拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、關(guān)于拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第一張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月問(wèn)題探究：當(dāng)e=1時(shí)，即|MF|=|MH| ，點(diǎn)M的軌跡是什么？探究？ 可以發(fā)現(xiàn),點(diǎn)M隨著H運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,始終有|MF|=|MH|,即點(diǎn)M與點(diǎn)F和定直線l的距離相等.點(diǎn)M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖) 我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.MFle=1幾何畫(huà)板觀察第二張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程第四張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月MFle=1 在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l (不在直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.點(diǎn)F叫拋

2、物線的焦點(diǎn),直線l 叫拋物線的準(zhǔn)線|MF|=dd 為 M 到 l 的距離準(zhǔn)線焦點(diǎn)d一、拋物線的定義:第五張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月MFle=1二、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 思考：拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？怎樣建立坐標(biāo)系,才能使焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程更簡(jiǎn)捷?第六張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1.建系2.設(shè)點(diǎn)3.列式4.化簡(jiǎn)l解：以過(guò)F且垂直于 l 的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xoy.兩邊平方,整理得xKyoM(x,y)F依題意得5.檢驗(yàn)這就是所求的軌跡方程.y如圖，若以準(zhǔn)線所在直線為y軸， 則焦點(diǎn)F(P,0),準(zhǔn)線L:x=0 由拋物線的定義，可導(dǎo)出拋

3、物線方程為y2 = 2p(x- )(p0）p2第七張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、標(biāo)準(zhǔn)方程 把方程 y2 = 2px (p0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中 p 為正常數(shù),表示焦點(diǎn)在 x 軸正半軸上.且 p的幾何意義是:右焦點(diǎn)是：左準(zhǔn)線方程為: 一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式.lxKyoM(x,y)F焦 點(diǎn) 到 準(zhǔn) 線 的 距 離第八張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月yxoyxoyxoyxo 圖 形 焦 點(diǎn) 準(zhǔn) 線 標(biāo)準(zhǔn)方程第一:一次項(xiàng)的變量為x(或y),則x軸(或y軸)為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸,焦點(diǎn)就在對(duì)稱(chēng)軸上.第二:一次項(xiàng)的系

4、數(shù)的正負(fù)決定了開(kāi)口方向. 不容易錯(cuò)的最好方法是看看x(或y)的取值范圍即：焦點(diǎn)與一次項(xiàng)變量相同；正負(fù)決定開(kāi)口方向！ 第九張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1 1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2 = 6x，求焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程；2）拋物線的方程是y = 6x2,求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；3）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2）,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解:因焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,且p=4,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為:x = - 8y232解：因?yàn)?，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（,）32準(zhǔn)線方程為x=- .解:方程可化為: 故焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ,準(zhǔn)線方程為 第十張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程（1）（2）（3）（4）（5，

5、0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2練習(xí)1求下列拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程（1）y2 = 20 x （2）y=2x2（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0注意：求拋物線的焦點(diǎn)一定要先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式第十一張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)2拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)下列條件，分別寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)是F（3，0）；（2）準(zhǔn)線方程是x = ；（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y反思：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程先定

6、位，后定量第十二張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月AOyx解:(1)當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸正半軸上時(shí)，把A(-3,2)代入x2 =2py，得p= (2)當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸負(fù)半軸上時(shí),把A(-3,2)代入y2 = -2px，得p= 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 = y 或 y2 = x 。練習(xí)3拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,2)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 提示：注意到P為第四象限的點(diǎn)，所以可以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px或x2=-2py例2.求頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),且過(guò)A(-3,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.第十三張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月4a1焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ，0），準(zhǔn)線方程是： x=4a1例3已知拋物線方程

7、為x=ay2（a0)，討論拋物線的開(kāi)口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？解：拋物線的方程化為：y2= x1a即2p=1 a當(dāng)a0時(shí), ,拋物線的開(kāi)口向右p2=14a第十四張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 思考:M是拋物線y2 = 2px（p0）上一點(diǎn)，若點(diǎn)M 的橫 坐標(biāo)為x0，則x0 + 2pOyxFM這就是拋物線的焦半徑公式!yxoFMyxoFMyxoFMx0 ( )2p第十五張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例4拋物線的焦點(diǎn)在 x 軸上，拋物線上的橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.y2=2px(p0)由拋物線的定義知3-(- )=6,即p=6.數(shù)形結(jié)合,用定

8、義轉(zhuǎn)化條件,解:因?yàn)槭墙裹c(diǎn)在 x 軸上且過(guò)M點(diǎn)的拋物線,所以設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 =12x變式：拋物線的焦點(diǎn)在 x 軸上，拋物線上的點(diǎn)M(3,m)到焦點(diǎn)的距離等于6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.OyxFMx0 ( )2p第十六張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線與、兩點(diǎn)，且。34頁(yè)作業(yè)9第十七張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月變式2平面上到定點(diǎn)和到定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡為( )(A)直線 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)橢圓變式3點(diǎn)M與點(diǎn)F(2，0)的距離比它到直線l:x+4=0的距離小2, 求點(diǎn)M的軌跡方程?例5平面上到定點(diǎn)和到定

9、直線距離相等的點(diǎn)的軌跡為( )(A)直線 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)橢圓變式1平面上到定點(diǎn)和到定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡為( )(A)直線 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)橢圓OyxFM35頁(yè)作業(yè)11第十八張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第 2 課 時(shí)第十九張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置 圖 形不同位置的拋物線 x軸的正方向 x軸的負(fù)方向 y軸的正方向 y軸的負(fù)方向y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-yxoyxoyxoyxo第二十張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月OyxFMyxoFMyxoFMyxoFM

10、x0 ( )2p拋物線的焦半徑公式第二十一張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1拋物線的焦點(diǎn)在x 軸上，拋物線上的橫坐標(biāo)為-3的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.y2=-8x變式：拋物線的焦點(diǎn)在x 軸上，拋物線上的點(diǎn)M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求m的值.OyxFM x0 2p變式：在拋物線y2=-8x上，到焦點(diǎn)的距離等于5的點(diǎn)的坐標(biāo).35頁(yè)作業(yè)10第二十二張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十三張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月36頁(yè)作業(yè)8(改)35頁(yè)作業(yè)5（改）第二十四張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月37頁(yè)作業(yè)7（改）

11、練習(xí)第二十五張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月后備練習(xí).已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F和點(diǎn)A(-1，8)，P為拋物線上一點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值是( )(A)16 (B)6 (C)12 (D)9D第二十六張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第 3課時(shí)第二十七張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月直線與拋物線位置關(guān)系種類(lèi)xyO1、相離:2、相切:3、相交:（一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)）（一個(gè)交點(diǎn)）（沒(méi)有交點(diǎn)）第二十八張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(0,1)第二十九張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月判斷直線是否與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行不平行直線與拋物線相交(一個(gè)交點(diǎn)

12、)平行 計(jì) 算 判 別 式0=00)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)則|AB|=問(wèn)題（3）能否把例（2）推廣到一般性的命題呢？ 斜率為k的直線經(jīng)過(guò)拋物線 (p0)的焦點(diǎn)，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長(zhǎng)。（用k,p表示）解：設(shè)直線AB的方程為 x1+x2+p|AB|= 即:( )y=2px 消 y 得: 由第四十張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月斜率為k的直線經(jīng)過(guò)拋物線 (p0)的焦點(diǎn)，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長(zhǎng)。（用k,p表示）解： 設(shè)直線AB的方程 為 ( ) y=2px 消 y 得: 即: |AB|= 由此可得, 即通徑. 問(wèn)題(4):把上題中的斜率k換成直線的傾斜

13、角 呢?(0 0)的焦點(diǎn)，與拋物線相交于A，B，求線段AB的長(zhǎng)。（用k,p表示）解： 設(shè)直線AB的方程 為 ( ) y=2px 消 y 得: 即: 命題:如果過(guò)拋物線 (p0)的焦點(diǎn)的一條直線和 此拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1x2=p2/4, y1y2= -p2第四十四張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第5課時(shí)第四十五張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月xy問(wèn)題(6):過(guò)拋物線 (p0) 焦點(diǎn)的一條直線與它相交于A,B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C (2001高考題作業(yè)本頁(yè)第題)設(shè)拋物線 (p0)的焦點(diǎn)F, 經(jīng)過(guò)F 的直線交拋物線A,B兩點(diǎn),

14、點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BCx軸,證明:AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 那么BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸有什么關(guān)系呢?(證KOC=KOA)BC平行于對(duì)稱(chēng)軸.( 的結(jié)論略證) 當(dāng) 時(shí) (x2,y2)(x1,y1)則直線OA的方程證明:設(shè)A ( ),B( ),C ( )第四十六張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月問(wèn)題(6): 有什么幾何意義呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以AB為 直徑的圓切AB 于F點(diǎn). AQA與AQF全等第四十七張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月問(wèn)題(6): 有什么幾何意義呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以為直

15、 徑的圓切AB 于F點(diǎn). P(3)以P為圓心以AB為直徑的圓切AB于Q點(diǎn) QP=1/2(AA+BB)AA+BB=AF+BF=ABQP=1/2ABMN第四十八張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月問(wèn)題(6): 有什么幾何意義呢? (x1,y1)(x2,y2)xyFBA結(jié)論:Q(2)以Q為圓心,以為直 徑的圓切AB 于F點(diǎn). (3) AQBQ P(4)以P為圓心以AB為 直徑的圓切于Q點(diǎn) 第四十九張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月問(wèn)題(7):Cyxo第五十張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五十一張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 y2 = 8x練習(xí):1.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是_.2.過(guò)拋物線 的焦點(diǎn),作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)3.垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直線AB的方程.X=3第五十二張，PPT共五十七頁(yè)，創(chuàng)作于2