這是含時(shí)微擾，直接利用含時(shí)微擾理論公式帶入已知條件即可求解?！窘獯稹吭诙芗?jí)系統(tǒng)中，加入微擾，可以利用含時(shí)微擾理論得體系在微擾作用下由初態(tài)躍遷到終態(tài)態(tài)的概率幅為所以相應(yīng)的躍遷幾率為陷二魯-)乜28旦笑因此，在t時(shí)刻，系統(tǒng)處在態(tài)的幾率為系統(tǒng)處在態(tài)的幾率