數(shù)字信號處理課件：第4章 其它類型的數(shù)字濾波器2

1、 其它類型的數(shù)字濾波器 1 幾種特殊的濾波器 2 格型濾波器 3 簡單整系數(shù)數(shù)字濾波器 4 采樣率轉(zhuǎn)換濾波器 1 幾種特殊的濾波器 .1.1 全通濾波器 如果濾波器的幅頻特性對所有頻率均等于常數(shù)或 1， 即 |H(e j)|=1, 02 ( .1.1) 則該濾波器稱為全通濾波器。 全通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可表示成 H(e j)=e j() ( .1.2) 全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)一般形式如下式：( .1.3) 或者寫成二階濾波器級聯(lián)形式：( .1.4) 下面證明( .1.3)式表示的濾波器具有全通幅頻特性。( .1.5)式中， 由于系數(shù)ak是實(shí)數(shù)， 所以 圖 .1.1 全通濾波器一組=零極點(diǎn)示意圖

2、 觀察圖 .1.1， 如果將零點(diǎn)zk和極點(diǎn)p*k組成一對， 將零點(diǎn)z*k與極點(diǎn)pk組成一對， 那么全通濾波器的極點(diǎn)與零點(diǎn)便以共軛倒易關(guān)系出現(xiàn)， 即如果z-1k為全通濾波器的零點(diǎn)， 則z*k必然是全通濾波器的極點(diǎn)。 因此， 全通濾波器系統(tǒng)函數(shù)也可以寫成如下形式：( .1.6) .1.2 梳狀濾波器 例如， , 0a1， 零點(diǎn)為 1， 極點(diǎn)為a, 所以H(z)表示一個(gè)低通濾波器。 以zN代替H(z)的z， 得到： ( .1.7) 圖 .1.2 梳狀濾波器 的零極點(diǎn)分布和幅頻響應(yīng)特性(N= 8) .1.3 最小相位系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng)在工程理論中較為重要， 下面給出最小相位系統(tǒng)的幾個(gè)重要特點(diǎn)。 (1)

3、 任何一個(gè)非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)均可由一個(gè)最小相位系統(tǒng)Hmin(z)和一個(gè)全通系統(tǒng)Hap(z)級聯(lián)而成， 即 H(z)=Hmin(z)Hap(z) ( .1.8) 證明 假設(shè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)僅有一個(gè)零點(diǎn)在單位圓外， 令該零點(diǎn)為z=1/z0, | z0 |1, 則H(z)可表示為( .1.9) (2) 在幅頻響應(yīng)特性相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)集中， 最小相位系統(tǒng)的相位延遲(負(fù)的相位值)最小。 高階全通系統(tǒng)總可以由一階和二階全通系統(tǒng)函數(shù)相乘來表示。 (3) 最小相位系統(tǒng)保證其逆系統(tǒng)存在。 給定一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)=B(z)/A(z)， 定義其逆系統(tǒng)為( 1.14) 2 格型濾波器 .

4、2.1 全零點(diǎn)格型濾波器 一個(gè)M階的FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可寫成如下形式： ( .2.1) 其中， b(i)M表示M階FIR濾波器的第i個(gè)系數(shù)， 并假設(shè)首項(xiàng)系數(shù)b0=1。 H(z)對應(yīng)的格型結(jié)構(gòu)如圖 .2.1 所示。 圖 .2.1 全零點(diǎn)格型濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 .2.2 全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)=基本單元 下面推導(dǎo)由H(z)=B(z)的系數(shù)bi求出格型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)ki的逆推公式。圖 .2.2 所示基本格型單元的輸入、 輸出關(guān)系如下式： em(n)=e m-1 (n)+r m-1(n-1)km ( .2.2a) rm (n)=e m-1 (n)km+rm-1 (n-1) ( .2.2b) 且 e0(

5、n)=r0 (n)=x(n) ( .2.2c) y(n)=em (n) ( .2.2d) 設(shè)Bm(z), Jm(z)分別表示由輸入端x(n)至第m個(gè)基本單元上、 下輸出端em(n)、 rm(n)對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)， 即( .2.3a) ( .2.3b) 當(dāng)m=M時(shí)， Bm(z)=B(z)。 對( .2.2)式兩邊進(jìn)行Z變換得( .2.4a) ( .2.4b) 對( .2.4a)和( .2.4b)式分別除以E0(z)和R0(z)， 再由( .2.3a)和( .2.3b)式有( .2.5) ( .2.6) 由( .2.3)式有B0(z)=J0(z)=1, 所以令m=2, 3, :, M， 可推出( .

6、2.7)將上式分別代入( .2.5)和( .2.6)式得( .2.8a) ( .2.8b) 下面導(dǎo)出km與濾波器系數(shù)b(m)m之遞推關(guān)系。 將( .2.3a)式代入( .2.8a)及( .2.8b)式， 利用待定系數(shù)法可得到如下兩組遞推關(guān)系：( .2.9) ( .2.10) 例 .2.1 FIR濾波器由如下差分方程給定： 求其格型結(jié)構(gòu)系數(shù)， 并畫出格型結(jié)構(gòu)圖。 解 對差分方程兩邊進(jìn)行Z變換的H(z)=B3(z)： 圖 .2.3 H(z)的格型結(jié)構(gòu)流圖 .2.2 全極點(diǎn)(IIR)格型濾波器 IIR濾波器的格型結(jié)構(gòu)受限于全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)， 可以根據(jù)FIR格型結(jié)構(gòu)開發(fā)。 設(shè)一個(gè)全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)由下式給定

7、： ( .2.12) 圖 .2.4 全極點(diǎn)(IIR)濾波器格型結(jié)構(gòu) 例 .2.2 設(shè)全極點(diǎn)IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)為 求其格型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)， 并畫出格型結(jié)構(gòu)。解 由例 .2.1 所求FIR格型結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)： 圖 .2.5 例 .2.2 中的IIR格型結(jié)構(gòu) 3 簡單整系數(shù)數(shù)字濾波器 .3.1 建立在多項(xiàng)式擬合基礎(chǔ)上的簡單整系數(shù)濾波器 1. 多項(xiàng)式擬合的基本概念 設(shè)序列x(n)中的一組數(shù)據(jù)為x(i), i= -M, , 0, , M， 我們可以構(gòu)造一個(gè)p階多項(xiàng)式fi來擬和這一組數(shù)據(jù)x(i): 總的擬合誤差為( .3.1)( .3.2) 為了使擬合滿足最小均方誤差準(zhǔn)則， 令E對各系數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零， 即令則

8、( .3.3)式可寫成如下形式：( .3.3)( .3.4) 2.最佳擬合模板與簡單整系數(shù)FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n) 在實(shí)際應(yīng)用中， 并不將fi的p+1 個(gè)系數(shù)全求出來， 而是只求出a0, 就可實(shí)現(xiàn)對x(n)的最佳擬合。 由( .3.1)式可知， 例如， 當(dāng)M=2, p=2 時(shí)， 為五點(diǎn)二次(拋物線)多項(xiàng)式擬合。 據(jù)( .3.4)式， 并考慮當(dāng)k+r=奇數(shù)時(shí)sk+r=0， 有 ( .3.5) 其中， 代入上式可得 ( .3.6) ( .3.7) ( .3. ) 圖 .3.1 低通濾波器幅頻特性 (a) M=2, p=2; (b) M=3, p=3 .3.2 建立在零極點(diǎn)對消基礎(chǔ)上的簡單

9、整系數(shù)濾波器 如前所述， 在單位圓上等間隔分布N個(gè)零點(diǎn)， 則構(gòu)成“梳狀濾波器”。 如果在z=1 處再設(shè)置一個(gè)極點(diǎn)， 對消該處的零點(diǎn)， 則構(gòu)成低通濾波器， 其系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)分別為( .3.9a ( .3.9b) 圖 .3.2 低通濾波器零、 極點(diǎn)分布及幅頻特性(N=10) (a) ( .3.9a)式的零、 極點(diǎn)分布圖； (b) ( .3.9b)式的幅頻特性 基于同樣的思想， 在z=-1 處設(shè)置一個(gè)極點(diǎn)對消該處的零點(diǎn)， 則構(gòu)成高通濾波器， 其系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)函數(shù)分別為 ( .3.10a) ( .3.10b) 圖 .3.3 高通濾波器零、 極點(diǎn)分布及幅頻特性 (a) ( .3.10a)式零

10、、 極點(diǎn)分布； (b) 幅頻特性 假設(shè)我們要求帶通濾波器的中心頻率為0， 0 0 sa2/2時(shí)， 抽取前后信號的時(shí)域和頻域關(guān)系示意圖 圖 .4.8 在csa2/2時(shí)， 抽取前后信號的時(shí)域和頻域關(guān)系示意圖 .4.2 信號的整數(shù)倍內(nèi)插 1. 整數(shù)倍內(nèi)插的概念與內(nèi)插方法 從理論上講， 可以對已知的采樣序列x(n1T1)進(jìn)行D/A轉(zhuǎn)換， 得到原來的模擬信號x(t)， 然后再對x(t)進(jìn)行較高采樣率的采樣得到y(tǒng)(n2T2)， 這里 T1=IT2 ( .4.17)圖 .4.10 內(nèi)插概念示意圖圖 .4.11 零值內(nèi)插方案的系統(tǒng)框圖 圖 .4.12 內(nèi)插過程中的各序列 2. 整數(shù)倍內(nèi)插的頻域解釋 為了回答上

11、面的問題， 我們設(shè)x(n1T1)為模擬信號x(t)的采樣序列， 并假定x(t)及其傅里葉變換X(j)如圖 .4.13所示。圖 .4.13 x(t)和X(j)的示意圖圖 .4.14 x(n1T1), y(n2T2)和 I=3 下面分析圖 .4.11 中v(n2T2)的頻譜， 最后討論為了得到滿足插值要求的y(n2T2)(如圖 .4.14 所示)， 對h(n2T2)的技術(shù)要求。其它 ( .4.18) ( .4.19) 圖 .4.15 和 頻譜圖(I=3) 圖 .4.16 低通濾波器的理想幅頻特性 3.內(nèi)插器的輸入、 輸出關(guān)系 1) 時(shí)域輸入、 輸出關(guān)系 由圖 .4.11， 有及 其它 所以( .4

12、.21) 2) 頻域輸入、 輸出關(guān)系( .4.22) ( .4.23)由( .4.19)式知道 , 所以 在復(fù)頻域分析圖 .4.11 時(shí)， 其輸入x(n1T1)的Z變換X(z1)與輸出y(n2T2)的Z變換Y(z2)的關(guān)系推導(dǎo)如下： ( .4.24)( .4.25)為I的整數(shù)倍即 所以 ( .4.26)式中所有變量都為z2, 所以可去掉下標(biāo)得( .4.26) ( .4.27) 4.整數(shù)倍抽取和內(nèi)插在數(shù)字語音系統(tǒng)中的應(yīng)用 1) 數(shù)字語音系統(tǒng)中信號的采樣過程及存在的問題。 2) 數(shù)字語音系統(tǒng)中改進(jìn)的A/D轉(zhuǎn)換方案 圖 .4.17 語音信號的一般采樣過程圖 .4.18 數(shù)字語音系統(tǒng)的改進(jìn)A/D轉(zhuǎn)換器

13、方案 及其各點(diǎn)信號波形與相應(yīng)頻譜圖 .4.18 數(shù)字語音系統(tǒng)的改進(jìn)A/D轉(zhuǎn)換器方案 及其各點(diǎn)信號波形與相應(yīng)頻譜圖 .4.19 改進(jìn)的D/A轉(zhuǎn)換方案框圖 對 (n1T1)進(jìn)行D/A變換， 得到：時(shí) 時(shí) 圖 .4.20 (n2T2)及 (n1T1)的時(shí)域和頻域表示 圖 .4.21 (t)的時(shí)域和頻域表示 圖 .4.22 模擬低通濾波器 幅頻特性要求圖 .4.23 恢復(fù)模擬信號 及其頻譜 .4.3 多采樣率FIR系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 1.整數(shù)倍抽取器的FIR直接實(shí)現(xiàn) 整數(shù)(D)倍抽取器框圖如圖 .4.24 所示。 抗混疊低通濾波器用FIR結(jié)構(gòu)時(shí)， 抽取器的時(shí)域輸入、 輸出關(guān)系為(設(shè)h(rT1)長度為N)( .4.29) ( .4.30)圖 .4.24 D倍抽取器框圖圖 .4.25 D倍抽取器的FIR直接實(shí)現(xiàn)圖 .4.26 等效變換后D倍抽取器的FIR直接實(shí)現(xiàn)圖 .4.27 抽取器FIR結(jié)構(gòu)的線性相位形式 2.整數(shù)倍內(nèi)插器的FIR直