靜電場(一)課件

1、第一章 靜電場(一)內(nèi)容提要：電場強(qiáng)度靜電場的高斯定律與環(huán)路定律靜電場分界面的銜接條件靜電場的邊值問題 靜電場：相對觀察者靜止且量值不隨時(shí)間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。 本章任務(wù)： 闡述靜電荷與電場之間的關(guān)系，在已知電荷或電位的情況下求解電場的各種計(jì)算方法。 靜電場是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時(shí)變場。 靜電場知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖概述 電場的物質(zhì)性：a.給電場中的帶電體施以力的作用。b.當(dāng)帶電體在電場中移動(dòng)時(shí)，電場力作功. 表明電場具有能量。c.變化的電場以光速在空間傳播，表明電場具有動(dòng)量電場強(qiáng)度概念的引入 N( 牛頓)適用條件 兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的

2、帶電體之間相互作用力; 無限大真空情況 (式中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中F/m)N( 牛頓)圖1.1.1 兩點(diǎn)電荷間的作用力 庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。大量試驗(yàn)表明: 真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷 與 之間的相互作用力: 當(dāng)真空中引入第三個(gè)點(diǎn)電荷 時(shí)，試問 與 相互間的作用力改變嗎? 實(shí)驗(yàn)表明：庫侖力滿足線性疊加原理，即不因第三者的存在而改變兩者之間的相互作用。庫侖定律電場強(qiáng)度1、定義： V/m (N/C) 電場強(qiáng)度（Electric Field Intensity ) E 表示單位正電荷在電場中所受到的力(F ), 它是空間坐標(biāo)的矢量函數(shù), 定義式給出了E 的大小、方向與單位。2、場

3、強(qiáng)的疊加原理： 電場中任何一點(diǎn)的總場強(qiáng)等于各個(gè)點(diǎn)電荷在該點(diǎn)各自產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。這就是場強(qiáng)疊加原理。點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場1、單個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度V/m圖1.1.2 點(diǎn)電荷的電場V/m2、 n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度 (注意:矢量疊加)V/m電場的疊加原理電荷任意分布時(shí)的電場強(qiáng)度計(jì)算方法：將帶電體分成很多元電荷 dq ,先求出它在任意場點(diǎn) p 的場強(qiáng)對場源求積分，可得總場強(qiáng)：1、電荷的體密度2、電荷的面密度3、電荷的線密度體電荷分布的場強(qiáng)面電荷分布的場強(qiáng)線電荷分布的場強(qiáng)Rr 正確的選擇 可以使電力線數(shù)密度等于場強(qiáng)。1定義：一、電力線(electric line of force)電力線上各點(diǎn)的切

4、線方向表示電場中該點(diǎn)場強(qiáng)的方向，在垂直于電力線的單位面積上的電力線的條數(shù)（數(shù)密度)正比于該點(diǎn)的場強(qiáng)的大小。2 電力線的性質(zhì)：電力線不會(huì)中斷。電力線不會(huì)相交。（單值）電力線不會(huì)形成閉合曲線，它起始于正電荷終止于負(fù)電荷。1-3 電力線和通量電場強(qiáng)度的通量1 定義：電場強(qiáng)度E沿任意有向曲面S的曲面積分，定義為通過該曲面S的正向場強(qiáng)通量。S為閉合曲面時(shí)：2 方向的規(guī)定： 閉合曲面外法線方向(自內(nèi)向外) 為正。 非閉合曲面的邊界繞行方向與法向成右手螺旋法則1-4真空中的高斯通量定理1、高斯定理(Gauss Theorem):靜電場中，當(dāng)媒質(zhì)為真空時(shí)，通過任一閉合曲面 S 的電場強(qiáng)度通量，等于該曲面所包含

5、的電荷的代數(shù)和與真空電容率0之比。2、說明： 高斯定理中的場強(qiáng) 是由全部電荷產(chǎn)生的。 通過閉合曲面的電通量只決定于它所包含的電荷，閉合曲面外的電荷對電通量無貢獻(xiàn)。 靜電場是有源場。附對于靜止電荷的電場，庫侖定律和高斯定理等價(jià)。高斯定律的用途：當(dāng)電荷分布具有某種對稱性時(shí)，可用高斯定理求 出該電荷系統(tǒng)的電場的分布。比用庫侖定律簡便。 當(dāng)已知場強(qiáng)分布時(shí)，可用高斯定理求出任一區(qū)域 的電荷、電位分布。卡文迪許就是用高斯定理來證明庫侖定律的平方 反比關(guān)系。這說明它們不是相互獨(dú)立的定律，而 是用不同形式表示的電場與場源電荷關(guān)系的同一 客觀規(guī)律。對于運(yùn)動(dòng)電荷的電場，庫侖定律不再正確，而高斯定理仍然有效。思考：

6、試分析圖中球體內(nèi)外的電場能否直接采用高斯定理來求解？點(diǎn)電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場點(diǎn)電荷q分別置于金屬球殼內(nèi)的中心處與球殼外的電場例1-2 真空中同心球面內(nèi)均勻分布著體積電荷，電荷體密度為，同心球面內(nèi)外半徑分別為R1、R2。試求球?qū)觾?nèi)外的電場強(qiáng)度。R1 R2 r R1 r R2例1-3 真空中有一球形體積分布的電荷，球的半徑為R2，電荷體密度為常數(shù)，球內(nèi)存在一個(gè)半徑為R1的球形空腔，兩球心的距離為a，且a+R1R2。試證明球形空腔內(nèi)的電場是均勻的。aR2O1O2R21.5 電介質(zhì)中的高斯通量定理 電介質(zhì)的極化 在外電場的作用下，電介質(zhì)的分子正、負(fù)電荷等效中心受到電場力的影響而產(chǎn)生一微小位

7、移，形成電偶極子的過程。 高斯通量定理 靜電場中，當(dāng)媒質(zhì)為真空時(shí)，通過任一閉合曲面的電場強(qiáng)度通量，等于該曲面所包含的電荷量代數(shù)和與真空電容率之比。 電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩； 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷； 極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。無極性分子(He.CO2,H2)有極性分子(HCl,H2O,CO)一、電介質(zhì)的極化無極性分子(CO2,H2)有極性分子(H2O,CO)1、極化強(qiáng)度式中 為體積元 內(nèi)電偶極矩的矢量和，P 的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。用極化強(qiáng)度P表示電介質(zhì)的極化程度，即：C/m2電偶極矩體密度實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在各向同性、線形、均勻介質(zhì)中，極

8、化強(qiáng)度滿足： e- 電介質(zhì)的極化率 各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性； 線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化； 均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。2、極化電荷與極化強(qiáng)度的關(guān)系3、靜電場的源 自由電荷q和極化電荷q電介質(zhì)自由電荷q真空場源介質(zhì)曲面S內(nèi)的極化電荷量：曲面S內(nèi)的總電荷量：推廣整理設(shè)1、D 稱為電位移矢量；2、介質(zhì)中的高斯定理： 電場中，通過某閉合曲面S的電位移矢量D的通量，等于該閉合曲面內(nèi)所包含的自由電荷的代數(shù)和。真空中電介質(zhì)中二、介質(zhì)中的高斯定理其中相對介電常數(shù)；介電常數(shù)，單位（F/m）2、在各向同性介質(zhì)中1、D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的

9、自由電荷。( )( )( )qq3、D 的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認(rèn)為D 的分布與介質(zhì)無關(guān)。三、D線說明其中相對介電常數(shù)；介電常數(shù)，單位（F/m）2、在各向同性介質(zhì)中1、D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷。3、D 的通量與介質(zhì)無關(guān)，但不能認(rèn)為D 的分布與介質(zhì)無關(guān)。 D 通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，而高斯面上的 D 是由高斯面內(nèi)、外的系統(tǒng)所有電荷共同產(chǎn)生的。平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D 線、E 線和P 線的分布圖： D 線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷； P 線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。 E 線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；D線E線P線

10、四、例1-4 已知:結(jié)構(gòu)尺寸：R1=0.5cm,R2=2cm, R0=1.25cm；材料特性：r1=5、r2= 2.5，=5.5610-7C/m；求：電纜內(nèi)電場強(qiáng)度E的分布。R1R0R2S3 解：）分析問題對稱性：在距離芯線軸線為R 的各點(diǎn)上電位移矢量D 的大小相等，方向?yàn)閺较?。）選擇高斯面：選擇與軸線垂直的上下底面S1、S2與半徑為 R 的圓柱面S3共同組成高斯面S，設(shè)S1與S2之間距離為單位長度，）求解電場值：根據(jù)高斯定理可以求解電場強(qiáng)敵。當(dāng)計(jì)算出來介質(zhì)交界面的電場強(qiáng)度后，即可進(jìn)一步算出極化電荷面密度。 作業(yè)：P35 1-13、1-15、1-19高斯定理回顧R1 R2 r 同心球殼同軸圓柱

11、，無限長導(dǎo)線無限大平面在均勻、線性、各相同性介質(zhì)中，滿足1.6 電場強(qiáng)度E的環(huán)路定理與電位函數(shù)電場力的功：ABl靜電場環(huán)路定理：能量守恒原理單位正電荷沿任意閉合路徑環(huán)繞一周時(shí)，電場力所做的功的總和為零。定理：靜電場中，電場強(qiáng)度E 沿任意閉合環(huán)路l的有向曲線積分恒等于零。* 靜電場是保守場或無旋場。靜電場中的電位函數(shù)將單位正電荷由點(diǎn)A移至點(diǎn)B時(shí)，電場力所做的功與選取的路徑l 無關(guān)。電位差(定義)：移動(dòng)單位正電荷從電場中 A 點(diǎn)移到 B 點(diǎn)， 靜電場力所做的功，為靜電場中兩點(diǎn)的電位差:電位(定義)：將單位正電荷從A點(diǎn)沿任意路徑移至零電位參考點(diǎn)P時(shí)， 靜電力所做的功。 電位與電位差的關(guān)系：單位：伏特

12、(V)單位：伏特(V)場中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無關(guān)。同一個(gè)物理問題，只能選取一個(gè)參考點(diǎn)。選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡單，且要有合適的物理意義。 *電荷分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。 *電荷分布在無窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí)，選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)。電位參考點(diǎn)的選取例：例1.5例1.5 長直電纜的纜芯與金屬外皮為同軸圓柱面。長度L遠(yuǎn)大于截面尺寸，若纜芯的外半徑為R1，外皮的內(nèi)半徑為R2，其間絕緣介質(zhì)的電容率為， 確定其中電場強(qiáng)度與電壓的關(guān)系。R1R2R解：分析：電玚具有軸對稱性，電場強(qiáng)度沿徑向。取高斯面：半徑為R，高為單位長度的柱面S設(shè)：線芯單位長度的電荷量為R1R2+例1.6 例1.6 圓柱形

13、電容器的柱面之間充滿了體密度為 的均勻體積電荷，電容率為0 ，內(nèi)、外柱面的半徑分別為R1和R2,施加電壓U12。求電容器內(nèi)電場強(qiáng)度和電位函數(shù)的分布。解：分析：電玚具有軸對稱性，電場強(qiáng)度沿徑向。取高斯面：半徑為R，高為單位長度的柱面S設(shè)：線芯單位長度的電荷量為，則單位圓柱面內(nèi)所包含電荷量：rR1R2+r取外層柱面R=R2為電位參考點(diǎn)0電位例1.61-7 電位梯度ElAB0 xyz電位沿l方向的變化率：設(shè)單位正電荷由A(x,y,z)點(diǎn)沒l方向移至 B(x+x,y+y，z+z)點(diǎn)電位梯度結(jié)論：空間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度，等于該點(diǎn)電位梯 度的負(fù)值。電場強(qiáng)度的方向，是由高電位指向低電位，即電位下降的方向。電位

14、梯度的方向，是由低電位指向高電位。例1-7 主要是考察電位的可疊加性和梯度公式的應(yīng)用，此處略去學(xué)生自己體會(huì)。1.8靜電場的邊界條件 以分界面上點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小扁圓柱高斯面（ ）。 2、電場強(qiáng)度E的銜接條件 以點(diǎn)P 作為觀察點(diǎn)，作一小矩形回路（ ）。 1、 電位移矢量D的銜接條件分界面兩側(cè) E 的切向分量連續(xù)。 分界面兩側(cè)的 D 的法向分量不連續(xù)。當(dāng) 時(shí)，D 的法向分量連續(xù)。則有 根據(jù) 根據(jù) 則有 表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D 就等于該點(diǎn)的自由電荷密度 。 當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為： 在交界

15、面上不存在 時(shí)，E、D滿足折射定律。折射定律因此表明: 在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù) 表示分界面上的銜接條件 設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d， ,則表明: 一般情況下 ,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。對于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位 表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？等價(jià)于 E1t=E2t 。 如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知d1, d2, s1, s2, e1和e2。圖(a）已知極板間電壓U0 , 圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場強(qiáng)度。例例 (a)例 (b)例1-8 如圖，由x=0和x=3的兩平面所分隔的區(qū)域、中，分別填充相對電容率為r1、r2 、 r3的

16、三種個(gè)質(zhì)，其中，r3=2r2 =4r1 。已知區(qū)域中均勻電場的強(qiáng)度為E1=Ex1ex+Ey1ey+Ez1ez=8ex+5ey+6ez V/m,求區(qū)域、中的場強(qiáng)E2，E3。每種介質(zhì)內(nèi)部的場是均勻的，介質(zhì)內(nèi)部的場強(qiáng)與其邊界上的場強(qiáng)相等。解：r1r2r30 xn1-9 微分形式的高斯定理A點(diǎn)處D的三個(gè)分量：三個(gè)方向上變化率：1-9 微分形式的高斯定理設(shè)電荷體密度為散度定理電場中任一點(diǎn)D的散度，等于該點(diǎn)處的自由電荷體密度。體積V的任意性 高斯定律說明了靜電場是一個(gè)有源場，電荷就是場的源，D線從正自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)自由電荷。這里，“有源”的概念為有始有終。物理意義例1.9空氣中的電位函數(shù)為 ， 其中

17、 為已知，試問電荷按什么規(guī)律分布？求解思路：課后作業(yè)：P35 1-21P36 1-23 1-261-10 微分形式的電場強(qiáng)度環(huán)路定理A點(diǎn)處E的三個(gè)分量：Ez沿y方向變化率：P點(diǎn)的Ez：1-10微分形式的電場強(qiáng)度環(huán)路定理 積分形式斯托克斯定理S的任意性 靜電場中E的旋度恒等于0，它的三個(gè)分量也恒為01-10微分形式的電場強(qiáng)度環(huán)路定理 旋度的表達(dá)式：例1-10求矢量場 的旋度解 由直角坐標(biāo)系中的旋度公式1 泊松方程與拉普拉斯方程推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點(diǎn)是靜電場的基本方程：泊松方程 泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。拉普拉斯方程 拉普拉斯算子例 列出求解區(qū)域的微分方程 1.11

18、泊松方程與拉普拉斯方程2 哈密爾頓算子哈密爾頓算子：1.11泊松方程與拉普拉斯方程標(biāo)量函數(shù)的梯度：失量函數(shù)的散度：失量函數(shù)的旋度：拉普拉斯方程：根據(jù)運(yùn)算結(jié)果，證明了 滿足拉普拉斯方程例1-11證明在圓柱坐標(biāo)系下，函數(shù)滿足拉普拉氏方程證明 由圓柱坐標(biāo)系中拉普拉斯算子 的表達(dá)式（P247)邊界條件：對于一個(gè)具體的場來說，不同的邊界約束條件，就有不同的分布狀態(tài)，通常將能夠正確說明邊界上約束情況的條件，即邊界約束條件。靜電場的邊值問題：給定此場域的邊界形狀及未知函數(shù)在邊界上某種形式的值，稱之為給定邊界約束條件或給定邊界條件。上述求解問題，稱之為 靜電場的邊界，大致由三種情況的邊界面組成：一種是導(dǎo)體表面

19、，其次是介質(zhì)分界面，再其次就是無限遠(yuǎn)處場的外邊界。1.12 靜電場的邊值問題通常導(dǎo)體表面的邊界條件有如下幾種類型：一、給定某導(dǎo)體i的電位值Ci (由于導(dǎo)體是等位體，因而對于導(dǎo)體i的表面而言，其各點(diǎn)的電位值應(yīng)是同一已知常數(shù)Ci)。二、給定某導(dǎo)體i表面每一點(diǎn)的自由電荷面密度i實(shí)際上，往往很難事先知道導(dǎo)體表面各點(diǎn)的自由電荷面密度，因而通常會(huì)遇到的另一種情況是，給定某導(dǎo)體的電荷總量qi，另外限定所求的電位函數(shù)必須滿足導(dǎo)體表面為等位面這一要求。三、給定靜電場中某些導(dǎo)體的電位值，同時(shí)給定另外一些導(dǎo)體的電荷量(或一些導(dǎo)體表面每點(diǎn)的自由電荷面密度)，即場的所有賦值的邊界由上面二種情況組合而成。 根據(jù)邊界條件的

20、分類，靜電場邊值問題的提法有三類：第一類邊值問題(稱為狄里赫希問題)給定每一導(dǎo)體表面電位值，即 (已知常數(shù))在不同介質(zhì)交界面，滿足連接條件，即 當(dāng)電荷分布于有限空間時(shí)，指定在場的無限遠(yuǎn)邊界處電位為零。即(有自由電荷體密度區(qū)域)(無自由電荷體密度區(qū)域)(分界面上無自由面電荷)第二類邊值問題(稱為諾以曼問題)(無自由電荷體密度區(qū)域)(有自由電荷體密度區(qū)域)給定每一導(dǎo)體表面每點(diǎn)之自由電荷面密度或給定每一導(dǎo)體的總電荷量在不同介質(zhì)交界面，滿足連接條件，即(分界面上 無自由面電荷)這種邊值問題中，每位值可相差一任意常數(shù)，該常數(shù)由電位參考點(diǎn)確定。第三類混合邊值問題給定某些導(dǎo)體中每一導(dǎo)體的表面電位值，及其它另

21、外某些導(dǎo)體中每一導(dǎo)體的總電荷量(或某些導(dǎo)體每一導(dǎo)體表面的自由電荷面密度)，即或 在不同介質(zhì)交界面，滿足連接條件，即 (分界面上 無自由面電荷)(有自由電荷體密度區(qū)域) (無自由電荷體密度區(qū)域)已知場域邊界上各點(diǎn)電位值自然邊界條件參考點(diǎn)電位 有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即1.12 靜電場的邊值問題 為什么注重討論導(dǎo)體表面的邊界條件？導(dǎo)體表面的邊界條件有哪幾類？圖1-25 例1-12圖例1-12平行板電容器的極板間距離為d，所加電壓U0為已知，一半空間有體電荷均勻分布，電荷密度為，介質(zhì)的電容率均為0。忽略邊緣效應(yīng)，試求電場分布。解 建立直角坐標(biāo)系如圖所示。由于不考慮邊緣效應(yīng)，電場分布僅與x坐標(biāo)有關(guān)。根據(jù)電荷分布情況要分作兩個(gè)區(qū)域來考慮。在0 xd/2區(qū)域，電位函數(shù) 滿足泊松方程：在d/2xd區(qū)域，電位函數(shù) 滿足拉普拉斯